Культура  ->  Литература  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Некоторые приёмы округления

Владение навыками устного счёта в сочетании со знанием искусственных приёмов сокращённых вычислений даёт возможность учащимся выбирать в каждом отдельном случае наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что приводит не только к дополнительному выигрышу времени при устном счёте, но и к облегчённому выполнению письменного и полуписьменного счёта.

Известно, что устный счёт развивает у школьников инициативу, сообразительность, изобретательность, внимание, слуховую память, мышление.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

Особые приёмы устных вычислений

(округление компонентов действия)

1. Округление одного или нескольких слагаемых основано на изменении суммы от изменения слагаемых

А. Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц, а другое слагаемое оставить без изменения, то сумма увеличится (или уменьшится) на столько же единиц.

Примеры.

497 + 328 = 500 – 3 + 328 = 500 + 328 – 3 = 828 – 3 = 825;

576 + 209 = 576 + 200 + 9 = 776 + 9 = 785

Округляя слагаемые, мы увеличиваем (или уменьшаем) его, а следовательно, и сумму на несколько единиц. Чтобы сумма не изменилась, надо уменьшить (или увеличить) её на столько же единиц.

Б. Если одно из слагаемых увеличить (или уменьшить) на несколько единиц, а другое слагаемое уменьшить (или увеличить) на столько же единиц, остальные слагаемые оставить без изменения, то сумма не изменится.

Примеры.

196 + 194 = (200 – 4) + (190 = 4) = 200 – 4 + 190 + 4 = 200 + 190 – 4 + 4 = =390

69 + 513 = (69 + 13) = 82 + 500 = 582

Переместили несколько единиц из одного слагаемого в другое, и сумма не изменилась.

В том случае, когда одно из слагаемых близко к разрядной единице (на несколько единиц больше или меньше), удобнее заменить его разрядной единицей, а в полученный от сложения результат внести необходимую поправку.

Во всех этих примерах округляем отдельные слагаемые, то есть, то или иное слагаемое дополняем до ближайшего большого круглого числа.

2. Округление уменьшаемого или вычитаемого на несколько единиц

А. Если уменьшаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность соответственно увеличится или уменьшится на столько же единиц.

Пример.

792 – 246 = (800 – 246) – 8 = 554 – 8 = 546

Уменьшаемое увеличено на несколько единиц, получившаяся разность должна быть уменьшена на столько же единиц.

Пример.

603 – 325 = (600 – 325) + 3 = 278

Из уменьшаемого вычли несколько единиц, получившаяся разность должна быть увеличена на столько же единиц.

Округляя уменьшаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его на несколько единиц. Следовательно, и разность увеличивается (или уменьшается) на столько же единиц. Чтобы разность не изменилась, надо её уменьшить (или увеличить) на столько же единиц.

Б. Если вычитаемое увеличить (или уменьшить) на несколько единиц, то разность соответственно уменьшится (или увеличится) на столько же единиц.

Пример.

783 – 598 = (783 – 600) + 2 = 183 + 2 = 185

Вычитаемое увеличено на несколько единиц, получившаяся разность должна быть увеличена на столько же единиц.

Пример.

910 – 514 = (910 – 510) – 4 = 400 – 4 = 396

Вычитаемое уменьшено на несколько единиц, получившаяся разность должна быть уменьшена на столько же единиц.

Округляя вычитаемое, мы увеличиваем (или уменьшаем) его на несколько единиц, а следовательно, разность уменьшается (или увеличивается) на столько же единиц. Чтобы разность не изменилась, надо её увеличить (или уменьшить) на столько же единиц.

Всегда выгоднее округлять вычитаемое, так как разрядное число легче вычитается из любого числа.

3. Округление уменьшаемого и вычитаемого

Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить (или уменьшить) на одинаковое число единиц, то разность не меняется.

Примеры.

131 – 96 = (131 + 4) – (96 + 4) = 125 – 100 = 25

987 – 192 = (987 + 13) – (192 + 13) = 1000 – 205 = 795

В данных примерах уменьшаемое и вычитаемое увеличено на одно и то же число, разность не изменилась.

752 – 309 = (752 – 9) – (309 – 9) = 743 – 300 = 443

В данном примере уменьшаемое и вычитаемое уменьшены на одно и то же число, разность не изменилась.

602 – 398 = (600 + 2) – (400 – 2) = (600 – 400) + 2 + 2 = 200 + 4 = 204

903 – 296 = (900 + 3) – (300 – 4) = (900 – 300) + 3 + 4 = 600 + 7 = 607

В данных примерах, округляя уменьшаемое, мы уменьшаем разность на несколько единиц, округляя вычитаемое, мы увеличиваем разность на несколько единиц. Следовательно, полученная разность должна быть увеличена на такую сумму единиц. На какую мы уменьшили уменьшаемое и увеличили вычитаемое.

УМНОЖЕНИЕ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

1. Округление одного из множителей

Если один из двух множителей увеличить или уменьшить на несколько единиц, то произведение соответственно увеличится или уменьшится на число, равное произведению другого множителя на прибавляемое или вычитаемое число единиц.

