Несколько способов решения одной геометрической задачи

Найти площадь трапеции, основание которой равны 20 см и 10 см, а боковые стороны равны 6 см и 8 см.

Дано: АВСД- трапеция, АВ=6см, ВС=10см, СД=8см,рис. 1

АД=20см.

Найти:SАВСД.

Первое решение .

Проведем отрезки BM и CN так, что BM┴AD и CN┴AD,тогда BCNM-прямоугольник, поэтому BM=CN и BC=MN. Но в таком случае AM+ND=10.

Пусть AM=x, откуда ND=10-x. Используя теорему Пифагора, выразим h из треугольников ABM и DCN: h=6-x, h=8-(10-x), откуда 6-x=8-(10-x). Это уравнение приведем к виду

36- x=64-100+20*x- x

20*x=72,

X=3. 6 (см).

Находим h: h=6-3,6=36-12,96=23,04=4,8

Отсюда h=4,8 (см),

S=*h = *4,8 = 72 (см)

Ответ:72(см).

Второе решение.

Пусть BN┴AD и BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм

Откуда BK=CD=8 см, KD=BC=10 см. Пусть AN=x см, тогда NK=(10-x) см.

Дальнейшее рассуждения полностью совпадают с первым решением.

Третье решение.

Пусть BN┴AD и BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм

Откуда BK=CD=8 см, KD=BC=10 см.

Рассмотрим треугольник ABK:AB=6см, BK=8см, AK=10см. Так как 10=6+8,то треугольник ABK-прямоугольный, используя обратную теорему Пифагора. Применим одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что квадрат катета равен длине проекции этого катета на гипотенузу, умноженную на длину гипотенузы. Для нашего случая:

6=x*10,

X = 3,6.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABN,вычислим h: h=6- 3,6 = 36-12,96=23,04=4,8 h = 4,8 см.

Теперь можно продолжить рассуждения так же, как в первом решении.

Рассмотрев три решения, в которых важную роль играют алгебраические выкладки, мы захотели в дальнейшем не применять алгебраические методы, а предоставить чисто геометрическое доказательство.

Четвертое решение.

Проводим BK║CD, тогда BCDK- параллелограмм, откуда BC=KD=10см, поэтому AK=AD-KD=10см. Тогда треугольник ABK- прямоугольный ( по теореме, обратной теореме Пифагора, так как 10=6+8).

Площадь треугольника ABK вычисляется как полупроизведение его катетов, т. е.

S===24(см).

В то же время, S=, откуда h===4,8 (см).

Значит, S=*h=*4,8=72 (см)

Попробуем теперь решить эту задачу, используя тригонометрические зависимости в прямоугольных треугольниках. Для этого нам понадобятся лишь фрагменты чертежа, которыми сопровождались первые четыре решения.

Пятое решение.

По теореме. Обратной теореме Пифагора, треугольник ABK-прямоугольный

Тогда sin==.

Но треугольник ABN-тоже прямоугольный (по построению BN┴AK).

Тогда BN=AB* sin=6*=4,8 (см). Аналогичные выкладки можно проделать и для угла.

Дальнейшее решение очевидно.

Возникает вопрос: «А можно ли обойтись без теоремы Пифагора?». Теорема Пифагора каждый раз использовалась для нахождения того элемента вспомогательного треугольника, который был необходим для вычисления его площади. Попробуем теперь вычислить площадь вспомогательного треугольника. Не используя его высоту и основание.

Шестое решение.

В треугольнике ABK известны все три стороны, поэтому для нахождения площади можно применить формулу Герона. Для этого сначала посчитаем полупериметр треугольника ABK. По определению p===12 (см).

А теперь займемся вычисление площади:

S====24 (см)

Но S=, отсюда h== 4,8 (см).

Тогда площадь трапеции S=*4,8=72 (см)

После того как рассмотрены методы, которые основываются на свойстве сторон параллелограмма, на понятии площади и на теореме Пифагора, появляется цель «извлечь» решение задачи из темы «Подобие фигур». Для этого достраиваем трапецию до треугольника, продолжив отрезки ABи ДС до пересечения в точке M.

Седьмое решение.

Проведем BK║CD и устанавливаем, что BC=KD, тогда AK=10. По теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаем, что =90, но тогда и угол при вершине M равен 90 по теореме об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. рис5

Треугольники ABKи AMD-подобны (по двум равным углам: угол A-общий, ), коэффициент подобия k=2, так как k=. Отсюда AM=AB*k=12см, DM=BK*k=16см. Но тогда BM=6см, MC=8см, так как B –середина отрезка AM , C-середина отрезка MD. Поскольку треугольники AMD и BMC прямоугольные,

S = (см),

S= (см).

Теперь легко найти площадь трапеции:

S= S- S=96-24=72 (см).

В этом решении была использована лишь часть того, что можно было извлечь из подобия треугольников ( т. е. лишь зависимость между сторонами подобных треугольников). Но можно изменить последний фрагмент решения и воспользоваться тем фактом, что отношение площадей подобных треугольников равно k , т. е. S= k* S=4*24=96 (см).

Тогда S= S- S=96-24=72 (см).

Последняя строка этого решения могла бы выглядеть иначе:

S= S- S= 4* S- S=3* S=3*24=72 (см).

Увидев, что S=3* S, решили эту задачу еще одним способом.

Восьмое решение.

Проводим BK║CD и соединим точки C и K

Треугольники ABK и CKB равны по двум сторонам и углу между ними: как внутренние накрест лежащие при параллельных BC, AD и секущей BK, BK-общая. Тогда AK=BC. Аналогично доказывается равенство треугольников CKB и KCD. Получили три равных треугольника ABK, BKC и KCD. Тогда

S=3*S=3*(см).

На самом деле решений было больше, но все они полностью или частично сводятся к уже рассмотренным.

После анализа всех решений мы убедились, что лучшими из них оказались первое и последнее. Первое решение выигрывает потому, что кажется наиболее естественным, а последнее выглядит простым и оригинальным благодаря дополнительным построениям, в результате которых трапеция была разбита на три равных треугольника. Но в идейном смысле самым богатым оказалось предпоследнее, седьмое, решение. Здесь и дополнительное построение неожиданное – достраивание трапеции до треугольника, и два разных подхода к применению свойств подобных треугольников, и подсказка относительно равенства площадей треугольников, которые рассматривались в последнем решение.