Признаки возрастания и убывания функции

Пусть f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что касательная к графику функции, проведенная в точке с абсциссой с, параллельна хорде АВ, где A(а;f(x)) и B(b;f(x)). Или: на гладкой дуге АВ всегда есть точка с, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

Пусть f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что

Следствие 1:если функция f непрерывна на отрезке [a; b], а её производная равна нулю внутри этого отрезка , то функция f постоянна на отрезке [a; b].

Следствие 2: Если функции f и g непрерывны на отрезке [a; b] и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются постоянным слагаемым.

2. Достаточный признак возрастания функции:

Если f[/](x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на интервале I.

3. Достаточный признак убывания функции:

Если f[/](x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на интервале I.

Докажем эти признаки по формуле Лагранжа:

Возьмем два любых числа и из интервала. Пусть. По формуле Лагранжа существует число , такое, что.

Число c принадлежит интервалу I, так как точки и принадлежат этому интервалу. Если f[/](x)>0 для , то f[/](с) >0 , и поэтому - это следует из формулы (1), так как ->0. Этим доказано возрастание функций f на интервале I. Если же f[/](x)<0 для , то f[/](с)<0, и поэтому - следует из формулы (1), так как ->0. Доказано убывание функции f на интервале I.

Пример 1. найдите промежутки возрастания и убывания функции

2. Найдем производную функции и ее критические точки: или

3. Отметим на числовой оси точки экстремумов и найдем промежутки возрастания и убывания функции

Ответ: - функция возрастает

- функция убывает

Пример 2. Исследуйте на возрастание (убывание) функцию:

2. Найдем производную и точки экстремумов функции:

3. Отметим критическую точку на числовой оси и найдем промежутки возрастания (убывания) функции:

Ответ: - функция убывает

- функция возрастает

II. Критические точки. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

1. Критические точки

Определение: критические точки функции - это внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

Примеры:

№1. Найдите критические точки функции f: а) g(x) =

,где , где

Ответ: , где ; , где б) g(x) =

Ответ: ;

2. Признаки нахождения максимума и минимума функции.

Признак максимума функций:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x)>0 на интервале (а;х0) и f[/](x)<0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой максимума функции f.

Или: если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Доказательство:

Производная f[/](x)>0 на интервале (а;х0), а функция непрерывна в точке х0 ,следовательно функция f возрастает на промежутке (a; х0], и потому f(x)

На промежутке [х0;в) функция убывает, и потому f(x)

Итак, f(x)

Признаки минимума функции:

Если функция f непрерывна в точке х0 , а f[/](x)<0 на интервале (а;х0) и f[/](x)>0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой минимума функции f.

Или: если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Доказательство:

Производная f[/](x)<0 на интервале (а;х0), а функция непрерывна в точке х0, то функция f убывает на промежутке (a; х0] и потому f(x) >f (x0) для всех х из интервала (а;х0).

На промежутке [х0;в) функция f возрастает , и потому f(x) >f (x0) для всех из интервала (а;в), то есть х0 есть точка минимума f.

Примеры:

2. или

III. Вторая производная. Признаки выпуклости и вогнутости.

Пусть и в точке существует вторая производная. Тогда, если , то точка является точкой минимума, а если , то точка является точкой максимума функции.

Если , то выпуклость направлена вниз. Если , то выпуклость направлена вверх.

IV. Наклонные асимптоты

Определение: Прямая является наклонной асимптотой графика функции , где и

Пример 1.

- уравнение наклонной асимптоты

Пример 2.

- уравнение наклонной асимптоты

Пример 3.

, - вертикальные асимптоты уравнение наклонной асимптоты

V. План исследования функции

1. Найдем область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность (нечетность).

3. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.

4. Найти производную.

5. Найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

6. Составить таблицу.

7. Найти вторую производную.

8. Найти точки перегиба графика функции и установить интервалы выпуклости и вогнутости этого графика.

9. Найти асимптоты графика функции, если это необходимо.

10. Построить эскиз графика данной функции.

