Некоторые свойства непрерывных функций

Пределом переменной величины х называется постоянное число а, если для каждого наперед заданного произвольно малого положительного числа ε можно указать такое значение переменной х, что все последующие значения будут удовлетворять неравенству х–а< ε.

Если число а есть предел переменной величины х, то говорят, что х стремится к пределу а, и пишут: х→ а или lim x=a.

В терминах геометрических определение предела может быть сформулировано следующим образом:

Постоянное число а есть предел переменной х, если для любой наперед заданной как угодно малой окрестности с центром в точке а и радиусом ε найдется такое значение х, что все точки, соответствующие последующим значениям переменной, будут находиться в этой окрестности

Рассмотрим несколько примеров переменных, стремящихся к пределу.

Пример 1. Доказать, что переменная х=1+ имеет предел, равный единице.

Мы имеем, что хn–1=(1+) –1=. Для любого ε все последующие значения переменной, начиная с номера n , где n>, будут удовлетворять условию хn–1< ε, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что переменная wn=(-1)n при неограниченном возрастании n не имеет предела.

Действительно, при возрастании n, переменная wn не стремится ни к какому числу, т. е. не имеет предела.

Предел функции

В этом разделе своей работы я рассмотрел некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу.

Пределом функции ƒ(х) при х→а называется число b, если для любого положительного ε можно указать такое положительное число, что для любого х, удовлетворяющего неравенству х–а<δ, выполняется неравенство ƒ(х)–b<ε. В этом случае пишут: ƒ(х)= b.

Если ƒ(х)→b при х→ а, то на графике функции y=ƒ(х) . Так как из неравенства х–а<δ следует неравенство ƒ(х)–b<ε, то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки а не далее чем на δ, точки М графика функции y=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y=b+ε и y=b–ε.

Если х→ а и х<а, то употребляют запись ƒ(х)=b1; если же х→ а, но х>а, то пишутƒ(х)=b2. Числа b1 и b2 называются соответственно левым и правым пределом функции у=ƒ(х).

Пример 1. Доказать, что (3х+1)=7.

Пусть задано некоторое положительное ε. Для того чтобы выполнялось неравенство, необходимо выполнение следующих неравенств:

3х–6<ε;х–2<ε/3;–ε/3<х–2<ε/3.

Пусть ε/3=δ. Таким образом, для всех значений х, удовлетворяющих условию х–2<δ, значение функции у=3х+1 будет отличаться от 7 меньше, чем на ε. А это значит, что пределом функции ƒ(х)=3х+1 является число 7.

Пример 2. Доказать, что при х→ -1 пределом функции у= является число -2.

Данная функция не определена при х=-1. Нужно доказать, что при произвольном ε найдется такое δ, что будет выполняться неравенство <ε, если х+1<δ. Но при х≠ 2 это неравенство равносильно неравенству (х-1)+2<ε или х+1<ε. А это значит, что.

Основные свойства пределов. Вычисление пределов

Существует много способов вычисления пределов, один из них – применение свойств пределов. Вот основные из этих свойств:

Свойство 1. Предел суммы нескольких переменных равен сумме пределов этих переменных:lim(a1+a2++an)= lim a1+lim a2++lim an.

Пример 1.

Свойство 2. Предел произведения нескольких переменных равен произведению пределов этих переменных:lim(a1∙a2∙∙an)= lim a1∙lim a2∙∙lim an.

Пример 2.

Свойство 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля: lim=, если lim b≠0.

Пример 3.

Свойство 4. Предел степени равен пределу основания в степени предела показателя:lim ab=(lim a) lim b.

Пример 4.

Также один из способов практического вычисления пределов – это сведение к первому или второму замечательному пределу.

Далее я решил показать некоторые часто встречающиеся типы примеров на вычисление пределов, рассмотренные мной в ходе работы над данной темой:

Как мы видим, и в знаменателе, и в числителе – сумма n членов арифметической прогрессии.

