Решение комбинаторных задач с помощью электронных таблиц Excel и языка программирования QBasic

Не всегда можно предсказать наблюдаемые явления с помощью точно определённых правил. Часто какие-либо предположения делаются на основе статистических данных. Например, как правило, нельзя точно предсказать течение заболевания; можно говорить о прогнозе лишь с некоторой долей уверенности. Занимаясь прогнозированием, человек обычно оперирует событиями, которые могут иметь несколько различных исходов. Эти исходы и связанные с ними события имеют неодинаковые шансы на появление. Количественное описание правдоподобия отдельных исходов и событий основывается на понятии вероятности. Предполагается, что каждому событию, возможному в данном случайном испытании, может быть приписана числовая мера его правдоподобия, называемая его вероятностью. Анализом таких событий занимается теория вероятностей, которая невозможна без комбинаторики. акие-либо предположения делаются на основе статистических данных. нённых правил. данное время. В современном мире огромное значение имеют задачи теории вероятностей и математической статистики, а их решение невозможно без элементов комбинаторики. Умение находить число сочетаний требуется для возведения в любую степень двучлена

Цели работы: изучить теоретический материал о комбинаторике, ее основных элементах, научиться решать комбинаторные задачи с помощью электронных таблиц Excel, составить программы для решения задач на языке QBasiс и сравнить методику решения комбинаторных задач с помощью Excel и языка программирования QBasic, - pасшиpить пpедставление о возможностях комбинаторных задач.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме, сравнение решения комбинаторных задач математическим способом, в Excel и на языке программирования QBasic.

Полученные результаты: изучен теоретический материал по теме; рассмотрена возможность составления программ на языке программирования QBasiс, решение задач с помощью электронных таблиц Excel, научилась копировать и вставлять в текст эскиз окна, открытого для работы.

Область применения: в теории вероятности, статистике.

Введение

Тема, над которой я работала: «Решение комбинаторных задач с помощью Excel и языка программирования QBasic», актуальна, особенно в классах с углубленным изучением математики, где я учусь в данное время.

Не всегда можно предсказать наблюдаемые явления с помощью точно определённых правил. Часто какие-либо предположения делаются на основе статистических данных. Например, как правило, нельзя точно предсказать течение заболевания; можно говорить о прогнозе лишь с некоторой долей уверенности. Занимаясь прогнозированием, человек обычно оперирует событиями, которые могут иметь несколько различных исходов. Эти исходы и связанные с ними события имеют неодинаковые шансы на появление. Количественное описание правдоподобия отдельных исходов и событий основывается на понятии вероятности. Предполагается, что каждому событию, возможному в данном случайном испытании, может быть приписана числовая мера его правдоподобия, называемая его вероятностью. Анализом таких событий занимается теория вероятностей, которая невозможна без комбинаторики. акие-либо предположения делаются на основе статистических данных. нённых правил. данное время.

Цели работы: изучить теоретический материал о комбинаторике, ее основных элементах, научиться решать комбинаторные задачи с помощью электронных таблиц Excel, составить программы для решения задач на языке QBasiс и сравнить методику решения комбинаторных задач с помощью Excel и языка программирования QBasic.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме, сравнение решения комбинаторных задач математическим способом, в Excel и на языке программирования QBasic.

В 1666 году Лейбниц опубликовал "Рассуждения о комбинаторном искусстве". В

своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины для подмножеств и операций над ними находит все k -сочетания из n элементов выводит свойства сочетаний: , , ,

- строит таблицы сочетаний до n = k = 12, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др.

В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства. Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое). Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено. Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

• для числа перестановок из n элементов,

• для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениямими,

• для числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания. В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям. В математике в XIX веке появился сначала термин "геометрическая конфигурация" в лекциях по проективной геометрии профессора университета в Страсбурге К. Т. Рейе (1882).

Основные элементы комбинаторики

Размещения и перестановки

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук ( k  ≤  n ), тогда говорят, что произведена выборка объёма k. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке , если порядок не важен, то о неупорядоченной.

  Упорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, ( k  ≤  n ) называется размещением из n элементов по k. Количество размещений обозначается