Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Изучение практико-ориентированной направленности показательной функции

Знаменитый древнегреческий историк Геродот писал, что египетские цари, разделив землю между египтянами, брали с каждого из них ежегодный налог, пропорциональный площади занимаемого участка. Конечно, ни египетские цари, ни землевладельцы, ни сам Геродот не произносили слова «функция», но ведь речь идет о том, что каждому значению площади соответствовало некоторое значение налога.

Одним из китов, на которых держится алгебра, является понятие функция. Само слово «функция» происходит от латинского «function» – исполнение, осуществление. В математике оно впервые употреблено лишь в XVII веке Г. В. Лейбницем, но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми давно, можно сказать, почти также давно, как числа и уравнения.

Являясь в настоящее время своего рода азбукой для ряда других областей математики, математический анализ функций действительного переменного с самого своего зарождения был направлен на решение многочисленных прикладных задач.

Изучение показательной функции базируется на предварительном рассмотрении различных обобщений понятия степени.

В учебном материале очень узко изложен важнейший, на мой взгляд, вопрос о приложениях показательной функции, о ее роли в естествознании. Эта проблема легла в основу моего исследования по теме: «Изучение практико-ориентированной направленности показательной функции».

Цель работы: на основе изучения математической, научно – популярной и художественной литературы описать практическое применение и значимость показательной функции.

Задачи исследования.

➢ Изучить и проанализировать математическую, научно – популярную, художественную литературу и выяснить, что многие физические, биологические и социальные процессы в природе происходят по показательному закону;

➢ экспериментально доказать, что показательная функция описывает физические процессы;

➢ сделать обоснованный вывод о значимости изучения показательной функции при решении прикладных задач.

Методы исследования: анализ, синтез, аналогия, наблюдение, эксперимент.

Предмет исследования: показательная функция.

Объект исследования: практико-ориентированная направленность показательной функции.

После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос: по какому закону происходит распад атомов? Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имеющемуся количеству вещества. Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина всех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана -238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия – 1620 лет, для полония – 84 года, для цезия – 137- 31 год, для йода -131 – 8 суток.

Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени nТ остается доля этого вещества. Радиоактивный распад описывается уравнением m = × или m = × () , где m - масса вещества в момент времени t, -масса вещества при t=0.

Задача 1.

Вычислить, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Решение.

Задача 2.

Радиоактивное вещество теряет половину своей массы каждые 20 дней. Через сколько дней от тела массой 32г останется 1г?

Решение.

) , t = 100.

Ответ: 100 дней.

Задача 3.

Вычислить период полураспада вещества, если за год его масса уменьшилась в 10 раз.

Решение.

= ; = , t = 1.

Ответ: 0,3 года. 0,5

0,3 1 t(год) t(год)

Показательная функция описывает и ряд других физических процессов: изменение силы тока при замыкании и размыкании цепи, затухание звуковых и других колебаний, разрядку конденсатора.

Если начальное напряжение на конденсаторе равно U0 , то конденсатор будет разряжаться по закону U = U0 , где t – время, в течение которого разряжается конденсатор, R - сопротивление, С – электроемкость конденсатора.

Для доказательства этого я провел физический эксперимент с плоским конденсатором, результаты которого представлены на диаграмме:

Таким образом, я убедился, что многие физические процессы в природе происходят по показательному закону.

В основу архитектуры современных персональных компьютеров положен магистрально – модульный принцип. Модульный принцип позволяет потребителю самому комплектовать нужную ему конфигурацию компьютером и производить при необходимости ее модернизацию. Модульная организация компьютера опирается на шинный принцип обмена информацией между устройствами.

шина данных (8,16,32,64, бита) Магистраль шина адреса (16,20,24,32,36 битов)

шина управления

Выбор устройства или ячейки памяти, куда пересылаются или откуда считываются данные по шине данных, производит процессор. Каждое устройство или ячейка оперативной памяти имеет свой адрес. Адрес передается по адресной шине, разрядность шины определяет объем адресуемой памяти, то есть количество однобайтовых ячеек оперативной памяти, которые можно рассчитать по формуле:

= 68. 719. 476. 736.

По формуле N = можно легко определить количество возможных событий, если известно количество информации. Если мы получили 4 бита информации, то количество возможных событий составляло:

Цветные изображения формируются в соответствии с двоичным кодом цвета каждой точки, хранящимся в видеопамяти. Цветные изображения могут иметь различную глубину цвета. Каждый цвет можно рассматривать как возможное состояние точки, тогда количество цветов, отображаемых на экране монитора, может быть вычислено по формуле: N =, где I – глубина цвета.

Глубина цвета (I) Количество отображаемых цветов (N)

16 (High Color)

24 (True Color) = 16. 777. 216

32 (True Color)

Современные звуковые карты компьютера обеспечивают 16 – битную глубину кодирования звука. Количество различных уровней сигнала можно рассчитать по формуле: = где I – глубина звука. Оказывается, работая на ПК, мы ежедневно сталкиваемся с практической значимостью показательной функции при формировании растровых изображений, кодировании звука и т. д.

