Математика в легендах и сказках

В одной из старой школьной хрестоматии по родному Языку есть забавный рассказ о догадливой вороне. Этот старинный рассказ повествует о вороне, страдавшей от жажды и нашедшей кувшин с водой.

Воды в кувшине было мало, клювом ее не достать, но ворона будто бы сообразила, как пособить горю: она стала кидать в кувшин камешки. В результате этой уловки уровень воды поднялся до краев кувшина, и ворона могла напиться.

Не обсуждая того, могла ли ворона проявить подобную сообразительность, я заинтересовался этим случаем с геометрической стороны. Рассказ дает повод рассмотреть следующую задачу:

Сколько воды должно было быть в кувшине первоначально, чтобы ворона могла напиться?

Я решил рассмотреть три случая:

Удалось ли бы вороне напиться, если вода в кувшине налита была меньше половины, до половины, больше половины?

Решение

Разбор задачи убеждает, что способ, примененный вороной, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в кувшине.

Ради упрощения примем, что кувшин имеет форму прямоугольной призмы, а камешки представляют собой шарики одинаковой величины. Легко сообразить, что вода поднимается над уровнем камешков лишь в том случае, если первоначальный запас воды имеет больший объем, чем все промежутки между камешками: тогда вода заполнит промежутки и выступит поверх камешков. Можно вычислить, какой объем занимают эти промежутки. Проще всего выполнить расчет при таком расположении каменных шариков, когда центр каждого лежит на одной отвесной прямой с центрами верхнего и нижнего шариков.

Пусть диаметр шарика d и, следовательно, объем его

V1= , а объем описанного около него кубика

Разность их объемов: V1-V2 = есть объем незаполненной части кубика, а отношение

= 0,48 означает, что незаполненная часть каждого кубика составляет 0,48 его объема. Такую же долю составляет и сумма всех объемов пустот от объема кувшина. Таким образом, объемы пустот и шариков равны

( 0,48=0,48) и вода не выступает на поверхности.

Все мало изменяется, если кувшин имеет непризматическую форму, а камешки нешарообразны.

Во всех случаях можно утверждать, что если первоначально вода в кувшине налита была, ниже половины, вороне не удалось бы набрасыванием камешков поднять воду до краев.

Я провел эксперимент: взял мерный цилиндр и камешки гравия.

Наливал в цилиндр воду, рассматривая все три случая.

Результаты измерений были занесены в таблицу. ( Таблица 1 в приложении).

Результаты эксперимента подтверждают теоретическое решение задачи.

если вода стояла, ниже половины высоты кувшина, - вороне не удалось бы напиться; если вода занимала половину высоты кувшина или выше половины высоты кувшина, - ворона бы напилась.

Будь ворона посильнее, - настолько, чтобы утрясти камешки в кувшине и добиться их плотного сложения, - ей удалось бы поднять воду более чем в два раза выше первоначального уровня. Но ей это не под силу сделать.

Я проверил, если брать очень мелкие камни, то вода поднимается выше. В реальных условиях рыхлое расположение камешков допустимо. К тому же кувшины обычно раздуты в средней части; это должно так же уменьшить высоту подъема воды, и подкрепляет правильность вывода.

Задача о «Гордом холме»

Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная А. С. Пушкиным в Скупом рыцаре».

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли.

Таким образом, можно сформулировать математическую модель данной задачи:

Какую высоту будет иметь куча песка, насыпанная горстями людей из древнего войска?

На какое расстояние увеличится дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана?

По экспериментальным данным среднее значение одной горсти песка у одного взрослого мужчины может быть равным 156 см3..

Старинные армии были не так многочисленны, как современные. Рассмотрим большое войско, состоящее из 100 000 человек. Поэтому по моим расчетам объем такого холма мог быть:

3 = 15,6м3.

Высота холма при заданных условиях будет составлять высоту конуса. Угол откоса ≤ 450, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса максимальный в 450.

Так как объем конуса можно вычислить по формуле:

, а при угле наклона в 450 радиус конуса равен его высоте, то объем такого конуса вычисляется по формуле:

Тогда высоту конуса можно вычислить: H= =2,46 м.

Если даже каждый воин принес не горсть земли, а пригоршню, то и тогда по результатам эксперимента её средний объем равен 284 см3. А объем холма: 28400000см3=28,4м3.

Высота такого холма немного отличается от предыдущего и будет:

3,005м.

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу высотой в 3 метра назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У великого полководца Атиллы было самое многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают это войско в 700 000человек. Если бы эти воины участвовали в насыпании холма, то куча была бы выше. Объем такой кучи был бы в 7 раз больше рассчитанной, а высота холма превышала вычисленную высоту в. Она равнялась бы

3 1,9 = 5,7 м. Наверное, курган таких размеров не удовлетворил бы честолюбие Атиллы.

А. С. Пушкин делает ошибку, говоря о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».

Полчища Атиллы не смогли воздвигнуть холм выше 5,7м. теперь можно завершить расчеты, определив, насколько холм этот расширял горизонт наблюдателя, поместившегося на его вершине.

Глаз такого зрителя возвышался бы над почвой на 5,7+1,5=7,2, т. е. на 7 метров, и следовательно, дальность горизонта,( которую можно вычислить по формуле: , где R - радиус Земли, R = 6400км, H – возвышение глаз наблюдателя над земной поверхностью), была ровно бы 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле, а наблюдать море можно, если находишься на его берегу.

Это легенда, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Доказано геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

Заключение

Таким образом, мое предположение оказывается неверным и не все легенды доносят до нас то, что было на самом деле. А уж в сказках выдумки и того больше. Хотя, сказка – ложь, но.