Наглядное представление построения графиков функций
При изучении в школе различных наук, мы часто сталкиваемся с таким понятием как «функция». В биологии, например, под выражением «функции мозга» мы подразумеваем роль, которую играет в организме изучаемый орган. Однако в математике данный термин имеет совершенно иное значение.
Понятие функции является достаточно сложным для понимания учеников. При прохождении на уроках математики темы „Графики функций и их преобразование” у подростков возникает немало трудностей: учащиеся трудно усваивают для себя материал, затрудняются при ответе на уроке и при выполнении домашних заданий. В частности, дети путают, в каком направлении и на сколько единиц нужно сдвинуть график исходной функции, чтобы получить график более сложной функции.
Учитывая эти факты, в предыдущем году я написал ряд программ, показывающих преобразования графиков функции в движении. Однако у этих программ был ряд минусов: невозможность их запуска без среды Turbo Basic, в которой велась разработка, невозможность ввода дополнительных данных для построения (например, коэффициента при переменной x) – программы демонстрировали заранее описанные преобразования – и отсутствие интерфейса.
Познакомившись на уроках информатики с языком программирования Visual Basic, я задумался о продолжении разработки своего проекта. Осмыслив опыт предыдущей работы и оценив возможности новой для меня среды программирования, я решил создать программу, которая могла бы строить графики всех типов существующих функций и в которой были бы исправлены прежние недочеты. Для достижения этой цели я поставил для себя ряд задач:
- изучить функции, их свойства;
- изучить графики функций и виды их преобразований;
- изучить азы программирования в среде Visual Basic 6. 0;
- разработать проект программы;
- на основе изученного реализовать проект;
- протестировать полученную программу, сделать выводы.
Программа, которую я рассчитываю написать в ходе своей работы, может быть использована преподавателями для демонстрации детям и должна помочь как первым, так и вторым: учителям - в объяснении темы „Графики функций”, учащимся же - в ее освоении.
§1. Понятие функции.
Функция – зависимость переменной y от переменной x, причем каждому значению x соответствует единственное значение y. Значение y, соответствующее заданному значению x, называют значением функции. Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y – зависимой переменной, поскольку значение функции (y) зависит от значения аргумента.
Если переменная y является функцией от переменной x, то следует запись y=f(x), что читается как «эф от икс» Буквой f обозначается функциональная зависимость между переменными x и y; f(x) есть значение функции, соответствующее значению аргумента. Так же говорят, что f(x) это ничто иное, как значение функции в точке x.
Для каждой функции существуют свои область определения область допустимых значений. Все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения функции. То есть это те значения независимой переменной, при которых выражение для переменной y имеет смысл.
Все значения, которые принимает функция f(x) (при x, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции.
Например, рассмотрим функцию y=x2. Аргумент в данном случае может принимать любые значения, следовательно, область определения функции y=x2 есть множество действительных чисел. Так как x2 при любых значениях x является числом положительным, то область допустимых значений, которые может принимать функция, составляют исключительно положительные числа (при аргументе же, равном нолю, функция также равна нолю).
Такие функции, область определения и область значений которых являются числовые множества, расположенные в области действительных чисел R, называются действительными.
§2. Способы задания функций
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
1. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы y=f(x), где f(x) – некоторое выражение с переменной x. В данном случае функция задается формулой, и говорят, что функция задана аналитически.
Например, функция y=x+2 задана аналитически. Чтобы найти значение функции в любой точке x достаточно найти числовое значение выражения x+2 в выбранной точке.
2. На практике же часто используется табличный способ задания функции. При этом приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Существуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать формулы, задающие функции.
Примером табличного задания функции может послужить таблица кубов. Поскольку в таблице приводятся числа и их кубы, то соответственно, зависимость y(x), а значит и формула, с помощью которой задается функция, записывается так: y=x3.
3. Задание функции возможно путем задания графика данной функции.
При этом на графике выбирают точки, определяют их координаты, находят зависимость между переменными x и y и выражают ее в виде формулы, задающей функцию.
§3. Графики функций
Множество все пар действительных чисел называется числовой плоскостью. Для числовой плоскости существует геометрическая модель – координатная плоскость. Она определяется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом O и одинаковым масштабом. Точка O называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью x, вертикальная – осью ординат или осью y.
