Сопоставление терминов и понятий в музыке и математике

Красота логических построений в науке – аналог одухотворенности в искусстве. Мировоззренческой основой обсуждения темы «Математика и искусство» неизменно является учение Пифагора. В рамках пифагорейского учения были получены эффективные практические результаты применения математики в искусстве. Источником этой темы являются также естественнонаучные теории формообразования, которые затрагивают огромный диапазон объектов, изучаемых космогонией, астрономией, геологией, физикой, химией, биологией, кристаллографией, эволюция геометрических форм изучается в теории дифферинциальных уравнений, теории непрерывных отображений и т. д.

Мир математических объектов наиболее совершенен, и поэтому наиболее прекрасным в реальном мире является то, что максимально приближено к совершенству чисел или геометрическим формам. Пифагореизм содержит элементы как мифологии, так и науки. Мифологическое мышление, свойственное хотя бы отчасти любому художнику, неотъемлемо содержит религиозные и эстетические компоненты. Примечательно, что отправным пунктом в пифагорейском учении о числе была музыка. Имекнно в музыке была впервые обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе.

Я хочу привести высказывание народного артиста России, пианиста, педагога, доктора искусствоведения Генриха Густавовича Нейгауза: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства». Немного непривычно слышать подобные слова из уст музыканта. Казалось бы, искусство – весьмя отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства.

Типы математики.

«Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное» (Энгельс Ф. ). Абстрактность математики, однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется, так что данное выше общее определение математики наполняется всё более богатым содержанием.

Существует две математики.

Первая – изучает «реальные» математические структуры, существующие независимо от открывших их математиков. Это и есть прикладная математика. Но результаты прикладной математики дают иногда неожиданные и важнейшие следствия. Логическую взаимосвязанность результатов науки выразил выдающийся немецкий математик, иностранный член-корреспондент РАН, иностранный почетный член АН СССР Давид Гильберт: «Разрешите мне принять, что дважды два – пять, и я докажу, что из печной трубы вылетает ведьма». Красоты науки и в логической стройности, и в богатстве связей. Ощущение красоты помогает проверять правильность результатов и отыскивать новые законы. Это ощущение – отражение в нашем сознании гармонии, существующей в природе. Поэтому математика оказывается точным и незаменимым инструментом, вскрывающим красоту опытных наук.

Вторая – математика, предметом изучения которой является искусственные конструкции, созданные математиками в процессе их свободного творчества.

О монохорде.

Монохорд – один из первых музыкальных инструментов древних греков. Он представлял собой длинный четырехугольный ящик длиной около 1 метра, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна, под которой на верхней крышке была начерчена шкала, с помощью которой можно было делить струну на части. Снизу струна поджималась передвижной подставкой. Вообще говоря, издаваемого струной, определяется несколькими параметрами – длиной и толщиной струны, плотностью материала, из которого она изготовлена и т. д. Однако, когда свойства звука изучаются на монохорде, то толщина струны, её натяжение и плотность материала остаются неизменными. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд был слишком примитивным. Зато, снабженный шкалой делений струны, он стал прекрасным физическим прибором и учебным пособием для изучения законов звучащих тел.

По всей видимости, на монохорде и было обнаружено, что струна, вдвое короче данной струны, звучит на октаву выше. Но полной ясности в том, каков физический смысл чисел n в отношении n/1+ n, определяющем консонанс (приятные слуху созвучия), у древних долгое время не было. Одни толковали их, как силу натяжения струны, другие – как длину струны, третьи – как высоту тона. Ясность в этом вопросе наступила, пожалуй, после Архита, который сущность высоты тона видел не в длине струны и не в силе её натяжения, а в скорости ее движения, т. е. в скорости ударения струны по частичкам воздуха. Сегодня эту «скорость движения» мы называем частотой колебания струны. Далее Архит установил, что высота тона (или частота колебания струны) обратно пропорциональна её длине. Архит был последним из пифагорейского союза. Прославился в области математики и механики. Известно, что он был полководцем и политическим деятелем. И, конечно, крупным теоретиком в области пифагорейской музыки. В основу их музыкальной системы легли два закона, которые носят имена двух великих ученых – Пифагора и Архита.

Законы.

