Причины изучения задач оптимизации
О задачах на максимумы и минимумы я узнала в школе. Вот одна из них: требуется найти наибольшую площадь прямоугольного треугольника с заданной суммой длин катетов. Это задача о максимуме. Во многих случаях ищут минимум- наименьшее значение чего-либо. Оба понятия, максимум и минимум, объединяются термином экстремум. Задачи на отыскание максимума и минимума называются экстремальными. Почти тот же смысл вкладывается в термин <<задачи оптимизации>>. В математике изучение задач на наибольшее и наименьшее значение началось двадцать пять веков назад. Но примерно триста лет назад были созданы первые общие методы решения задач на экстремум. Эти задачи играют очень большую роль в нашей жизни, а какую- мы узнаем позже.
+ 1:Дать наиболее полное представление о данной теме.
+ 2:Рассмотреть применение<<экстремальных задач>> в жизни.
+ 3:Подготовиться к экзамену ЕГЭ.
+ 4:Более углубленно изучить тему с программой Microsoft Office PowerPoint.
Причины изучения задач оптимизации:
Разные причины побуждают людей решать задачи на экстремум. Добиться наивысшего при заданных условиях результата(прибыли, мощности, скорости) или понести наименьшие потери(времени, материалов, энергии)-желание вполне понятное и естественное. Поэтому задачи оптимизации играют большую роль в нашей жизни. Другая причина может показаться неожиданной: как выяснилось, многие законы природы основаны на экстремальных принципах. Например, луч света распространяется по самому быстрому пути. Меня же всегда интересовали задачи оптимизации, но только на уроках алгебры я узнала, что их можно решать математическим методом.
Немного истории.
Пифагору принадлежит высказывание: <<Прекраснейшим телом явля - ется шар, а прекраснейшей плоской фигу - рой - круг>>. Почему круг и шар - <<прекраснейшие>>?
Николай Коперник в бессмертной книге <<Об обращениях небесных сфер* даёт та - кой ответ: <<Мир является шарообразным. по - тому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно объять всё>>. Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник пола - гал, что его <<архитектура>> подчинена принци - пам экстремальности и совершенства.
Задачи на максимумы и минимумы всегда привлекали внимание математиков.
Встречаются они и в трудах трёх величайших геомет - ров Древней Греции - Евклида,
Аполлония Пергского и Архимеда. В <<Началах>> Евклида есть такая задача: в треугольник
АВС нужно впи - сать параллелограмм СDEF наибольшей площади . Архимед нашёл шаровой сегмент, вмещающий максимальный объём среди всех сегментов, имеющих заданную площадь боко - вой поверхности (им оказался полушар). Апол - лоний отыскивал кратчайшие расстояния от точки до эллипса, гиперболы и параболы. Мно - гие красивые задачи на экстремум геометри - ческого содержания были решены в эпоху Воз - рождения.
К 30-м гг. XVII в. появилась необходимость отыскать какие-то общие методы решения экстремальных задач. Первый аналитический приём был найден Пьером Ферма.
Открытие состоялось, по-видимому, в 1629 г. , но впервые автор достаточно полно изложил свой метод только в 1636 г. Приём Ферма сводится к следу - ющему: если функция у
=f(х) достигает своего экстремума в точке х, то в данной точке произ - водная функции должна обратиться в нуль, т. е. должно иметь место равенство f'(x0)=0. Намёки на этот приём встречаются также в зна - менитой книге Иоганна Кеплера <<Новая стерео - метрия винных бочек>> (1615 г. ), где учёный решил множество интересных задач на максимум и минимум.
Кеплер писал. - <<Вблизи макси - мума изменения <функции> бывают нечувстви - тельными>>. На геометрическом языке мысль Кеплера и результат Ферма можно выразить таю в точке экстремума касательная к графику функ - ции должна быть горизонтальной (если каса - - тельная не горизонтальна, то изменения функ - ции <<чувствительны>>). Ньютон высказал ту же мысль по-другому: <<Когда величина является максимальной или минимальной, она не течёт ни вперёд, ни назад>> .
Ферма проиллюстрировал свой метод на примере той геометрической задачи, с кото - рой мы начали рассказ. Если через а обозна - чить сумму катетов, а через х - длину одного из них, то площадь прямоугольного треуголь - ника пропорциональна х(а
- х). Уравнение S'(х) = 0 имеет единственный корень х0 = а/2. Это и есть решение задачи: у прямоугольного треугольника наибольшей площади катеты равны.
Интересно, что задача Евклида форма - лизуется точно так же: если длину стороны ВС обозначить через а, то площадь параллело - грамма CDEF пропорциональна S(х) = х(а - х). Значит, у параллелограмма максимальной пло - щади точка F - середина стороны ВС.
Точный смысл идея Ферма приобрела не - сколько десятилетий спустя. В 1684 г. появи - лась работа Готфрида Вильгельма Лейбница <<Новый метод нахождения наибольших и наи - меньших значений.>>, в которой заложены основы математического анализа.
