Зарождение математики в древности

Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.

"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека, и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства" - писал Г. Нейгауз. Непривычно слушать подобные слова, исходящие из уст музыканта. Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.

Люди очень давно задумывались о связи музыки и математики. В глубокой древности науку рассматривали как единое целое, тогда ещё не было разделения на гуманитарные и естественные науки. Ещё ученые–философы (в частности пифагорейцы) считали, что музыки без математики не существует. В Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а точнее разделом теории чисел. Пифагорейцы исследовали число в разных аспектах: математика – число само по себе, геометрия – число в пространстве, музыка – число во времени, а астрономия – число в пространстве и времени. И всё это учение называлось «математа», что значит «науки». Пифагор считал число сущностью вещей. И именно числа, по его мнению, управляют гармониями в музыке. Таким образом, он утвердил музыку как точную науку.

В эпоху средневековья музыка также воспринималась в первую очередь как наука, а уже потом как искусство. Вообще средневековые авторы многое взяли от пифагорейской идеи. Вслед за Пифагором они считали музыку наряду с арифметикой, геометрией и астрономией наукой о числах. Мистика чисел, как традиция поздней античности, была очень распространена среди теоретиков и композиторов Средневековья. Например, единица была символом Бога, церкви и олицетворяла музыку в целом; число три выражало триединство Бога (очень часто музыкальные произведения состоят из трёх частей), число семь выражало связь музыки с вселенной, и ему соответствуют семь тонов в музыке.

Числа – это выражение определенного количества чего-либо. Ноты – выражение высоты и длительности звука. Люди ежедневно пользуются в жизни и цифрами, и нотами, но при этом мало кто задумывается, откуда появились эти забавные кружочки, крючочки и загогулинки. Почему современные цифры, изобретенные в Индии, называются арабскими, а так называемые «римские цифры», зародившиеся в Древней Греции, крайне редко используются в наше время? История возникновения как цифр, так и нот захватывает не хуже детективного романа. Маяковский говорил : «Человек, который открыл, что дважды два – четыре, был великим математиком, даже если он считал при этом окурки. А тот, кто теперь по этой же формуле считает гораздо большие предметы, например локомотивы, совершенно не математик. »

Стать на мгновение «великим математиком» позволяет простое упражнение. Вот условие задачи. Имеется 7 основных цветов и всё многообразие геометрических фигур. Попробуйте описать языком математики любую художественную картину, к примеру, «Девочка на шаре» П. Пикассо.

Конечно, в современных условиях это не представляет проблемы, достаточно иметь качественный сканер и любое изображение можно «оцифровать», но в первые секунды возникают ощущения как у древнего человека : «И что же мне с этим делать?»

1 Зарождение математики в древности

Высшее назначение математики как раз и состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Винер

Академиком А.  Н.  Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

1. Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;

2. Период элементарной математики, начинающийся в VI—V веках до н.  э. и завершающийся в конце XVI века;

3. Период математики переменных величин, охватывающий XVII—XVIII века, «который можно условно назвать также периодом „высшей математики“»;

4. Период современной математики — математики XIX—XX века, в ходе которого математикам пришлось «отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм». [5]

В нашем исследовании в соответствии с поставленными целями мы ограничимся рассмотрением 1 этапа зарождения математики как науки. Изучение возникновения счёта и основных математических понятий, с нашей точки зрения, позволят более глубоко понять связь математики и музыки, как двух сторон человеческой деятельности в постижении окружающего мира.

1. 1 Появление счёта

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир. И. Гёте

Возникновение математических понятий произошло задолго до появления собственно математических текстов. Многие учёные считают, что счёт имеется уже у животных. По М. Кантору, « утка тоже считает своих утят». Животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения по признаку «соответствие». Пчёлы различают различное число лепестков у цветка. Некоторые виды птиц, например, голуби, могут научиться различать количество точек и пятен числом 7 или 9. По мнению авторов «Истории математики», первобытно-пещерным людям, как и высшим животным, доступен «чувственный счет». Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает.