1. Две звучащие струны дают консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т. е. 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в соотношении n/n+1, тем созвучнее получается интервал.

2. Высота тона определяется частотой колебания струны ω, которая обратно пропорциональна длине струны l:

Колебания.

Человеческое ухо способно воспринимать звук, частота которого заключена приблизительно в интервале от 16 до 20000 Гц. В музыке используется диапазон от 16 до примерно 5000 Гц. Даже если считать только звуки с целым значением частоты, то получится около 5000, а ведь есть еще звуки с частотой 100,5; 3333, 14159 и т. д. Между тем, концертный рояль – инструмент с огромным звуковым диапазоном – имеет всего 87 клавиш. Более того, через каждые двенадцать клавиш повторяется их расположение и названия. И высокие и низкие звуки носят одни и те же названия: до, ре, ми-диез

Так как звуки различаются по высоте, то естественно задать вопрос : «На сколько один звук выше другого?» Ответ на него не так прост, как кажется на первый взгляд. Первое, что приходит в голову – посчитать разность колебаний, определяющих один и второй звук. Но, оказывается, намного важнее не разность частот, а их отношение. Возьмем, например две пары звуков: первую с частотами 64 и 96 Гц, а вторую – 512 и 768. На слух звук с частотой 96 Гц настолько же выше звук с частотой 64 Гц, насколько звук с частотой 768 Гц выше звука с частотой 512 Гц. При этом разность между частотами для первой пары равна 32, а для второй – 256. Отношение же для каждой пары рано 3/2.

Расстояние между нотами, определяемое отношением их частот, называется интервалом. Интервалы имеют направление и могут определять движение как вверх, так и вниз. Они делятся на консонансы и диссонансы.

Интервалы в музыке получили свои собственные названия. Так, отношению частот 9/8 соответствует интервал секунда,

81/64 – большая терция,

4/3 – кварта,

3/2 – квинта,

27/16 – большая секста,

243/128 – большая септима, интервал октава образуют две ноты с отношением частот 2 и т. д.

Наиболее важные интервалы – кварта, квинта, октава.

Чем же важен интервал октава? Пусть наш исходный звук – нота до первой октавы. Возьмем от неё октаву вверх и октаву вниз. На слух эти три звука очень похожи, практически сливаются в одно целое. Поэтому обе получившиеся ноты также называются до, только расположены они в разных октавах. Таким образом, частоты любых двух одноименных нот относятся друг к другу как некоторая степень числа 2.

Только что мы встретились с важнейшей особенностью музыкально-математических исследований: результаты применения численных методов все время должны проверяться человеческим ухом. Первым, кто в построении теории музыки отдавал приоритет слуховым ощущениям, был ученик Аристотеля Аристоксен.

Обертоны.

В любой ноте основной звук сопровождается призвуками, называемыми обертонами (от нем. Obertone – высокий звук). Обертоны слышны гораздо слабее и не мешают основному восприятию звука, но придают звуку ту или иную тембровую окраску. То, что одна и та же нота в исполнении разных инструментов звучит по-разному, вызвано присутствием разных обертонов в палитре этих инструментов.

Частота, с которой колеблется вся струна целиком определяет так называемый основной тон. Колебания частей струны вызывают появление обертонов. Самый сильный обертон возникает при колебаниях ½ части струны, слабее 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Соответственно соотношение частот (или высот) этих обертонов выглядит следующим образом: 1:2:3:4:5:6 Это называется натуральный или гармонический ряд звуков, и соответствующие обертоны тоже называются гармоническими.

Математическое описание этого явления было дано значительно позже усилиями д’Аламбера, Эйлера, Даниила Бернулли, Лагранжа. Прежде всего отметим, что для описания колебаний точки около положения равновесия нужна всего одна переменная х, показывающая на сколько отклоняется точка от положения равновесия в момент времени t. В наиболее простом случае периодических колебаний с постоянной амплитудой зависимость х от времени описывается формулой х=Аcosωt, где А – амплитуда, а ω – частота колебаний.