11. Найти множество значений функции.

VI. Примеры на исследование функции

Пример 1.

2). О четности функции говорить нельзя.

3) Найдем точки пересечения графика с осью ОХ.

Найдем точки пересечения графика с осью ОУ.

4) Найдем производную функции:

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции:

- функция возрастает

- функция убывает

6) Составим таблицу х

7) Найдем вторую производную

8) Найдем точки перегиба: или

- выпуклость вверх

- выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты не существует. наклонных асимптот нет.

10) График

11) Е(y)=R

Пример 2.

; х=2 - вертикальная асимптота

2). О четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью ОХ.

Найдем точки пересечения графика с осью ОУ.

4) Найдем производную функции:

5) Найдем точки экстремума функции и точки возрастания и убывания функции:

- функция возрастает

- функция убывает

6) Составим таблицу х

- Не сущ.

Не сущ.

↗ maxmin

7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба: точек перегиба нет

- выпуклость вниз

- выпуклость вверх

9) Найдем наклонные асимптоты:

- Уравнение наклонной асимптоты

10) График

11) Е(y)=

Пример 3.

- вертикальная асимптота

2) о четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX. точек пересечения с осью OX нет.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

- не существует. Таких точек нет.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

, тогда

- функция убывает

- функция возрастает

6) Составим таблицу:

- Не сущ.

Не сущ.

7) Построим график функции:

Пример 4.

- вертикальная асимптота

2) - о четности функции говорить нельзя

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания функции.

- Критических точек нет.

Точек max и min нет.

6) Составим таблицу:

Не сущ.

Не сущ.

↘ 7) Найдем вторую производную:

8) Найдем точки перегиба графика функции и установим интервалы выпуклости и вогнутости:

- точек перегиба нет.

- выпуклость вверх

- выпуклость вниз

9) Найдем наклонные асимптоты:

- уравнение горизонтальной асимптоты, т. к. k = 0.

10) Построим график функции:

11) Е(у)=

Пример 5.

; - вертикальные асимптоты

2) - функция нечетная, так как. График симметричен относительно начала координат.

3) Найдем точки пересечения графика с осью OX.

Найдем точки пересечения графика с осью OY.

4) Найдем производную:

5) Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции:

- нет решения.

- функция убывает

- функция возрастает

6) Составим таблицу:

Не сущ.

- Не сущ.

Не сущ.

↘ Не сущ.

↗ 7) Найдем наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот нет.

8) Найдем вторую производную:

9) Найдем точки перегиба: или или

- выпуклость вниз

- выпуклость вверх

10) Построим график

VII. Историческая справка.

Совсем иным был конец жизненного пути другого творца математического анализа - Готфрида Вильгельма Лей - бница (1646 - 1716). Но обо всем по порядку.

Его предки были выходцами из Польши и носили фамилию Любениц. После переселения в Лейпциг' фамилия их стала произноситься на немецкий лад. Интересно отметить, что и само название этого города тоже славянское, оно означает <<место у лип>>. Лейбниц родился в семье профессора философии Лейпцигского университета. Он рано лишился родителей: в 6 лет остался без отца, а в 17 - без матери. В школьные годы Лейбниц поражал своих учителей умением слагать стихи на латинском и греческом языках, увлеченностью философией и математикой. Он отличался большой любознательностью, многие предметы изучал самостоятельно, до знакомства с ними в школе. Память у него была неровной: легко запоминал сложные вещи и хуже - простые; не мог долго производить вычисления, но тяготел к обобщениям и абстракциям. И такая память и склад мышления сохранились у Лейбница на всю жизнь.

В 15. лет Лейбниц - студент философского факультета Лейпцигского университета. Этот факультет был подготовитель - ным для юридического и богословского. Закончив с блеском философский, а затем юридический факультет, 20-летний Лейбниц не смог получить желаемой должности в родном городе. Консервативные порядки в университете ставили материальные преграды к получению докторской степени. Он едет в Нюрнберг и в тамошнем университете с небывалым успехом защищает юридическую диссертацию на степень доктора. Необычайный талант молодого ученого был замечен. Его приглашает на дипломатическую службу курфюрст (князь, имеющий право выбора короля) города Майнца, а позже - ганноверский герцог.