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Так как пальцы всегда при нас, то и считать стали по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. Причем, если в странах с холодным климатом наибольше распространение получила «десятеричная» система счёта, то в странах с более тёплым климатом, где не требовалось часто пользоваться обувью, был распространён счет по «двадцаткам». “Двадцатиричные названия у французов и грузин представляют собой пережитки счета двадцатками, при котором считались не только пальцы рук, но и пальцы ног”. Двадцатиричные названия десятков можно встретить во многих языках: датском, осетинском, абхазском, ацтекском и др. Интересно отметить, что в большинстве современных языков “названия числительных основаны на десятичной системе, т. е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т. д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить еще слова А. Лебега: “Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления”. Первобытному человеку необходимо было дотрагиваться до предметов пальцами. О ручном счёте жителей Новой Гвинеи сообщал Н. Н. Миклухо-Маклай. “Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, “бе, бе, бе”Досчитав до пяти, он говорит “ибон -бе” (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет “бе, бе”, пока не доходит до “самба-бе” и “самба-али” (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого”

Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: «один» и «два». Туземцы островов, расположенных в Торресовом проливе, знали два числа: «урапун» - один, «окоза» - два и умели считать до шести. Островитяне считали так: «окоза-урапун» - три, «окоза-окоза» - четыре, «окоза-окоза-урапун» - пять, «окоза-окоза-окоза» - шесть. О числах, начиная с 7, туземцы говорили «много», «множество». Наши предки, наверняка, тоже начинали с этого. В старинных пословицах и поговорках, как, например: «Семеро одного не ждут», «Семь бед – один ответ», «У семи нянек дитя без глазу», «Один с сошкой, семеро с ложкой» – 7 тоже означало «много». Позже появились особые названия для чисел. Сначала для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.

О времени появления понятия числа у народов Евразии можно судить о сходстве обозначений числительных. Можно видеть сходство между русским “один”, немецким eins, английским one, французским un, латинским unus; то же касается числительных “два” – zwei, two, deux, duo и “три” – drei, three, throis, tres. Все это говорит, что “названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке”

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме пальцев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Например, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завязанными на них узлами. Эти узелки назывались «кипу». У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают 4 узелочка на шнурочке! Веревочные счеты с узелками были в ходу и в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память. В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Отсюда и произошло слово «калькулятор», «калькулюс» по латински означает «камень»

1. 2 Возникновение цифр

Мысль выражать все числа знаками настолько проста, что именно из-за этой простоты сложно осознать, сколь она удивительна.

Пьер Симон Лаплас

В 1937 году в раскопках около деревни Вестонице в Моравии (Чехославакия) была обнаружена лучевая кость молодого волка с отметинами. Эта находка старейшая из найденных записей числа (кость относится к ХХХ веку до н. э. ). Кость имеет длину в 18 см, на которой высечено 55 глубоких зарубок - параллельных черточек. Видимо, кость служила для записи трофеев первобытных охотников.

Древние шумеры пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная чёрточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих чёрточек – десять. Эти чёрточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

Можно уверенно утверждать, что римские цифры (I, II, III) воспроизводят скорописную запись одной, двух, трех черточек. Однако римская цифра “пять” V, вероятно, “возникла упрощением иероглифа, изображавшего руку”. Римская же цифра “сто” - С, является начальной латинской буквой числительного centum.

Как сообщают авторы “Истории математики” (1970), первоначальное изображение чисел (нумерация (от лат. numerus - число) было основано на так называемых “аддитивном (от лат. additio - сложение), субстрактивном (от лат. substrakctio - вычитание) и мультипликативном (от лат. multiplicatio - умножение) принципах”.

Классическим примером применения аддитивного и субстрактивного принципов является применяемая и нами римская нумерация: римские цифры II, III, VII, VIII, XX, XXX, и т. д. основаны на аддитивном принципе, а римские цифры IV, IX, XL - на субстрактивном принципе.

Обозначение чисел и числовых знаков возникло вместе и на основе иероглифической письменности. Так, например, в древней египетской нумерации, зародившейся более 5000 лет назад, существовали особые знаки (иероглифы) для записи чисел 1, 10, 100, 1000.

В Древней Греции числа 5, 10, 100, 1000, 10000 сначала обозначали буквами Г, Н, Х, М, а число 1 – черточкой /. Из этих знаков составляли обозначения ( ( ( Г (35) и т. д. Позднее числа стали обозначать буквами греческого алфавита, к которому пришлось добавить еще три устаревшие буквы. Чтобы отличить цифры от букв, над буквами ставили черточку. Древние индийцы изобрели для каждой цифры свой знак. Вот как они выглядели

Однако Индия была оторвана от других стран, на пути лежали тысячи километров расстояния и высокие горы. Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу. Затем происходило постепенное превращение первоначальных цифр в наши современные цифры.

Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «сифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

1. 3 Цифры древних славян

Арабские числа в России стали применять, в основном, с XVIII века. До того наши предки использовали славянскую нумерацию. Над буквами ставились титлы (черточки), и тогда буквы обозначали числа.

В одной из русских рукописей XVIII века написано: «. Знай же то, что есть сто и что есть тысяща, и что есть тма, и что есть легион, и что есть леодр. ;. сто есть десятью десять, а тысяща есть десять сот, а тма десять тысящ, а легион есть десять тем, а леодр есть десять легионов. »

Первые девять чисел записывались так:

Сотни миллионов назывались «колодами». «Колода» имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставили квадратные скобки.

Числа от 11 до 19 обозначались так:

Остальные числа записывались буквами слева направо. При записи чисел больших, чем тысячи, в практической деятельности (счете, торговле и т. д. ) часто вместо кружков ставили специальные знаки перед буквами, обозначавшими десятки и сотни тысяч. В приведенной системе обозначения чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», доходивший до числа 1050. Далее говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумети»

1. 4 Геометрические фигуры и понятия

Возникновение геометрических понятий или понятий о геометрических фигурах произошло в глубокой древности при изготовлении скребков в форме дисков, круглых сосудов, и пр. Когда древний человек, уже мыслящий, пытался найти для себя пещеру, он вынужден был соизмерять длину, ширину и высоту своего будущего жилища с собственным ростом. А ведь это и есть измерения.

“Условия производства, даже самого примитивного, а в дальнейшем и обмена требовали измерения простых величин, на первых порах пусть хоть самого неточного. Единицами измерения, весьма грубыми и неустойчивыми, служили чаще всего части человеческого тела. Название вроде “локоть”, “стопа”, “сажень” (то, что досягаемо - расстояние между концами пальцев рук, расставленных на ширину плеч), “дюйм” (по-немецки Daumen - большой палец; ширина этого пальца), “фут” (по-английски foot - нога, ступня) и т. п. - как нельзя лучше убеждают нас в этом”.

Строители египетских пирамид эталоном длины считали локоть, древние арабы – волос из ослиной морды, англичане до сих пор пользуются королевским футом, равным длине ступни короля. Длина фута была уточнена с введением такой единицы, как шток. Это « длина ступней 16 человек, выходящих из храма от заутрени в воскресенье». Деля длину штока на 16 равных частей, получали среднюю длину ступни, так как из церкви выходили люди разного роста. Длина фута стала равняться 30,48 см. Английский ярд был равен расстоянию от кончика носа его королевского величества короля Эдгара до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки. Так только сменился король ярд удлинился, так как новый монарх был значительно выше. Такие измерения вносили большую путаницу, поэтому король Генрих I узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом пользуются в Англии до сих пор и его длина составляет 0,9144 м. В Древнем Китае эталоном меры длины служил специальный колокол, настроенный на заданную высоту звучания. В другом приспособлении натягивалась струна, чтобы её звук соответствовал данной высоте, и получившаяся длина струны принималась за эталон.

В геометрии сначала появились геометрические эталоны: мяч - для шарообразных предметов, сосновая шишка - для остроконечных и т. д. , а впоследствии названия этих эталонов стали названиями абстрактных геометрических фигур”.

С зарождением гончарного и ткацкого дела развитие геометрического мышления значительно возросло. “В более позднее время в геометрических орнаментах появились и числовые отношения, - пишет Кольман, - например, в виде разбиения большого треугольника на меньшие треугольники или заполнения треугольника кружочками, правильно размещенными по строкам. Так, запечатлены, например, “треугольные числа” 1; 3= 1+2; 6= 1+2+3; 10= 1+ 2+ 3+4 и т. д. , которым придавали “магический” смысл”.