Допустим, что функция задана аналитически формулой y=f(x). Если на координатной плоскости отметить все точки, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции, то множество точек (x;y) есть график функции.
На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.
Графики позволяют многое сказать и о свойствах изучаемых функций.
1º. Четность и нечетность функции.
Если график функции симметричен относительно оси ординат, то такая функция является четной (функция называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство y(-x)=y(x)).
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной (нечетной называется функция, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)).
Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция не является ни четной, ни нечетной.
2º. Возрастание и убывание функции.
Если при увеличении значения аргумента значение функции уменьшается (чем правее будем брать на графике точки, тем ниже они будут располагаться), то функция является убывающей.
Если при увеличении значения аргумента значение функции возрастает (чем правее будем брать на графике точки, тем выше они будут располагаться), то функция является возрастающей.
Стоит отметить, что функция может быть возрастающей и убывающей одновременно. График наглядно показывает, на каких участках оси х функция убывает, а на каких наоборот возрастает.
Преобразования графиков функций
В математике существуют сложные функции, представляющие собой результат преобразования элементарных функций. Соответственно, чтобы получить график сложной функции необходимо выполнить преобразования графика исходной элементарной функции. Рассмотрим, какие возможны преобразования исходных графиков для получения новых.
Новая функция Преобразование исходного графика y=f(x) для получения графика новой функции
1. y=-f(x) Симметрия относительно оси Ох
2. y=f(-x) Симметрия относительно оси Оу
3. y=f(x)+b Параллельный перенос по вертикали на b вверх при b›0, вниз при b‹0
4. y=f(x+b) Параллельный перенос по горизонтали на b влево при b›0 и вправо при b‹0
5. y=q∙f(x), где q›0 Растяжение по вертикали в q раз при q›1, сжатие по вертикали в 1/q раз при q‹1
6. y=f(qx), где q›0 Сжатие по горизонтали в q раз при q›1, растяжение по горизонтали в 1/q раз при q‹1
7. y=f(x) Верхние участки остаются на месте, нижние преобразуются симметрично относительно оси Ox
8. y=f(x) Участок, расположенные левее Oy, удаляется, правый участок полностью сохраняется и преобразуются симметрично относительно оси Oy
Рассмотрим примеры преобразований по этим правилам.
Пример 1. Построить график функции y=(5/(2x+3))-4
Ход построения:
- строим график функции у=1/х
- чтобы получить график функции у=1/2х, сжимаем исходный график по горизонтали в 2 раза
- чтобы получить график функции у=1/(2х+3), нужно график функции у=1/2х перенести по горизонтали на три единицы влево
- чтобы получить график функции у=5/(2х+3), нужно график функции у=1/(2х+3) растянуть по вертикали в 5 раз
- чтобы построить график функции у=(5/(2х+3))-4, нужно график функции у=5/(2х+3) перенести по вертикали на 4 единицы вниз
Пример 2. Построить график функции у=2(5/(2x+3))-4+1
Ход построения:
- чтобы построить график функции y=(5/(2x+3))-4, нужно нижние участки графика у=(5/(2х+3))-4 преобразовать симметрично относительно Ох
- чтобы построить график функции у=2(5/(2x+3))-4, нужно растянуть график функции y=(5/(2x+3))-4 по вертикали в 2 раза
- чтобы построить график функции у=2(5/(2x+3))-4+1, нужно график функции y=(5/(2x+3))-4 перенести по вертикали на одну единицу вверх
§4. Виды функций
Рассмотрим основные существующие виды функций и их свойства.
1. Постоянная функция.
Постоянной называется функция, заданная формулой у=b, где b – некоторое число.
Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат.
2. Прямая пропорциональность.
Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой y=kx, где k≠0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции y=kx:
- область определения функции – множество всех действительных чисел.
- y=kx – нечетная функция (f(-x)=k(-x)=-kx=-f(x)).
- при k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой.
Графиком прямой пропорциональности y=kx является прямая, проходящая через начало координат.
3. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой y=kx+b , где k и b – действительные числа. Если, в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
Перечислим свойства линейной функции y=kx+b при k≠0, b≠0.
- область определения функции – множество всех действительных чисел.