Находясь по делам курфюрста в Париже, Лейбниц встречается со многими известными учеными. Обсуждения различных проблем пробуждают в нем интерес к математике. Позже в письме к И. Бернулли он вспоминал: <<Когда я приехал в 1672 году в Париж, я был математиком-самоучкой. В этом высокомерном математическом невежестве я уделял внимание только истории и праву, видел в их изучении свою цель. Однако математика была для меня более приятным развлечением>>. По окончании универси - тета (1666) Лейбниц опубликовал философско-математическую работу <<Размышления о комбинаторном искусстве>>, так что, говоря о своем <<невежестве>>, он имел в виду неосведомленность о последних достижениях математики. Чтобы познакомиться с новыми результатами и идеями, возникшими в то время в математике, он обращается за помощью к Гюйгенсу. Тот советует ему внимательно изучить ряд работ, и Лейбниц с завидным рвением берется за дело: изучает труды Сен-Винцента и Валлиса, Декарта и Паскаля, занимается собственными исследованиями.

Но когда он по дипломатическим делам попадает в Лондон и сообщает о своих результатах английским математикам, то с удивлением узнает, что многие из этих результатов им уже известны из рукописи Ньютона <<Об анализе с помощью уравнений>>, хранящейся в Королевском обществе. Лейбниц через секретаря этого общества Ольденбурга (1615 - 1677) пишет Ньютону о своих работах. В том же письме он просит Ньютона сообщить его результаты. В ответ он получает (опять через Ольденбурга) два письма, в которых Ньютон разъясняет операции дифференцирования и интегрирования с помощью рядов.

Лейбниц не спешил обнародовать свои результаты в области нового исчисления, возможно, ожидая публикаций Ньютона. Но в 1683 г. Чирнгауз печатает статью о квадратуре алгебраических кривых. В ней не упоминается имя Лейбница, хотя в решении этих вопросов Чирнгауз многим был ему обязан. Чтобы сохранить пальму первенства в этой области, Лейбниц в следующем году печатает статью <<Новый метод максимумов и минимумов>>, а через год - <<О скрытой геометрии и анализе неделимых>>. В первой из них содержались основы дифференциального исчисления, во второй - интегрального.

В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Сейчас дифференциал df(x0) функции y=f(x) в точке х0 задается формулой df(xo) = f'(xo)dx, где f'(xb) - производная, вычисленная в точке хо, их - приращение аргумента. У Лейбница дифферен - циал определяется как один из катетов характеристического треугольника, о котором шла речь в предыдущей главе (п. 9). Из рисунка 46 видно, что эти определения эквивалентны.

Лейбниц дает правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, частного, степени, решает дифференци - альные уравнения. Интеграл он определяет как сумму дифференци - алов, подчеркивая взаимную обратность операций дифференциро - вания и интегрирования: <<У нас суммы и разности или и d так же взаимно обратны, как степени и корни в обыкновенном исчислении>>. Откуда вытекают свойст - ва интегралов и способы их вычисле - ния. В последующих статьях Лейбниц развил новый анализ. Он доказал, что любая интегрируемая функция являет - ся ограниченной (необходимое усло - вие интегрируемости), разработал ал - горитм вычисления некоторых типов интегралов, в частности способ интег - рирования рациональных функций. Значение этого способа невозможно переоценить, так как с помощью раз - личных подстановок к интегралам от рациональных функций сводится масса самых разнообразных интегралов. Остановимся на этом способе подробнее.

Для графического решения задачи интегрирования произволь - ных функций Лейбниц придумал (1693) механический прибор - интегратор. Если перемещать один штифт этого прибора по графику функции, то другой вычерчивает график первообразной.