Особенно сильное влияние на развитие геометрический понятий оказало земледелие. Земледелие, в отличие от гончарного и ткацкого ремесла, где требовалось прежде всего измерение длин, занималось измерением площадей и объемов. “Измерялись площади земельных участков, емкость сосудов и амбаров, объем вынутой при земельных работах земли. Мы знаем из сохранившихся клинописных записей шумерцев и вавилонян, что единицы измерения площади и объема были при своем возникновении связаны с материальными потребностями общества. Оказывается, иероглиф понятия “площадь” тождественен с иероглифом “количество зерна” (нужного для посева на ней); иероглиф понятия “объем” - с иероглифом “куча земли” (вынутой при производстве оросительных работ). Русская мера объема “ведро” также указывает на конкретный практический характер происхождения пространственных мер”.

На развитие геометрического мышления существенно повлияло и развитие зарождающейся астрономии. Уже первобытные племена кочевников-скотоводов наблюдали за движением звезд и пользовались звездами как ориентирами. Становление обмена и мореплавания привели к дальнейшему развитию астрономических знаний. “Но астрономические знания немыслимы без развития знаний математических. Вначале случайное, а впоследствии все более и более систематические наблюдения небесного свода привело к ознакомлению со свойствами шара, круга и угловых направлений. Правда, круг в виде гончарного круга и колеса повозки был еще раньше известен многим народам. Но астрономическое понимание окружности как воображаемой линии, которую затем стали делить на равные части, проводить в ней хорды и т. д. , было несравненно более глубоким. С зарождением астрономии геометрические понятия широко распространились на все трехмерное пространство ”.

2 Гармония математики и музыки

Математика - один из видов искусства.

Н. Винер

2. 1 Возникновение нот

Когда люди в первый раз попытались сохранить звуки – неизвестно. Наверное, ещё в каменном веке. С числами и звуками это получилось более-менее быстро. Но с музыкой всё оказалось сложнее. До сих пор считалось, что первая система нотного письма была разработана Пифагором в VI веке до н. э. Однако, по словам итальянских исследователей, им удалось доказать, что аналогичная система существовала на берегах Нила уже в середине IV тысячелетия до н. э. Для записи нот использовали иероглифы, обозначающие небесные светила. Внутри текста эти иероглифы казались лишенными смысла. Так как они не имели никаких знаков, указывающих на их музыкальное предназначение, то долгое время не поддавались расшифровке. Наиболее ранние из текстов восходят к эпохе Пятой династии (около 2400-2500 гг. до н. э. ). Однако исследователи уверены, что «нотная азбука» египтян значительно старше и возникновение нот можно датировать 3500 годом.

В эпоху раннего средневековья была распространена буквенная запись звуков. Она позволяла обозначить лишь высоту звуков, но их длительность при этом не фиксировалась вовсе. Со временем этот способ записи нот оказался мало пригодным для записи начавшей развиваться в то время многоголосной музыки.

В период с VIII по XI век начала использоваться так называемая невменная запись( Невмы - от греч. neuma - графические значки, помещавшиеся над словесным текстом), но она была весьма не совершенной, так как не фиксировала точных звуковых соотношений, а лишь указывала (правда, достаточно наглядно) направление развития мелодии. Древнерусским аналогом невменного письма были «крюки» или «знамена». Древнейшие памятники русского крюкового письма относят к концу XI началу XII веков. (Приложение Ж) Со временем в целях совершенствования невменного письма - для точной фиксации высоты звуков - к невмам справа стали добавлять буквенные обозначения.

Таким образом, образовалась четырёхлинейная система. Постепенно изменились и сами обозначения звуков. Так, вместо невм стали писать на линиях и между ними квадратные ноты (возникло так называемое хоральное письмо), а в целом нотная запись значительно упростилась и приобрела необходимую для чтения наглядность.

В Западной Европе в конце XII-начале XIII века была изобретена так называемая мензуральная нотация. Мензуральная нотация – это система музыкальных звуков, применявшаяся в XIII-XVI веках. В отличие от хоральной, она позволяла фиксировать не только высоту, но и относительную длительность звуков.

2. 2 Математический компонент в музыке.

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не подозревая.  

Г. Лейбниц

Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке чувство уважения. Между тем, музыканты встречаются с математикой гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы. Известный физик Эйхенвальд вспоминал:

“Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно говоря, на логарифмах”.

Логарифмом данного числа называется показатель степени, в которую нужно возвести другое число, называемое основанием логарифма, чтобы получить данное число. И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).

