Методы построения магических квадратов

Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, до сих пор многие не любят числа 13 и 666: число 13 называют «чёртовой дюжиной», а число 666 – «звериным числом».

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты.

По древней китайской легенде, прославленный император Ю (около 2200 до н. э. ), стоя у Жёлтой реки, созерцал начертанный на спине божественной черепахи числовой квадрат

Квадрат разделён на девять квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей равны одному и тому же числу 15.

На гравюре «Меланхолия» немецкого художника А. Дюрера (создана в 1514г) среди других символов творческой деятельности человека изображён квадрат:

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год создания картины – 1514г.

У этих квадратов есть весьма примечательное общее свойство. А именно, первые 9 и, соответственно, 16 чисел натурального ряда расставлены в клетках квадрата таким образом, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце, а также по двум диагоналям, все равны между собой. Это свойство издавна поражало воображение и ассоциировалось с идеями блага и высшего порядка. Такие квадраты были названы магическими: ношение амулетов с их изображением по восточным поверьям предохраняло от воздействия сил зла.

Методы построения магических квадратов

Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было найти количество квадратов данного размера. Известно, что магических квадратов 2 х 2 не существует. Магических квадратов 3 х 3 всего один, остальные квадраты получаются из него поворотами или симметриями. Магических квадратов 4 х 4 известно 800, а количество магических квадратов 5 х 5 близко к четверти миллиона.

Методы построения магических квадратов разрабатывались с давних пор, и сейчас известны способы построения таких квадратов сколь угодно большого размера.

Первый магический квадрат.

Это изображение считается самым древним магическим квадратом. Говорят, что он впервые появился в Китае примерно за 2800 лет до нашей эры. Под названием Лох-Шу он до сих пор используется как талисман.

Магических квадратов второго порядка не существует.

Магический квадрат третьего порядка.

Здесь изображён единственный магический квадрат третьего порядка, остальные магические квадраты получаются из него поворотами или симметриями.

Магический квадрат четвёртого порядка.

Магических квадратов четвёртого порядка существует 880.

Рассмотрим построение магического квадрата четвёртого порядка.

Проведём диагонали квадрата 4 х 4. будем ставить в клетки числа от 1 до 16, двигаясь слева направо. Если число попало в клетку, пересечённую диагональю, мы пропускаем. Получается вот такой квадрат.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Теперь ставим 16 в левый верхний угол и вписываем оставшиеся числа в порядке убывания.

Четыре средних числа тоже дают в сумме 34, как и короткие диагонали, отмеченные линиями.

Магический квадрат пятого порядка.

Магических квадратов пятого порядка существует более 13 миллионов.

Рассмотрим построение магического квадрата пятого порядка.

Поставим 1 в любую клетку квадрата 5 х 5.

Сделаем вертикальный ход шахматного коня (одна клетка вправо и две клетки вверх) и поставим 2.

Будем делать вертикальные ходы шахматного коня, ставя числа в порядке возрастания, пока не заполним весь квадрат.

Если ход коня выводит за верхний край квадрата – возвращаемся снизу.

Если ход выводит за правый край – возвращаемся слева.

Если клетка уже занята – возвращаемся к только что вписанному числу и ставим следующее прямо под ним.

24 7 20 3 11

5 13 21 9 17

6 19 2 15 23

12 25 8 16 4

18 1 14 22 10

Получим магический квадрат пятого порядка, в котором каждый горизонтальный или вертикальный ряд даёт сумму 65.

Магический квадрат восьмого порядка.

Этот квадрат восьмого порядка составлен в XVIII веке великим Леонардом Эйлером. Каждый горизонтальный или вертикальный ряд даёт сумму 260, а половина ряда – 130.

1 48 31 50 33 16 63 18

30 51 46 3 62 19 14 35

47 2 49 32 15 34 17 64

52 29 4 45 20 61 36 13

5 44 25 56 9 40 21 60

28 53 8 41 24 57 12 37

43 6 55 26 39 10 59 22

54 27 42 7 58 23 38 11

Заключение

Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43 х 43, содержащие числа от 1 до 1849, причём обладающие помимо указанных свойств магических квадратов, ещё и многими дополнительными свойствами.

В работе рассмотрены различные методы построения магических квадратов, которые строятся с минимальным применением сведений из алгебры и геометрии, но требуют сообразительности и умения логически мыслить.

Приложения содержат как задачи, доступные детям, так и задачи, представляющие интерес для взрослых.