□ Струна не колеблется:

□ Струна колеблется:

Если колеблется протяженное тело (струна), то нужно описать колебание каждой точки этого тела, т. е. функция, описывающая отклонение тела, имеет два аргумента: координату точки струны и время. Функция выглядит так: y = A sin2π/l*xcosωt

График этой функции выглядит следующим образом:

Впрочем, формула, описывающая колебательный процесс, может быть и более сложной, например такой: y=Asin2π/l*xcosωt+Bsin4π/l*xcos ωt. Здесь вовсе не случайно во втором слагаемом удвоены коэффициенты при аргументах. Удвоение коэффициента при х соответствует уменьшению вдвое длины струны, удвоение коэффициента при t вдвое увеличивает частоту колебаний.

Таким образом

Итак, (по Пифагору) если первую струну принять за основу, то у второй струны частота колебаний относится к числу колебаний первой струны как 4:3 – это назвали квартой основного тона; число колебаний третьей струны по отношению к основному тону равно 3:2 – это квинта основного тона; четвертая струна – октава, число колебаний у нее в два раза больше, чем у основы, т. е. зависимость:

ОКТАВА=КВАРТА*КВИНТА

2=4/3*3/2

Длина струны Частота колебаний Отношение частот Название

L 1=1 f1=1 1 Основа

L 2=3/4 f2=4/3 4:3 Кварта

L 3=2/3 f3=3/2 3:2 Квинта

L 4=1/2 f4=2 2 Октава

Темперация.

XVIII век открыл новые страницы в истории музыки. Около 1700 года немецкий органист А. Веркмайстер осуществил гениальное решение: он отказался от совершенных и несовершенных консонансов пифагорейской гаммы Сохранив октаву, он разделил её на 12 равных частей. Пифагорова гамма исчезла. Новый музыкальный строй позволил выполнять транспонирование мелодии. С введением этого строя в музыке восторжествовала темперация (от лат. соразмеренность). В чем же состояло математическое описание равномерно-темперированного строя?

Вначале было дано физическое определение звука. Музыкальный тон есть колебательный процесс с некоторой фиксированной частотой. Известно, что человеческое ухо способно воспринимать колебания частоты от 16 до 20000 Гц. Если рассмотреть таблицу для среднего, наиболее употребительного участка частот в диапазоне первой октавы фортепиано, то увидим следующие частоты:

Октава Нота Частота

1 ДО 512 Гц

1 РЕ 576 Гц

1 МИ 648 Гц

1 ФА 682,(6) Гц

1 СОЛЬ 768 Гц

1 ЛЯ 864 Гц

1 СИ 972 Гц

Эти частоты выбраны не случайно, ведь в основе устройства музыкальной гаммы лежат определенные закономерности. Шкала полностью определяется, если известно число её ступеней между частотой w и частотой 2w. Для построения гаммы гораздо удобнее пользоваться логарифмами соответствующих частот: log2w0, log2w1log2wm. Октава (w0, 2w0) при этом перейдет в промежуток log2w0 до log2w0+1, т. е. в промежуток длиной 1.

Геометрическая прогрессия w0,w1,wm будет соответствовать арифметической log2w0, Таким образом, на оси логарифмов шкала будет состоять из точек А, А+1/m; A+2/m;; A+1, где А – величина. На сколько же частей должна быть разделена музыкальная шкала, чему равно m? Анализ многих традиционных примеров народной музыки показал, что чаще всего в ней встречаются интервалы, выражаемые с помощью отношения частот: 2(октава),

3/2 (квинта), 5/4 (терция), 4/3 (кварта), 5/3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септима). Эти и другие выводы показали, что шкала должна быть разделена на 12 частей.

Сопоставление терминов и понятий в музыке и математике.

1. Ритм.

1. 1. Ритм в музыке.

Ритм – основа всего музыкального движения, порядок сочетания во времени всех элементов музыкальной речи: мелодии, гармонии и т. д.

Рассмотрим первоначальное значение этого слова, значение понятия «ритм», которое придавали ему древние греки. В их понимании ритм – всякое равномерное чередование, размеренность, происходящая с определенной частотой, последовательностью, скоростью протекания. Поэтому с ритмами мы встречаемся на каждом шагу в повседневной жизни: день сменяется ночью, зима – весной и т. д. Даже на улице: например, прислушайтесь к шагам: раз-два, левой-правой

Ритмами наполнена и математика. Вспомните ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 Ощущаете ритм. Его основа – каждое последующее число получается из предыдущего, если к нему прибавить единицу.