Основой математических знаний является арифметический счет. Арифметические действия с числами происходят путем перемещения по этому числовому ряду либо в сторону увеличения, либо наоборот. По аналогии, музыкальный звукоряд – это последовательность музыкальных звуков, в которой каждый последующий звук выше предыдущего также на одну единицу, (в музыке ей соответствует полутон ), если звукоряд восходящий. Соответственно, если звукоряд нисходящий, то каждый последующий звук ниже предыдущего на полтона. Аналогично арифметическому действию можно вычислить музыкальный звук путем перемещения по музыкальному ряду. При написании музыкального диктанта человек, не обладающий абсолютным музыкальным слухом, вполне в состоянии записать точно и правильно прослушанную им мелодию, если он хорошо дифференцирует сравнительную звуковысотность (выше, ниже), темп (быстрее, медленнее), музыкальные длительности (дольше, короче, длиннее). Определение интервала в музыке есть не что иное, как вычисление разности между двумя звуками. Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т. е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 - если слышат кварту и т. д.

Изучив определенные законы построения музыкального произведения, можно научиться сочинять музыку по формуле, точно так же, как и формально сочинять стихи. Правда, нет гарантии, что эти произведения будут представлять собой какую-либо художественную ценность. Музыкальная гамма разделена на пропорциональные части: она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность является одним из критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее только начинается.

В геометрии есть такое понятие – золотое сечение. Это разделение отрезка на две неравные части таким образом, что меньшая относится к большей так, как большая к целому. Величина большего отрезка – 0,618, меньшего – 0,382. Их отношение 0,618:0,382=1,618 – золотое сечение. Впервые оно встречается в «Началах» Эвклида. Однако золотое сечение обнаруживается не только в геометрии. Многие исследователи, желая раскрыть секреты гармонии, находили золотую пропорцию в архитектуре, живописи, скульптуре, литературе. Золотое сечение обнаруживается также в пропорциях человеческого тела, работа здорового сердца и мозга также содержит золотую пропорцию. Интересно отметить, что это явление обнаруживается и в музыке. Композиция многих музыкальных произведений содержит высшую точку, кульминацию. И размещается эта кульминация чаще не в середине произведения, она смещена, и находится как раз в точке золотого сечения. Эту особенность заметил советский музыковед Л. Мазель. Причём такое построение характерно не только для всего произведения в целом, но и для его частей. И встречается оно чрезвычайно часто. Специально занимался исследованием этой проблемы Л. Сабанеев, который изучил множество музыкальных произведений различных композиторов. Чаще всего золотое сечение встречается в произведениях Аренского, Бетховена, Гайдна, Моцарта, Скрябина, Шопена, Шуберта. Такое расположение кульминации придаёт особую выразительность и гармоничность композиции произведения, а также облегчает восприятие.

2. 3 Музыка в графиках

Несомненно, математика пронизывает музыку. И. Гольбах в переписке с Лейбницем писал: «Музыка - это проявление скрытой математики». Цитируя популярную телепередачу, можно сказать – мало кто « умнее пятиклассника», но знаний пятиклассника явно недостаточно, чтобы в полной мере раскрыть эту тему. Возможно, это будет темой следующей работы. Пока же мы решили с помощью программы Microsoft Exel, используя, мастер построения диаграмм, графически изобразить некоторые популярные детские мелодии. Помимо того, что это позволяет освоить программу и научиться графически, представлять всевозможные числовые зависимости, это ещё и достаточно интересное времяпрепровождение.

3 Результаты и выводы

В результате изучения литературных источников было установлено, что возникновение цифр и нот происходило сходным образом по единым законам от иероглифических знаков к современным символам. Математика и музыка являются по сути своей отражением окружающей нас действительности, но под различными углами зрения. Таким образом было доказано что и математика и музыка существуют в неразрывной связи. Диссертация Леонарда Эйлера о звуке начиналась словами «моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований всё, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков». Мне же хочется этой цитатой завершить свою работу. Несмотря на то, что наш анализ был значительно менее глубоким, чем у великого Эйлера мы пришли к аналогичным выводам.

Также в результате работы были получены диаграммы, которые хоть и не имеют научной ценности, но позволяют овладеть методами построения диаграмм, и доставляют некоторое эстетическое наслаждение. В подтверждение последнего тезиса мне бы хотелось процитировать Б. Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».