Уже само название труда показывает, какую важную роль сыграла задача о нахождении экстремума в становлении современной математики. Боль - шинство излагаемых
Лейбницем фактов было к тому времени известно Ньютону, но работ на эту тему до 1736 г. он не публиковал. Следующий шаг в теории экстремума был сделан, когда стали искать кривые, наилучшие. с той или иной точки зрения. Первую задачу такого рода решил Ньютон. Это техническая задача о поверхности вращения, испытыва - ющей наименьшее сопротивление в некой <<редкой>> среде. (Но решение Ньютона, данное им в <<Математических началах натуральной философии>> (1687 г. ), так до конца и не поня - ли вплоть до середины XX в. , когда появилось новое направление в теории экстремума, на - званное оптимальным управлением, - одним из его создателей был российский математик Лев Семёнович Понтрягин. )
Теория.
Наибольшее и наименьшее значения функции, понятия математического анализа. Значение , принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором функция задана, называется наибольшим(наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего(меньшего)значения. Наибольшее и наименьшее значения функции по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами(максимумами и минимумами)функции. Максимум и минимум функции, заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нем наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале(т. е. отрезке с исключенными концами),то среди ее значений на этом интервале может не оказаться максимума и минимума. Например, функция y=x,заданная на отрезке[0;1] достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x=1 и x=0(т. е. на концах отрезка);если же рассматривать эту функцию на интервале(0;1),то среди ее значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x0 всегда найдется точка этого интервала, лежащая правее(левее) x0 ,и такая, что значение функции в этой точке будет больше(меньше),чем в точке x0. Решение практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. Теорема Вейерштрасса: непрерывная на отрезке [а; Ь] функция f принима - ет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. на [а; Ь]существуют точки, в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; Ь] значения. Для случая, когда функция f не только непрерывна на отрезке [a;b],но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f. Предположим сначала, что f не имеет на отрезке [а;b] критических точек. Тогда она возрастает или убывает на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наи - меньшее значения функции f на отрезке [а; Ь] - это значения на концах a и b. Пусть теперь функция f имеет на отрезке [a;b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [a;b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функции f на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках a и b.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число кри - тических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка ,а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Пример 1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции у (х) = х[3] - 1,5х[2] - 6х + 1 на отрезке[-2;0]. Сначала найдем критические точки. Так как производная у' (х) = Зх[2] - Зх - 6 определена для любого х, остается решить уравнение y'(x)=0. Решая его, находим x=-1 и x=2. Теперь нужно выбрать наибольшее и наименьшее из чисел у (-2) = -1, у (-1) = 4,5 и у (0) = 1 (критическая точка х = 2 не принадлежит рассматриваемому отрезку). Ясно, что наименьшее значение достигается в точке -2 и равно -1, а наибольшее- в точке -1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:max y(x)=y(-1)=4,5;min y(x)=y(-2)=-1. Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных приклад - ных задач. При этом действуют по следующей схеме: 1) задача <<переводится>> на язык функций. Для этого выби - рают удобный параметр х, через который интересующую нас вели - чину выражают как функцию f(x); 2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке; 3) выясняется, какой практический смысл (в терминах пер - воначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
- Вообще решение практических задач средствами математи - ки, как правило, содержит три основных этапа: 1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики); 2) решение полу - ченной математической задачи и 3) интерпретацию найденного решения (<<перевод>> его с языка математики в терминах первона - чальной задачи). С этим общим методом (его называют методом математиче - ского моделирования) вы уже знакомы, по описанной схеме реша - лись текстовые задачи в курсе алгебры. Приведем пример его при - менения.
Пример 2. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам (рис. 3) квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был мак - симальным?
Решение. 1) Обозначим через х длину стороны основа - ния коробки.
Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны (1/2)(a-x),а объем коробки равен (1/2)(a-x)x2. По смыслу задачи число x удовлетворяет неравенству 0 Таким образом, пример 2 мы свели к такой зада - че: найти наибольшее значение функции V (х) = 1/2 (а - х) х[2] на интервале (0; а). 2) Правило нахождения наименьших и наибольших значе - ний функции было сформулировано для отрезка. Функция V не - прерывна на всей числовой прямой. Мы будем искать ее наиболь - шее значение на отрезке [0; а], потом сделаем выводы для решае - мой нами задачи. Находим критические точки функции: V'(х)=ах-3/2х[2], ах-3/2х[2] =0,тоесть x=0 или x=2/3a. V(2/3a)=1/2(a-2/3a)(2/3a)[2]2/27a[3]. Так как V(0)=0 и V(a)=0,своего наибольшего на отрезке [0;a] значения функции V достигает при x=2/3a,т. е. max V(x)=V(2/3a)=2/27a[3]. Наибольшее значение функции достигается внутри отрезка [0; а], следовательно, и внутри интервала (0; а). 3) Остается вспомнить, что х - длина стороны основания коробки, имеющей при заданных условиях максимально возмож - ный объем. Полученный результат означает, что максимальный объем имеет та коробка, сторона основания которой равна 2/3a. Примеры применения экстремальных задач. В нашей жизни задачи на экстремум очень актуальны и находят свое применение почти в каждой области. Я же затрону лишь некоторые из них. Применение задач в технике. Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 162 дм[3] в форме прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в пол, а ее задняя стенка- в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при которых общая длина сварочного шва будет наименьшей. Решение: V=162 дм3 ;DC=AD=x; V=AD*DC*DD1 162=x[2]*y Y=162/x[2] L-общая длина сварочного шва. L=3x+2y,где x>0;L=3x+324/x[2]. Найдем наименьшее значение функции f(x)=3x+324/x[2] на промежутке (0;+infinity). -6 Поскольку x=6-единственная точка экстремума непрерывной функции f на промежутке (0;+infinity),f(6)-наименьшее значение функции f на этом промежутке. Итак, общая длина сварочного шва будет наименьшей, если x=6. Y=162/6=4,5. Ответ: Общая длина сварочного шва будет наименьшей, если длина стороны основания подставки будет равна 6 дм, а ее высота-4,5 дм. Применение задач в экономике. 1. В нашем государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом V с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки. Решение: Для решения задачи обозначим диаметр основания цилиндра через x , а высоту его через h(все измерения в см. ) Тогда объем цилиндра V=1/4PIx[2]h. Отсюда h=4V/ PIx[2]. Полная поверхность цилиндра S(x)=2*1/4PIx[2]+PIxh=1/2 PIx[2]+ PIx*4V/ PIx[2]=(PIx[3]+8V)/2x. Найдем наименьшее значение функции S(x)= (PIx[3]+8V)/2x на промежутке (0;+infinity). Поскольку x=34V/PI единственная точка экстремума непрерывной функции f на промежутке (0;+infinity),f(34V/PI)-наименьшее значение функции f на этом промежутке. Итак, площадь полной поверхности цилиндра, имеющего объем V , будет наименьшим при x=h=34V/PI то есть тогда цилиндр равносторонний. Ответ: равносторонний цилиндр с диаметром и высотой равными 34V/PI. Применение задач в промышленности. 1. На изготовление открытого бака заданного объема 32 м[3] в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла. Какова должна быть ширина и высота бака? Решение: V = 32м[3]; обозначим через х сторону основания бака. AB = BC = x; 32 = x[2] * h h = 32/x[2] Sосн. = x[2] Sбок. = 4x * 32/x[2] = 128 / x Sоб. = 128/x + x[2] Найдем наименьшее значение функции S(x) = 128/x + x[2] на промежутке (0; 32). Поскольку x = 4 - единственная точка экстремума непрерывной функции f на промежутке (0; 32), f(6) - наименьшее значение функции f на этом промежутке. Итак, ширина бака равна 4 м, а высота h = 32/16 = 2 м. Ответ: ширина бака равна 4 м, а высота - 2 м. 2. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см. Решение: R = 20 см. S наибольшая. AB = 402-x2 S = x 1600-x2 Найдем наибольшее значение функции S (x) = x 1600-x2 на промежутке (0; 20) 0202S(x) Поскольку x = 202 единственная точка экстремума непрерывной функции f на промежутке (0; 20), то f (202) - наибольшее значение функции f на этом промежутке. Итак, длина балки равна 202, а ширина AB = 402-800 = 202 Ответ: длина и ширина балки равны 202 см. Жизненные задачи. 1. Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки A берега. Пассажир лодки желает достигнуть села B, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от A (участок AB берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время? Решение: AM - x км CM = AC2+AM2 = x2+9 км. t1 = x2+94 MB = 5 - x t2 = 5 - x5 t = x2+94+5 - x5 Найдем наибольшее значение функции t(x) = x2+94+5 - x5 045t(x) Поскольку x = 4 единственная точка экстремума непрерывной функции f на промежутке (0; 5), f(4) - наибольшее значение функции f на этом промежутке. Итак, расстояние AM = 4 км. Ответ: 4 км. 2. 60-2x X
Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт. ). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь? (Рис. 1) Решение: Пусть ширина участка x м, а площадь у м[2], тогда: y = (60 - 2x)x = 60x - 2х[2] Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель 60 - 2x > 0, а 0 Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания: y' = 60 - 4x. y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15. Если ширина х = 30 то площадь y = Кривая (черт. ) поднимается от начала 0 до точки М(х = 15), а затем начинает падать. В точке х = 15 функция имеет наибольшее значение. Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 - 2x = 60 - 30=30 (м) 3. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший? Решение: Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр: Y=2(x+36/x)=2x+72/x. Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x: 0 < x < +infinity Определим промежутки ее возрастания и убы - вания: y'=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2. Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке0 Если х = ->infinity ->infinity ->infinity Периметр убывает в промежутке 0 Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат. Ответ: длина и ширина комнаты равны 6 м. Заключение. В своей работе я коснулась лишь некоторых экстремальных задач, но даже эти задачи показали, насколько важна их роль в нашей жизни. Мне понравилась эта тема и я с удовольствием буду продолжать исследования по ней в дальнейшем.
Комментарии