С XVII века в музыкальном искусстве утвердился тактовый (акцентный) ритм, основанный на чередовании сильных и слабых долей.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим русскую народную песню «Во поле берёза стояла»:

Во поле берёза стояла

Во поле кудрявая стояла

Ударный слог называется сильной долей, не ударный - слабой. Промежуток между двумя сильными долями называется тактом и отделяется двумя вертикальными линиями. Первая доля такта всегда сильная. Таким образом, в каждом такте одна сильная и три слабые доли. На первый взгляд, исключением являются последние такты, однако, это не так.

В связи с количеством долей в такте различают простые такты (двух- и трехдольные), сложные (четырех-, шести-, девяти-, двенадцатидольные), смешанные (например, пятидольные). Размер такта обозначается дробью, в которой числитель указывает на количество долей в такте, а знаменатель показывает, какие это доли (в зависимости от их длительности). В этом смысле простыми размерами считаются размеры: 2/4, ¾ (в числителе дробей, указывающих размер, стоят простые числа). Размеры 4/4; 6/8 называются сложными размерами.

Надо отметить, что в математике 6/8=3/4, в музыке же – нет! За основу размера ¾ берётся длительность ¼, а за основу размера 6/8 – длительность 1/8.

Помимо простых и сложных размеров бывают составные (смешанные) размеры. Составные размеры получают при сложении простых.

ПРИМЕР 2. Просмотрим партитуру Второго концерта для скрипки с оркестром С. С. Прокопьева. В третьей части встречаются размеры: 5/4=2/4+3/4 и 7/4=3/4+2/4+2/4. Так же составной размер встречается у Н. А. Римского-Корсакова в опере «Снегурочка».

В музыке встречается такое явление, как полиритмия и полиметрия.

• Полиритмия - в музыке — одновременное сочетание двух или нескольких ритмических рисунков

• Полиметрия - одновременное сочетание 2 или 3 метров, при котором не совпадают метрические акценты в разных голосах. Одна из форм организации полиритмии.

ПРИМЕР 3: М. Глинка, опера «Иван Сусанин». (Сцена «Иван Сусанин и поляки», 3 действие): Иван Сусанин поет в размере 2/4, а поляки – ¾.

1. 2. Ритм в математике.

В математику ритм проникает как синоним слову закономерность. Разложим число 1/81 в десятичную дробь, получим:

0,0123456791234567912345679

В данном случае закономерностью будет периодичность повторения группы чисел (12345679). Это записывается: 0,0(12345679)

1/3=0,33333333=0,(3)

1/6=0,166666666=0,1(6)

1/9=0,111111111=0,(1)

3/7=0,(428571)

И наоборот, запишем в виде обыкновенной дроби: 0,23232323=0,(23)=23/99.

Мы рассмотрели несколько примеров выявления числовых ритмов. А теперь вспомним о других математических терминах и понятиях.

2. Пифагоров квадрат.

2. 1. Кратные числа представляют собой очень красивые примеры правильных ритмов в математике. Выпишем натуральные числа в виде т. н. квадрата Пифагора. Его особенность состоит в том, что у чисел, стоящих в одной строке, совпадают первые числа, а у чисел, стоящих в одном столбце – совпадают вторые числа:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Понаблюдаем, как расположены числа, кратные 2, 3, 4, 5.

Таблица чисел, кратных двум:

Таблица чисел, кратных трем:

Таблица чисел, кратных четырем:

Таблица чисел, равных пяти:

Ритм, например, в расположении чисел, кратных трем, выглядит как:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Этот ритм соответствует правильному и красивому размеру ¾ в музыке.

Если рассмотреть таблицы Пифагора, то становятся более понятными некоторые свойства делимости.

3. Ритмы в тригонометрических функциях.

3. 1. Невмы.

В средние века музыку изображали направлениями-невмами, т. е. придавали направление мелодии.

ПРИМЕР 4. Изобразим русскую народную песню «Дождик» невмами. Это выглядит так:

3. 2. Мы получили нечто похожее на синусоиду или косинусоиду. Если рассмотреть тригонометрические функции y=cos x, y=sin x, y=tg x, y=ctg x и т. д. , легко обнаружить их ритмические закономерности.

