История открытия правильных многогранников

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

И поэтому целью моей работы стало своеобразное исследование неожиданных сторон привычного для нас школьного предмета.

Геометрия

Геометрия (от греч. γη — Земля и μετρέω — «меряю») — раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения.

Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел, и превратившие его в строгую научную дисциплину. При этом античные геометры от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей, составили первые систематические и доказательные труды по геометрии.

В третьем веке до н. э. древнегреческий ученый Евклид написал научное произведение под названием «Начала», содержащее основы античной математики: элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метода определения площадей и объёмов, включавшего элементы теории пределов.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр. , «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр. , «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

• В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников.

• Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре».

• В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского.

• В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским.

• А в VI книге она прилагается к теории подобных фигур.

• VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам.

• Автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел.

• В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский.

• XI книга содержит основы стереометрии.

• В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец,

• XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

Евклид подвёл в этом сочинении итог трехсотлетнему развитию греческой математики и создал прочный фундамент для дальнейших математических исследований. «Начала» Евклида не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Началах» не излагается теория конических сечений, которая была тогда достаточно развита, отсутствуют здесь и вычислительные методы.

Не смотря на это, продуманное и глубоко логическое изложение геометрии, данное в книге Евклида, привело к тому, что математики не мыслили возможности существования геометрии, отличной от евклидовой.

Лишь в IXX в. благодаря, в первую очередь, трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского, было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной.

К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д.

В октябре 1872 года 23-летний немецкий математик Феликс Клейн выступил в Эрлангенском университете с докладом «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований» (нем. Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen), но в историю науки он вошёл под кратким названием «Эрлангенская программа». Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было исключительно велико. Он предложил идею алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.

В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы:

• Евклидова геометрия.

• Планиметрия

• Стереометрия

• Проективная

• Аффинная

Рассмотрим более подробно один из разделов геометрии – стереометрия.

Стереометрия (от др. греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Наряду с этими простейшими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дает нам окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников.

Многогранники.

Многогранники. История открытия правильных многогранников.

Существует пять правильных многогранников:

Тетраэдр

Октаэдр

Икосаэдр

Додекаэдр

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Правильные многогранники характерны для философии

Платона, в честь которого они и получили название «Платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э. ), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.

Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины:

• жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);

• воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать;

• вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);

• в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.

По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно сравнить их с известными нам четырьмя состояниями вещества – твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге «Начал».

Для того чтобы дать определение понятию «правильный многогранник» нужно знать что такое « многоугольник» и «многогранник».

Многоугольником называется геометрическая фигура, состоящая из n (n больше или равно 3) точек плоскости, не лежащих на одной прямой и попарно соединённых не пересекающимися отрезками.

Многогранник — поверхность, составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.

Правильный многогранник — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Придумывать правильный куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы. Например: куб – монокристалл поваренной соли, октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов. Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана). Имея же додекаэдр, нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

Многогранник называется правильным, если:

1. Он выпуклый;

2. Все его грани являются равными правильными многоугольниками;

3. В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где: p — число сторон каждой грани; q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли тетраэдр 4 6 4 {3, 3}

куб 8 12 6 {4, 3}

октаэдр 6 12 8 {3,4}

додекаэдр 20 30 12 {5,3}

икосаэдр 12 30 20 {3,5}

Числа Фибоначчи.

Леонардо Пизанский (лат. Leonardo Pisano, около 1170, Пиза — около 1250, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибоначчи (Fibonacci); о происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой версии, Fibonacci происходит от фразы Figlio Buono Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Леонардо вел довольно аскетический образ жизни, монашествовал и часто медитировал. Обладая врожденной наблюдательностью, он, гуляя по лесу, обратил внимание на то, что в растениях и цветах проявляется связь с числами. В частности он заметил, что когда росток ахиллеи пробивается из под земли, у него вырастает один маленький листик, затем на стебле появляется еще один, далее – два, а потом число листьев нарастает в соответствии установленной Леонардо закономерностью: каждое последующее число равно сумме двух предыдущих, т. е. получается ряд: 1,1,2,3,5,8,13 , названный «рядом Фибоначчи». Такую же закономерность он получил, контролируя количество лепестков у различных цветков.

Так, лилии и ирисы имеют по три лепестка; лютик – пять лепестков; некоторые дельфиниумы – восемь лепестков; златоцвет – тринадцать, у некоторых астр их двадцать один, а у маргариток почти всегда тридцать четыре, пятьдесят пять или восемьдесят девять лепестков.

В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Месяцы 0 1 2 3 4 5

Тетраэдр 3 3 4 6 4

Гексаэдр или Куб 4 3 8 12 6

Октаэдр 3 4 6 12 8

Додекаэдр 5 3 20 30 12

Икосаэдр 3 5 12 30 20

( Леонардо да Винчи, 1452-1519)

( Евклид, ок. 300 г. до н. э. )

( Леонардо Пизанский, Фибоначчи, около 1170 г. )

( Золотая пропорция человека, 1509 г. , Леонардо да Винчи)