Разработанными Лейбницем алгоритмами и обозначениями мы пользуемся и поныне, как и большинством введенных им математических терминов: функция, переменная, постоянная, координаты, абсцисса, алгоритм, дифференциал и др. Многие из этих терминов употреблялись и раньше, но не имели того конкретного значения, которое придал им Лейбниц.

В начале следующего столетия разгорелась бурная дискуссия о приоритете изобретения анализа. Поводом к ней послужила рецензия (1704) Лейбница на работу Ньютона <<Перечисление линий 3-го порядка>>, где он указал на идейную общность трактовки бесконечно малой у Ньютона и Фабри. Такое сравнение великого англичанина с малоизвестным французским математиком О н о -ре Фабри (1607 - 1688) вызвало <<благородное>> негодование английских ученых. (А Лейбниц не имел никаких задних мыслей; просто книга Фабри была одной из немногих, которая помогла ему в парижский период ликвидировать <<математическое невеже - ство>>. ) Они увидели в этом принижение заслуг Ньютона, и началось. В этом споре права Ньютона отстаивали английские ученые, а Лейбница - континентальные. Поддержка Лейбница большинством континентальных математиков объяснялась тем, что его обозначения оказались столь совершенными, а само учение столь доступным, что сразу нашли сторонников среди многих ученых Европы, что бывает крайне редко при появлении новой теории.

По-видимому, именно этот спор имел в виду замечательный русский поэт Валерий Брюсов, когда писал такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг! Ты выше мира был, как древние пророки. Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг И с лестью смешивал безумные упреки.

На самом же деле претензии обеих сторон были безоснователь - ными. Оба ученых независимо пришли к созданию дифференциаль - ного и интегрального исчислений, да и подходы у них были совершенно разные. Ньютон использовал аппарат степенных рядов, а Лейбниц - понятие дифференциала. Разгоревшийся спор привел к тому, что английские математики игнорировали все, что исходило от Лейбница и его школы, а континентальные - работы англичан. Поскольку на континенте опирались на более совершен - ную, чем ньютоновская, символику Лейбница и ученые были объединены общими идеями, опубликованными и доступными каждому, то континентальные математики в посленьютоновский период далеко ушли вперед в сравнении с английскими.

Однако в судьбе Лейбница вражда между английскими и континентальными математиками сыграла роковую роль. Герцог, у которого он служил библиотекарем, историком и био - графом, став (1714) английским королем, уехал в Лондон. По - следовать за ним Лейбниц не мог из-за испорченных отношений с английскими математиками. К тому же герцог был недоволен своим историографом, считая, что он недостаточно уделяет вни - мания своим прямым служебным обязанностям. Лейбницу при - шлось остаться и работать в библиотеке герцога. Немилость ново - испеченного английского короля привела к тому, что окружение ученого сильно поредело. Через два года он умер, провожаемый в последний путь только секретарем и могильщиками. Обидная несправедливость судьбы по отношению к великому ученому, которым было сделано очень много.

Несмотря на огромную занятость по составлению истории герцогского дома, превратившейся в историю Западной Европы, и другие отвлекающие от науки обязанности, Лейбниц оставил множество работ по математике, философии, биологии, теории познания, политике, праву, языкознанию. Будучи всесторонне талантливым ученым, он внес неоценимый вклад в каждую из этих областей. Идеи у него сыпались как из рога изобилия: каждое письмо, любая заметка или статья содержали нечто принципиально новое в рассматриваемой области науки, подчас определяющее дальнейшее ее развитие. Многое было сделано при его непосред - ственном участии. В Берлине он организовал научное общество, преобразованное впоследствии в берлинскую АН, и стал первым его президентом. Он был первым иностранным членом Парижской АН. Лейбниц неоднократно встречался в Берлине с Петром I, для которого разработал ряд проектов развития образования и госу - дарственного правления России, а также создания Петербургской АН.

Но наиболее весомым оказался его вклад в математику. Вступив в нее <<самонадеянным учеником>>, он смог полностью ее преобразовать. После его работ и трудов его ближайших сподвижников не только появился математический анализ, но и вся математика вступила в новую эпоху.