В числителе n членов, т. к. ап=1+2n-2=2п-1. Сумма членов в числителе равна п2, в знаменателе –. Составляем частное между полученными результатами и получаем предел равный 2.

Положим х=1-а, тогда а→0.

Пусть и=2+а, а→0.

Непрерывность функций

Где же применяется умение вычислять пределы на практике?

Для исследования функции на непрерывность, для нахождения точек разрыва функций очень важно правильно уметь находить пределы.

Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует предел функции при х→х0, равный значению самой функции в этой точке.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.

Точка х0, принадлежащая области определения функции, называется точкой разрыва, если в этой точки нарушается условие непрерывности.

Если существуют конечные левый и правый пределы функции в точке х0, а функции определена в этой точке, но эти три числа не равны между собой, то точка х0 называется точкой разрыва I рода. Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

Пример 1. Рассмотрим функцию

На каждом из промежутков [-1;1), (1;2), [2,4] функция совпадает с одним из многочленов и поэтому непрерывна.

Исследуем функцию на непрерывность в точке х=1. Найдем для этого односторонние пределы:

Односторонние пределы существуют и равны между собой, однако в точке х=1 значение функции не определено. Точка х=1 является устранимой точкой разрыва I рода. Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию в точке х=1:

Исследуем функцию на непрерывность в точке х=2. Найдем для этого правый и левый пределы функции в этой точке:

Односторонние пределы существуют, но различны. Следовательно, точка х=2 представляет собой точку разрыва I рода – скачок.

Пример 2. Определить точки разрыва функции \.

Данная функция имеет разрыв в точке х=3. Рассмотрим односторонние пределы:.

Таким образом, функция имеет конечный предел слева, предел же справа является бесконечным. Точка х=3 будет точкой разрыва II рода.

Некоторые свойства непрерывных функций

Этот раздел моей работы посвящен свойствам непрерывных на интервале функций. Я приведу лишь некоторые из них, имеющие большое практическое значение.

Свойство 1. Функция, непрерывная на отрезке а≤х≤b, достигает на нем, по меньшей мере, один раз наибольшего и наименьшего значения.

Пример 1. Функция у=-х, непрерывная на отрезке [-1;1], принимает наименьшее значение в точке х=1, а наибольшее – в точке х=-1. Однако на интервале (-1;1) данная функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Свойство 2. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], а на концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль.

Это свойство имеет простой геометрический смысл. График функции y=f(x), соединяющий точки М1 с координатами (а; ƒ(a)) и М2 (b; ƒ(b)), где ƒ(a) и ƒ(b) имеют разный знаки, пересекает ось Ох по крайней мере один раз.

Свойство 3. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения ƒ(a)=А, ƒ(b)=В, то каково бы ни было число μ, заключенное между А и В, найдется такая точка х=с, что ƒ(c)=μ.

В данном случае любая прямая у=μ пересекает график функции y=f(x).

Заключение

Изучив тему «Пределы. Непрерывность функций», я научился вычислять пределы переменных и функций, находить точки разрыва функций. Решение таких задач потребовало от меня большой теоретической подготовки: изучить определения предела в алгебраической и геометрической форме, основные свойства пределов и непрерывных функций, а также научиться применять понятие предела к исследованию функций на непрерывность.

Практическое значение моей работы я вижу в том, что данная тема создает мощный аппарат для углубленного изучения физики. Материалы моей работы могут быть использованы учащимися для углубленного изучения школьного курса, а также послужить основой для учебно-исследовательской работы учащихся.

В ходе своей работы я решил около 65 примеров на нахождение пределов, провел исследование 23 функций на непрерывность, но в работе приведены лишь некоторые из них, которые представляют наиболее часто встречающиеся типы. Кроме того, я самостоятельно составил сборник упражнений по этой теме. Я весьма расширил свой математический кругозор, познакомился с уровнем конкурсных задач при поступлении в вузы. Я убедился, что выбранный мною дальнейший путь – это более глубокое и осмысленное изучение интересных и нужных тем по математике, имеющих выход в сферы других наук.