График функции y=cos x:График функции y=sin x:

Выше изображены графики тригонометрических функций y=cos x, y=sin x. Легко заметить, что значения этих функций повторяются через определенный промежуток, который называется периодом. И это тоже ритм.

4. Упорядочивание.

4. 1. Упорядочивать – значит наводить порядок, то есть ставить всё на свои места. А для этого эти «свои места» надо знать.

Математика требует точности при организации упорядочений.

Было бы неверно сказать, что все натуральные числа разбиваются на 2 класса: простые и составные. Простое число делится лишь само на себя и на единицу, составное имеет и другие действия. Во всех справочниках говорится, что 1 не является простым числом, не является оно и составным. Итак, точная классификация требует расписать все натуральные числа на три класса: в первом из них содержится одно число – 1, во втором – все простые, в третьем – все составные.

Классификация в музыке позволяет построить музыкальную:

Для фортепиано музыкальная шкала имеет 9 классов: субконтроктава, контроктава, большая октава, малая октава, первая октава, вторая октава, и неполная пятая октава.

В музыке можно упорядочивать разновидности темпов:

Ну и наконец, привожу Вам классификацию музыки:

Заключение.

Пифагорейцы не только нашли строгие математические методы построения музыкальных ладов, которые практически без изменения вошли в современную музыку, но и заложили основы учения об этосе каждого лада. В пифагорейской теории музыки был достигнут союз математики и искусства, союз, принесший неоценимую пользу и науке математике, и искусству музыки.

«Природу и силу числа можно видеть в преизбытке не только в духовных и божественных вещах, но и во всех человеческих делах и мыслях, везде, даже в произведениях искусств и в музыке». Так писал пифагореец Филолай.

Начиная с Пифагора теории музыки посвящали глубокие исследования такие прославленные ученые, как Архит и Евклид, Клавдий Птолемей и Северин Боэций, а впоследствии Иоганн Кеплер, Готфрид Лейбниц, Леонард Эйлер. Не всегда эти изыскания приносили желаемые плоды (так, о математической теории музыки Эйлера говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов), но всегда они служили развитию математики и музыки.

Рассмотрение чисел привело пифагорейцев к рассмотрению отношения между ними, то есть пропорций. Пропорции и средние значения пифагорейцы наполняли не только математическим, но и философским, и эстетическим содержанием, объясняя с их помощью и музыкальные созвучия и даже всю вселенную.

В самом искусстве есть постоянные внутренние потребности в идеях и методах математики. Пропорция в искусстве также определяет соотношение величин элементов и всего произведения в целом. Симметрия воспринимается слишком статично, скованно, и только единство симметрии и асимметрии создает подлинную гармонию красоты. В качестве меры соотношения симметричного и асимметричного выступает пропорция: деление целого на две части, при котором большая так относится к целому, как меньшая относится к большему – это золотая пропорция или золотое сечение. Иначе – при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части. Золотая пропорция лежит в основе многих бессмертных творений Фидия, Тициана. Дань золотому сечению отдали также композиторы и поэты. Известнор, что, например, на золотом сечении строил многие свои произведения выдающийся венгерский композитор Бэла Барток. Что касается поэтов, то здесь в первую очередь следует назвать гениального грузинского поэта Шота Руставели. Как показали исследования академика Г. В. Церетели, в основу строения поэмы Руставели «Витязь в тигровой шкуре» положено золотое сечение и симметрия. В частности из 1587 строф поэмы, 863, - построены по пропорции золотого сечения.

Термины «наука» и «искусство» в далекие времена античности практически не различались. И хотя дороги математики и музыки очень сильно разошлись с тех пор, но музыка пронизана математикой, как математика полна поэзии и музыки!

Но математика применима не только в искусстве, но и в спорте. Я предлагаю Вашему вниманию бесспорно один из лучших разделов моей работы.

Математическое моделирование игры в теннис.

1. Правила игры в теннис.

1. 1. Аксиомы тенниса.