При постоянной температуре давление воздуха убывает с убыванием высоты над уровнем моря по закону p = , где р0 – давление на уровне моря (h = 0), р - давление на высоте h , H – константа, зависящая от температуры воздуха.

Изменение числа людей в стране на небольшом отрезке времени описывается формулой N = N0 N0 - число людей при t = 0, N – число людей в момент времени t, q – константа.

Работая с научно – популярной литературой, я обнаружил еще ряд примеров применения показательной функции в социологии, биологии, медицине.

При диагностике почечных болезней часто определяют способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество падает по показательному закону.

Если колония бактерий имеет достаточное пространство и достаточное количество питательных веществ, то ее масса за равные промежутки времени увеличивается в одном и том же отношении. В таких случаях говорят о процессах ограниченного роста.

Пусть в начале наблюдения масса колонии бактерий равнялась 1г, причем за каждый следующий час она увеличивалась в 2 раза. Зависимость между массой и временем выразится формулой m =.

Для построения графика вычислим массу колонии через 7 часов.

t(ч) 1 2 3 4 5 6 7 m(г) 2 4 8 16 32 64 128 m (г)

1 1 2 3 4 5 6 7 t(Ч)

Я получил эскиз графика изменения массы колонии бактерий за 7 часов.

Случаи органического изменения величин можно наблюдать на следующих примерах: а) при прохождении света через мутную среду сила света на промежутках данной длины уменьшается в одном и том же отношении; б) скорость тела, движущегося в среде, сопротивление которого пропорционально скорости, за данный промежуток времени уменьшается в одном и том же отношении.

Таким образом, многие социальные и биологические процессы в природе происходят по показательному закону.

Один из ярких примеров применения показательной функции я нашел в романе Жюля Верна «Матиас Шандор» при решении задачи «Один человек удерживает корабль». Силач Матифу совершил много подвигов, среди которых есть такой.

Готовился спуск на воду трабоколо (трабоколо – небольшой корабль с парусами в форме трапеции). Когда уже начали выбивать из - под киля клинья, удерживающие трабоколо на спусковой дорожке, в гавань влетела нарядная яхта. Спускавшееся судно неминуемо должно было врезаться в борт плывущей мимо яхты.

«Вдруг из толпы зрителей выскакивает какой – то человек. Он хватает канат, висящий на носу трабоколо. Но тщетно старается он, упираясь в землю ногами, удержать канат в руках поблизости врыта в землю швартовая пушка. В мгновенье ока неизвестный набрасывает на нее канат, который начинает медленно разматываться, а храбрец, рискуя попасть под него и быть раздавленным, сдерживает его с нечеловеческой силой. Это длиться секунд десять. Наконец канат лопнул. Трабоколо прошло за кормой яхты на расстоянии не более фута яхта была спасена.

Вы, конечно, догадались, что неизвестным спасителем был силач Матифу».

Я попытался выяснить, а нужна ли была нечеловеческая сила, чтобы удержать корабль?

Посмотрим, как происходит швартовка корабля? С парохода на пристань бросают канат, на конце которого сделана широкая петля. Человек, стоящий на пристани, надевает петлю на причальную тумбу (или как сказано в романе, на швартовую пушку), а матрос на корабле укладывает канат между кнехтами (небольшими тумбами), укрепленными на борту судна. Сила трения между тросом и кнехтами и останавливает судно. Обычно матрос, обернув канат несколько раз вокруг кнехтов, просто придерживает свободный конец ногой, прижимая его к палубе.

Предположим, что после одного оборота каната вокруг столба сила F0 , приложенная к одному концу каната, удерживает в К раз большую силу, приложенную к другому концу. После еще одного оборота каната удерживаемая сила возрастает еще в К раз и становится в К2 раз больше, чем сила F0. Для пенькового каната и деревянного столба К =. Поэтому, оборачивая канат вокруг столба три раза, получаем увеличение в 1800 раз. Примерную силу, необходимую для удержания спускаемого корабля, будем считать равной 400 кН, а поскольку канат медленно разматывался, можно сделать вывод, что Матифу сумел обернуть его вокруг швартовой пушки хотя бы три раза. Отсюда составляем уравнение: 400 000 = 1800 F0 , тогда F0 вполне может любой здоровый взрослый человек.

Используя метод анализа и синтеза, я определил основные предметные области, где практически используется показательная функция.

Я согласен с Эйлером, который провозгласил функцию центральным понятием математического анализа: «Весь анализ бесконечного вращается вокруг переменных количеств и их функций». Изучение функций, в частности практико-ориентированной направленности показательной функции, резко расширило возможности решения многих прикладных задач.

Практическая значимость работы стоит в том, что эти материалы могут быть использованы в учебном процессе средней школы при подготовке учащихся к семинарам по теме «Показательная функция», на внеурочных занятиях по математике, как часть элективного курса, занятий математического кружка.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)