Компьютер и геометрия

Обычно в школьном курсе математики изучению поверхностей не уделяется должного внимания. В геометрии из поверхностей рассматриваются только плоскость, сфера, поверхности многогранников и некоторые поверхности вращения. В курсе алгебры и начал анализа поверхности вообще не рассматриваются.

Одним из существенных препятствий для знакомства с поверхностями является ограниченность средств их изображения и показа. Решить эту проблему можно с помощью программы «Математика», которая позволяет легко получать изображения поверхностей.

Одним из наиболее простых способов задания поверхности в пространстве является задание ее графиком функции двух переменных z=f(x,y).

Для получения изображения графика функции z=f(x,y), нужно набрать:

Plot3D[f[x,y],{x,min,max},{y,min,max},BoxRatios->Automatic] где min, max обозначают пределы изменения аргументов х и у.

Нажать клавиши Shift и Enter. В результате на экране появится график функции у =f(х, у).

Например,

Plot3D[x^2+y^2,{x,-1,1},{y,-1,1}, BoxRatios→Automatic] даст график функции z=x2+y2,-1(x(1,-1(y(1.

Если вместо x^2+y^2 подставить x^2-y^2, то получим график функции z=x2-y2.

То получим,

Plot3D[x^2-y^2,{x,-1,1},{y,-1,1}, BoxRatios→Automatic]

Если перечисленные выше графики можно нарисовать и без использования компьютерной программы, то изображение следующих поверхностей требует использование компьютерных средств.

Например,

Plot3D[Sin[x*y],{x,-Pi,Pi},{y,-Pi,Pi},BoxRatios→Automatic] даст график функции z=sin(xy), -((x((, -((y((.

Если вместо Sin[x*y] подставить Sin[х]* Sin[у], то получим график функции z=sin[х]* sin[у].

Программа «Математика 5. 0» позволяет получать изображения не только поверхностей, заданных уравнением z=f(x,y), но и поверхностей вращения. Наиболее простой такой поверхностью является параболоид вращения, получающийся вращением графика функции z= х2 вокруг оси Оz. Для получения поверхности вращения следует набрать:

<

Далее набрать

SurfaceOfRevolution[x^2,{x,0,2}] и снова нажать Shift и Enter.

Получим изображение поверхности вращения

Для получения поверхности вращения графика функции z= Sin х вокруг оси Оz следует набрать:

<

Далее набрать,

SurfaceOfRevolution[Sin[x],{x,0,2 Pi}] и снова нажать Shift и Enter.

Если вместо Sin[х] набрать Exp[х] и в качестве пределов изменения х поставить {х,-1,1}, то получим поверхности вращения графика функции z= ех

Если вместо Sin[х] подставить 1,1/х и пределы изменения х взять от -0,25 до -0,75, то получим поверхность вращения

SurfaceOfRevolution[Sin[1. 1/x],{x,-0. 25,-0. 75}]

Вращать можно не только одну, но и несколько кривых. При этом можно отдельно указать ось вращения. Например, выполнение команды

<

SurfaceOfRevolution[{{1,0,x},{x,0,0},{1,1,x}},{x,0,1},RevolutionAxis→{1,1,1},BoxRatios→Automatic,ViewPoint→{2,-3,1},PlotPoints→25] приведет к поверхности вращения куба вокруг его диагонали,

Если набрать

<

Далее набрать

Show[Graphics3D[Cylinder[]]] и снова нажать и Shift и Enter, то в результате получим изображение боковой поверхности цилиндра

В квадратных скобках можно указать величину радиуса основания, высоты и числа вершин многоугольника в основании цилиндра. Например, исполнение команды

Show[Graphics3D[Cylinder[2,1,6]]] приводит к боковой поверхности прямой шестиугольной призмы

Если вместо слова Cylinder написать слово Соnе, т. е. набрать

Show[Graphics3D[Cone[]]] и снова нажать и Shift и Enter, то в результате получим изображение поверхности конуса

В квадратных скобках можно указать величину радиуса основания, высоты и числа вершин многоугольника в основании конуса. Например, исполнение команды

Show[Graphics3D[Cone[2,1,6]]] приводит к поверхности прямой шестиугольной пирамиды

Если вместо слова Соnе написать слово Тоrus, т. е. набрать

Show[Graphics3D[Torus[]]] и снова нажать и Shift и Enter, то в результате получим изображение поверхности тора, поверхности, напоминающей баранку или бублик

Если вместо слова Тоrus написать слово Неliх, т. е. набрать

Show[Graphics3D[Helix[]]] и снова нажать и Shift и Enter, то в результате получим изображение поверхности, которая называется геликоидом и напоминает винтовую лестницу

Если вместо НеIiх написать МоеbiusStrip, то получим изображения листа Мебиуса.

Show[Graphics3D[MoebiusStrip[2,1,80]]]

Поверхность, называемая листом Мебиуса или лентой Мебиуса, была открыта в 1858 году немецким астрономом и математиком А. Ф. Мебиусом (1790—1868).

Примеры поверхностей.

Plot3D[Sin[x]*Sin[y],{x,-3Pi,Pi},{y,-3Pi,Pi},

BoxRatios→Automatic]

Plot3D[Sin[x y],{x,0,3},{y,0,3}]

With[{b=1},Plot3D[b x y,{x,0,1},{y,0,1}]]

Show[RotateShape[Graphics3D[MoebiusStrip[]],Pi/4,Pi/3,Pi/2]]

Show[TranslateShape[Graphics3D[Helix[0. 5,0. 5,2,20]],{1. 5,0,0}],Graphics3D[Helix[1,0. 5,4,20]]]

SurfaceOfRevolution[Sin[x],{x,0,2 Pi},ViewVertical→{1,0,0},Ticks→{Automatic,Automatic,{-1. ,0,1. }}]

SurfaceOfRevolution[{1. 1 Sin[u],u^2},{u,0,3 Pi/2},BoxRatios→{1,1,2}]

SurfaceOfRevolution[x^2,{x,0,1},RevolutionAxis→{1,1,1}]

ParametricPlot3D[{Cos[u] Cos[v],Sin[u] Cos[v],Sin[v]},{u,0,2Pi,Pi/20},{v,-Pi/2,Pi/2,Pi/10}]

SphericalPlot3D[2,{theta,0,Pi},{phi,0,2Pi}]

CylindricalPlot3D[(1+Sin[phi]) r^2,{r,0,1},{phi,0,2Pi}]

CylindricalPlot3D[(1+Sin[phi]) r^2,{r,0,1},{phi,0,2Pi},Boxed→False,Axes→False,ViewPoint→{1. 5,-0. 5,. 2}]

dbell=ParametricPlot3D[{Sin[t],Sin[2t] Sin[u],Sin[2t] Cos[u]},{t,-Pi/2,Pi/2},{u,0,2Pi},Ticks→None]

ContourPlot3D[Cos[Sqrt[x^2+y^2+z^2]],{x,-2,2},{y,0,2},{z,-2,2}]

g=ParametricPlot3D[{x,Cos[t] Sin[x],Sin[t] Sin[x]},{x,-Pi,Pi},{t,0,2Pi},Axes→False,Boxed→False]

SurfaceOfRevolution[Sin[x],{x,0. 25,-10}]

SurfaceOfRevolution[Sin[1/x],{x,0. 25,1}]

SurfaceOfRevolution[Sin[x],{x,-1,1}]