Свойства числовых функций

Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Понятие функции уходит своими корнями в ту далёкую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны.

Определение функции дал в 1718 г. И. Бернулли «Функцией переменой величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Эйлеру принадлежит определение функции более близкое к современному «

Величины, зависящие от других так, что с изменением вторых меняются и первые, принято называть их функциями».

И так, знание законов природы дало человечеству возможность объяснять и предсказывать её разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция.

О 1 Числовой функцией с областью определения D называется соответствие при котором каждому числу x из множества D сопоставляется, по некоторому правилу, число у, зависящее от х.

Правила сопоставления:

• Описание

• Таблица

• График

• Формула

Описание « Каждому натуральному числу поставить в соответствие квадрат этого числа».

Таблица Сечение жилы (мм2)

Допустимый ток (А)

Формулы:

О 2. Чаще всего функция задаётся с помощью формулы. При этом если не дано дополнительных ограничений, то областью определения функции считают множество значений независимой переменной, при которой эта формула имеет смысл. Обозначают область определения функции D.

О 3. Множество, состоящее из всех чисел f(x) таких, что x принадлежит области определения функции, называют множеством значений функции.

Обозначают множество значений функции Е.

Область определения и множество значений функции

Функции D(y) E(y)

Примеры

D(y) =R E(y) =R

D(y) =R E(y) =

D(y) = E(y) =

D(y) = E(y) =

Нули функции

О 4. Нулём (или корнем) функции называется такое значение переменной х, при котором значение функции равно нулю. Графически нули функции есть точки пересечения её графика с осью абсцисс.

О 5. Если область определения (D) функции симметрична относительно начала системы координат, то есть x є D(y) и -x є D(y) и выполняется равенство y(x)=y(-x), то фунция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси Oy.

О 6. Если область определения функции (D) симметрична относительно начала системы координат, то есть x є D(y) и -x є D(y) и выполняется равенство y(-x)= -y(x) , то функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала системы координат.

Из школьного курса нам известны элементарные функции, обладающие этим свойством

Чётные функции Нечётные функции Функции общего вида

Задание 1. Доказать, что данная функция является чётной.

Решение.

, т. е. данная функция является чётной.

Задание 2. Доказать, что данная функция является нечётной.

Решение.

, т. е. данная функция является нечётной.

Задание 3. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

Решение.

Функция является функцией общего вида.

Задание 4. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

Решение.

Т. к. , то D(f)=. Область определения функции не симметрична относительно начала системы координат, поэтому функция является функцией общего вида.

Задание 5. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

Решение.

Т. к. и , то функция является функцией общего вида.

Задание 6. Исследовать функцию на чётность, нечётность.

Решение.

Т. к. и , то функция является функцией общего вида.

Задание 7. Определить тип функции

Нечётные

Общего вида

Задание 6.

По графику определите вид функции

Задание 7.

На рисунке построен график функции f для всех x≥

0, удовлетворяющих условию. Постройте график функции f, если известно, что f – чётная функция.

Задание 8.

На рисунке построен график функции f для всех x≤

0, удовлетворяющих условию. Постройте график функции f, если известно, что f – нечётная функция.

О 1 Функция у (х) называется периодической, если в ее области определения вместе с x содержится (x-T) и (x+T), где T- наименьший положительный период, и выполняется равенство y(x-T)=y(x)=y(x+T).

Замечание.

Наименьший положительный период функций и.

Наименьший положительный период функций и.

Замечание.

Если функция f периодическая и имеет период T, то функция Af(kx+b), где A, k и b постоянные, а k≠ 0, также периодична, причём её период равен T1=T / к, где T – наименьший положительный период периодической функции; к - коэффициент при х, к є R/{0}.

Так, например, для функции y=sin2x наименьший положительный период Т1 будет равен: T1=2π/2=π.

Задание.

На рисунке изображена часть графика функции имеющей период T.

Постройте график этой функции на промежутке [-1,5T;1,5T].

О 2. Функция f возрастает на промежутке P, если для x1є P и x2 є P из того, что x2 > x1 следует f(x2)>f(x1) (или из того, что x2 < x1 следует f(x2)

О 3. Функция f убывает на промежутке P, если для x1є P и x2 є P из того, что x2 > x1 следует f(x2)f(x1)).

Функция возрастает на R. Функция убывает на R.

Функция возрастает на и на Функция возрастает на и на

Функция возрастает Функция возрастает на и убывает на.

на и убывает на.

О 4. Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство f(x)≥f(x0).

О 5. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x0).

Решение заданий из «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы» под редакцией Дорофеева Г. В.

X х3 х2