А. Округляем множимое до разрядного числа единиц, отнимая от него несколько единиц, затем умножаем отдельно разрядное число и отнятые единицы на множитель и полученные произведения складываем.

Пример.

Б. Округляем множимое до разрядного числа, прибавляя несколько единиц, умножаем отдельно разрядное число и прибавленные единицы на множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение.

Пример.

2. Округление множителя

А. Округляем множитель до разрядного числа, уменьшая его на несколько единиц, затем отдельно умножаем множимое на разрядное число и на отнятые единицы и полученные произведения складываем.

Пример.

К этому способу сокращённого умножения подходит умножение на 15, 150, на 11, 111, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.

При умножении на 15 умножают на 10 и прибавляют половину полученного произведения.

Примеры.

При умножении на 150 умножают на 100 и прибавляют половину полученного произведения.

Примеры.

При умножении на 11 данное число умножают на десять и к полученному произведению прибавляют данное число.

Примеры.

К этому же способу сокращённого умножения подходит умножение на 12.

Б. Округляем множитель до разрядного числа, увеличивая его на несколько единиц, затем умножаем отдельно разрядное число и прибавленные единицы, умноженные на множитель, и из первого произведения вычитаем второе произведение.

Пример.

К этому же способу сокращённого умножения подходит умножение на 99, 999 и т. п.

При умножении на 9, 99, 999 и т. д. умножают данное число на 10, 100, 1000 и т. п. и из полученного произведения вычитают данное число.

При умножении на 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 данное число умножается на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 и из полученного произведения вычитают данное число.

3. Округление слагаемого или уменьшаемого и умножение

А. Округление слагаемого и замена сложения умножением. На основании определения умножения и изменения суммы от изменения слагаемых можно округлять слагаемые до одного и того же разрядного числа, разрядное или из произведения вычесть разницу, которая получается в результате замены каждого слагаемого разрядным числом. слагаемое число умножить на число слагаемых и к произведению прибавить

Пример.

Б. Округление уменьшаемого и умножение. Если уменьшаемое можно разложить на два слагаемых, одно из которых является множимым вычитаемого и легко отнимается от уменьшаемого, то вычитание производят следующим образом:

Пример.

Деление, сложение и вычитание

Округление делимого основано на изменении частного от изменения делимого на несколько единиц.

От увеличения или уменьшения делимого на какое-нибудь число частное увеличивается на частное, полученное от деления прибавленного числа на делитель, или уменьшается на частное, полученное от деления отнятого числа на делитель.

Пример.

810 045 : 9 = (810 000 + 45) : 9 = 810 000 : 9 + 45 : 9 = 90 000 + 5 = 90 005

Рассмотрим ещё некоторые виды округления.

Округление путём группировки слагаемых

Примеры.

18 + 52 + 13 + 37 + 65 + 35 = (18 + 2) + 50 + (13 + 37) + (65 + 35) = 220

38 + 57 + 69 + 12 + 11 + 23 = (38 + 2) + (57 + 3) + (69 + 1) + 10 + 10 + 20 = 210

В приведённых примерах происходит дополнение одних слагаемых до «круглых чисел», путём изъятия единиц, нужных для дополнения, из других слагаемых. Так, в первом примере к 18 прибавляем 2, взятые от 52, остальные слагаемые группируем так, чтобы частные суммы были круглыми числами.

Во втором примере к 38 прибавляем 2, взятые от 12; к 57 прибавляем 3, взятые от 23, и к 69 прибавляем единицу, взятую от 11, и, таким образом, получается:

40 + 60 + 70 + 10 + 10 + 20 = 210

Способ округления путём использования сочетательного и переместительного закона сложения

Примеры.

67 + 89 + 92 + 11 + 33 + 8 = (67 + 33) + (89 + 11) + (92 + 8) = 300

169 + 197 + 189 + 11 + 31 + 3 = (169 + 31) + (197 + 3) + (189 + 11) = 600

Пользуясь сочетательным и переместительным законами, мы соединяем числа в такие группы, которые дают круглые числа. В первом примере соединяем так: 67 и 33; 189 и 11; 92 и 8. Аналогично, и во втором примере.

Замена сложения умножением (через округление слагаемых)

Примеры.

95 + 99 + 96 + 98 + 97 = 100 • 5 - (5 + 1 + 4 + 2 + 3) = 500 – 15 = 485

189 + 185 + 186 + 187 + 188 = 200 • 5 - (11 + 15 + 14 + 13 + 12) = 1000 – 65 = 935

Способ этот с удобством применяется в том случае, когда цифры старших разрядов слагаемых, начиная с десятков, одни и те же, разница же между слагаемыми только в единицах. Действуем на основании известного свойства суммы: если от каждого слагаемого отнять по какому-нибудь числу и сумму этих отнятых чисел прибавить к сумме уменьшенных слагаемых, то первоначальная сумма не изменится. (Или наоборот: если прибавить к каждому из слагаемых по какому-нибудь числу и затем сумму этих прибавленных чисел отнять от суммы увеличенных слагаемых, то сумма останется без изменения).

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)