В теннис играют на ровной площадке (корте) определенных размеров с нанесенными на ней линиями и разделённой пополам сеткой (её высота 91 см). Игра начинается одним из играющих с подачи мяча в поле подачи противника. Подают по диагонали: стоя на первой позиции подачи (1) – в первое поле подачи противника (I), стоя на второй (2) – во второе (II). Первая подача проводится с первой позиции подачи, а последующие – поочередно с каждой из позиций. Мяч, введенный в игру ударом ракетки, должен перелететь через сетку и удариться о площадку в пределах соответствующего поля подачи противника или коснуться линий, его ограничивающих (если при этом мяч задевает сетку, он переигрывается). С неправильной подачи розыгрыш мяча не начинается. Если первая подача была неправильной, игрок должен подать в то же поле. После второй неправильной подачи мяч считается для подающего проигранным.

Поданный мяч должен быть отражен ударом ракетки принимающего после первого (но до второго) приземления мяча. После приема подачи (во время розыгрыша) мяч разрешается отражать не только между первым и вторым приземлением, но и «с лёта». Розыгрыш мяча состоит в том, что каждый из противников поочередно отражает направленный к нему мяч, не позволяя ему приземлиться на своей стороне более одного раза. Мяч находится в игре до первой ошибки какого-либо из противников. Ошибка сразу фиксируется счётом. Если отражающий послал мяч в сетку или за пределы площадки, он его проиграл. Теннисная встреча разбивается на сеты (партии), сеты – на геймы (игры), геймы формируются в результате розыгрыша отдельных мячей. В пределах одного гейма игра ведется до выигрыша одной из сторон не менее четырех мячей при условии, что это стона получила перевес не менее, чем на два мяча.

1. 2. Арифметика тенниса.

Счёт мячей в гейме имеет свои особенности, сохранившиеся с тех времён, когда игра велась «на интерес». Во Франции ценой игры являлась монета в 60 су: она разменивалась на четыре по 15 су. Эти последние, по-видимому, составляли цену четырёх ударов: 15, 30, 45, 60. Правда, в XX веке судьи стали лаконичнее, выкрикивая «сорок» вместо «сорок пять».

Итак, при выигрыше какой-либо стороной первого в гейме мяча счёт становится 15:0, при выигрыше той же стороной второго мяча добавляется 15 и счет становится 30:0 в её пользу. При выигрыше третьего мяча счёт становится 40:0, выигрыш четвёртого мяча дает 60:0 и приносит завершение гейма в пользу этой стороны.

Если одна из сторон после выигрыша первого мяча второй мяч проиграла, то 15 засчитывается противнику, и т. д. Следовательно, счёт в гейме может быть одним из следующих: 15:0, 30:0, 40:0, 0:15, 0:30, 0:40, 15:15, 30:15, 40:15, 15:30, 15:40, 30:30, 40:30, 30:40, «ровно», «больше», «меньше», «игра».

Счет «ровно» имеет место при равенстве очков у противников, начиная с шестого разыгранного мяча; «больше»(«меньше») – начиная с седьмого мяча, если подающий выиграл(проиграл) мяч после счёта «ровно». «Игра» подающего имеет место, если при счёте «больше» он выиграл следующий мяч; «Игра» принимающего – если при счёте «меньше» подающий проиграл следующий мяч.

По завершении первого гейма начинается розыгрыш второго гейма, при котором подача переходит к противной стороне и т. д. до завершения сета (партии). Сет считается завершенным, если один из противников выиграл не менее шести геймов и получил перевес над другой стороной не менее чем в два гейма. Следовательно, сет заканчивается, как только счёт становится равным одному из следующих: 6:0, 6:1, 6:2, 6:3, 6:4, 7:5, 8:6 и т. п. По окончании сета разыгрывается второй сет и т. д. , пока одна из сторон не выигрывает встречи – двух (из трех) или трех (из пяти) сетов в зависимости от условий соревнований. При выигрыше одной из сторон подряд двух(трех) сетов ей присуждается победа и остальные сеты не играются. Следовательно, счёт выигранной встречи может быть 2:0, 2:1 (соответственно, 3:0, 3:1, 3:2)

1. 3. Если одна из сторон играет значительно сильнее, то её преимущество выявится быстро – в первом же сете. Если же разница в силе не столь велика, то счет в каждом гейме и сете будет неустойчивым.