- функция y=kx+b ни четна, ни нечетна.
- при k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой оси.
Графиком линейной функции y=kx+b является прямая.
4. Обратная пропорциональность.
Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную формулой y=, где k≠0. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
Перечислим свойства функции y=.
- область применения – множество всех действительных чисел, кроме нуля.
- y= нечетная функция (поскольку f(-x)===-f(x)).
- если k>0 , то функция y= убывает на промежутке (0;+∞) и на промежутке (-∞;0). Если k<0 , то функция y= возрастает на промежутке (0;+∞) и на промежутке (-∞;0).
График обратной пропорциональности называют гиперболой.
5. Степенная функция с натуральным показателем.
Функция y=xn, где n – это натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. Рассмотрим свойства функций с четным и нечетным показателями.
При n=1, мы получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены во втором пункте.
Функция y=x2 (n=2). Данная функция обладает следующими свойствами:
- область определения функции – вся числовая прямая
- y=x2 – четная функция (f(-x)=(-x)2=x2=f(x))
- на промежутке [0;+∞) функция возрастает
- на промежутке (-∞;0] функция убывает
Графиком функции y=x2 называется параболой.
Если мы возьмем четное число n, большее двух, то свойства функции y=xn не изменятся, а график ее будет напоминать параболу y=x2 , однако чем больше будет число n, тем круче ветви графика идут вверх при x›1.
Для функции y=x3 (n=3) присущи следующие свойства:
- область определения функции – вся числовая прямая
- y=x3 – нечетная функция (f(-x)=(-x)3=-f(x))
- функция возрастает на всей числовой прямой
График такой функции называется кубической параболой.
Если взять нечетное число n, большее трех, то функция y=xn будет обладать теми же свойствами, что и функция y=x3. График такой функции будет напоминать кубическую параболу, но ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n.
6. Степенная функция с целым отрицательным показателем.
Рассмотрим функцию y=x -n, где n – натуральное число. Рассмотрим свойства функции при нечетных и четных показателях.
При n=1 получаем функцию y=x-1=1/x, свойства которой перечислены в четвертом пункте.
Пусть n – нечетное число, большее единицы, n=3;5;7. В этом случае функция обладает в основном теми же свойствами, что и функция у=1/х. График функции напоминает график функции у=1/х.
Пусть n – четное число, например n=2. Перечислим свойства функции y=x -2 , то есть функции у=1/х2:
- функция определена при всех х≠0
- у=1/х2 - четная функция
- у=1/х2 убывает на участке (0;+∞) и возрастает на участке (-∞;0)
Теми же свойствами обладают любые степенные функции с отрицательным четным показателем n, большем двух.
7. Функция обладает следующими свойствами:
- область определения – луч [0;+∞)
- функция ни четна, ни нечетна
- функция возрастает на луче [0;+∞)
Если брать корень четной степени, большей двух, то функция будет обладать теми же свойствами, что и функция , а график ее будет напоминать график функции.
8. Функция обладает следующими свойствами:
- область определения функции – вся числовая прямая
- функция нечетна, так как
- функция возрастает на всей числовой прямой
Так как функция нечетна, то ее график будет симметричен относительно начала координат.
Если брать корень нечетной степени, большей трех, то функция будет обладать теми же свойствами, что и функция , а график ее будет напоминать график функции.
9. Степенная функция с положительным дробным показателем.
Рассмотрим функцию y=xr, где r – положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции:
- область определения – луч [0;+∞)
- функция ни четная, ни нечетная
- функция y=xr возрастает на промежутке [0;+∞)
10. Степенная функция с отрицательным дробным показателем.
Рассмотрим функцию y=x –r, где r – положительная несократимая дробь. Данная функция характеризуется следующими свойствами:
- область определения – промежуток (0;+∞)
- функция ни нечетная, ни четная
- функция y=x –r убывает на промежутке (0;+∞)
11. Показательная функция.
Показательная функция задается формулой y=ax, где a>0 и a≠1. Данная функция принимает любые положительные значения
Перечислим свойства функции y=ax при a>0:
- область определения функции – вся числовая прямая
- область значений функции – промежуток (0;+∞)
- функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того, что a-x≠ax b и a-x≠-ax
- функция возрастает на всей числовой прямой
Комментарии