Я предлагаю рассмотреть структуру встречи равных по силе игроков с тем, чтобы выявился победитель. Естественно, чем продолжительнее встреча, тем четче будет проявляться преимущество одной из сторон. Однако физические возможности игроков ограничены. Как показывает опыт, пятисетовые (и даже трехсетовые) встречи зачастую длятся около трех-четырех часов, а то и больше. Например, для выхода в финал открытого чемпионата Франции в 1981 году Б. Боргу пришлось играть на корте 14 ч 8 мин, а его сопернику И. Лендлу – 17 ч 21 мин. В финальной пятисетовой встречи соперники сыграли 41 гейм.

Поэтому в последние годы введено новое правило tie-break («тай-брейк» - нарушение равновесия), согласно которому розыгрыш сета не продолжается до достижения одной из сторон преимущества минимум в два гейма. По этому правилу при счете 6:6 играется тай-брейк (решающий тринадцатый гейм), в котором счет очков ведется иначе, чем при розыгрыше обычного гейма: для победы в нем требуется выиграть не менее семи мячей с преимуществом не менее, чем в два.

2. Начальные понятия теории вероятностей.

2. 1. Далее я предлагаю построить математическую модель игры в теннис.

Прежде всего: что принять за показатель качества игры отдельного теннисиста? Очевидно, долю мячей, которые он в среднем выигрывает. Здесь придётся воспользоваться рядом понятий и элементарных фактов теории вероятностей. (Они приведены ниже).

В качестве испытания J рассмотрим розыгрыш отдельного мяча. Это испытание может иметь для рассматриваемого игрока два взаимно исключающих исхода: мяч выигран (событие А) и мяч проигран (событие В).

Частотой случайного события А (соответственно В) в рассматриваемой серии из n испытаний принято называть отношение m/n числа m тех испытаний, в которых наступило событие А (соответственно В), к их общему числу n. Естественно, что розыгрыш различных мячей осуществляется в различных условиях. Но даже если эти условия оказались бы равными, трудно было бы найти закономерность по результату розыгрыша отдельного мяча (испытания J). В то же время, как показывают эксперименты, при рассмотрении каждой достаточно длинной последовательности из n испытаний частота m/n появления некоторого исхода А мало отличается от некоторой величины Р(А). В этом факте проявляется свойство так называемой статистической устойчивости частоты. При этом величина Р(А) принимается за вероятность события А.

Чем больше испытаний n проводится, тем меньше частота m/n отклоняется от вероятности Р(А). Этот неоднократно проверенный экспериментально факт находит математическое объяснение в теореме Бернулли. Вот почему при проведение большого числа испытаний частоту m/n принимаем за приближенное значение вероятности Р(А). Надо отметить, что всегда 0≤Р(А)≤1.

Будем считать, что для каждого игрока известны вероятность Р(А) того, что мяч будет им выигран, и вероятность Р(В) того, что мяч будет проигран.

Естественно, что

Р(А)+Р(В)=1. (1)

Суммой (объединением) А+В событий называется событие, которое реализуется как при исходах, приведших к А. , так и при исходах, приведших к В. При этом исходы, которые приводят как к А, так и к В.

Произведением (пересечением) АВ двух событий называется событие, реализующееся при тех и только тех исходах, которые приводят как к А так и к В.

События А и В несовместны, если их произведение является событием невозможным: его вероятность равна нулю.

В данном случае испытание J приводит лишь к двум несовместным исходам (выигрыш или проигрыш мяча). Их сумма А+В – событие достоверное: его вероятность равна единице Р(А+В)=1, а произведение АВ – событие невозможное: Р(АВ)=0.

Формула (1) – частный случай теоремы сложения вероятностей: если исходы А и В испытания J несовместны, вероятность А+В исходов А и В равна сумме вероятностей этих исходов:: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей обобщается на тот случай, когда испытание приводит к любому конечному числу В1,Вk попарно несовместных исходов (т. е. каждое произведение ВiВj при i≠j) событие невозможное:

(В1+В2+Вk)=Р(В1)+Р(В2)++Р(Вk).

Условная вероятность Р(А/В – отношение числа тех исходов испытания J, приведших к А, которые приводят и к В, к числу всех исходов, приводящих к В). Из определения следует, что Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В).

Событие А называется независимым от события В, если условная вероятность Р(А/В) равна безусловной вероятности Р(А), т. е. Р(А/В)=Р(А). Из предыдущего вытекает, что для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей:

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

для зависимых событий:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Наконец, формула полной вероятности. Пусть события В1Вk попарно несовместны и событие А имеет место, когда возникает по крайней мере одно какое-либо из событий В1Вk. Тогда справедливо тождество:

А=А(В1++Вk)=АВ1+АВk.

Формула полной вероятности:

Р(А)=Р(АВ1)+Р(АВ2)++Р(АВk) или

Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)++Р(Вk)Р(A/Вk).

3. Модель игры.

3. 1. Марковская цепь.

Теперь перейдем непосредственно к построению математической модели игры в теннис между мной (М) и Вами (В), предполагая известными вероятности Р(М) и Р(В) выигрыша мяча мной и Вами соответственно. Пусть для определенности Р(В)=0,4, Р(М)=0,6 (Я играю несколько лучше Вас(). Не случайно, что Р(М)+Р(В)=1. (проигрыш мяча одной стороной означает выигрыш другой). На схеме показано, как последовательно может изменяться счет в гейме. Числа рядом со стрелками указывают, с какой вероятностью может произойти соответствующее изменение счёта. Например, при счёте 15:15 с вероятностью 0,6 мяч выиграю Я,т. е. счет станет 30:15, а с вероятностью 0,4 мяч выиграете Вы, т. е. счет станет 15:30.

Мы имеем систему – игру в теннис. Состояния системы определяется счетом в пределах гейма. При этом переход из одного состояния (счёта) в последующее зависит только от настоящего состояния и, конечно, от вероятности от перехода, однако не зависит от предшествующих состояний.

Замечу, что любая система, в которой переход из одного состояния в другое не зависит от предыстории процесса, а зависит только от предыдущего состояния, называется в теории вероятностей Марковской цепью или цепью Маркова. В общем случае конечную Марковскую цепь можно задать в виде геометрической схемы (ориентированного графа), где прямоугольники изображают состояния, а соединяющие их стрелки указывают на переходы из одного состояния в другое. Рядом с каждой стрелкой записана вероятность соответствующего перехода. Следовательно, выше приведенная схема дает нам конкретный пример графа конечной Марковской цепи, описывающего состояние системы – игры в теннис в рамках гейма.

В Марковской цепи могут существовать состояния различных типов. Во-первых, невозвратное состояние, т. е. выйдя из которого система вновь попасть в него не может. В нашем случае таких состояний довольно много, среди них , например, состояния 15:30 или 40:0 и т. п. Во-вторых, возвратное состояние – ВСЯКОЕ СОСТОЯНИЕ, НЕ ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ НЕВОЗВРАТНЫМ. Такими у меня являются состояния «больше», «равно», «меньше». Следующий важный тип состояний – поглощающее. Состояние называется поглощающим, если, попадя, система и впредь останется в нем, не имея возможности перейти ни в какое иное состояние. В моем примере таких состояний два: «МОЯ Игра» и «ВАША Игра».

4. Розыгрыш гейма.

4. 1. Начало гейма.

Итак, я подаю. Вероятность счёта 15:0 после розыгрыша первого мяча равна 0,6, а вероятность счёта после 0,4. Найдем вероятность перехода из состояния 0:0 в одно из состояний 30:0, 15:15, 0:30. Счёт 30:0 может возникнуть после того, как Я выиграю два мяча подряд. Счёт 0:30 возникнет в результате выигрыша ВАМИ двух мячей подряд. Счёт 15:15 может возникнуть следующим образом: Я выиграла первый мяч, вы – второй, или ВЫ выигрываете первый мяч, я – второй. Пусть Н1 – гипотеза, согласно которой Я выигрываю первый мяч, Н2 – гипотеза, согласно которой ВЫ выигрываете второй мяч. Откуда Р(Н1)=0,6 – вероятность осуществления первой гипотезы, Р(Н2)=0,4 – вероятность осуществления второй гипотезы. Пусть событие Q – событие при котором счёт стал 15:15. При этом условные вероятности Р(Q/Н2)=0,6 и Р(Q/Н1)=0,4 известны. По формуле полной вероятности находим:

Р(Q)=H(Н1)Р(Q/H1) + P(H2)P(Q/H2)=0,6*0,4+0,4*0,6=0,48

Таким образом, вероятности возможного счета после розыгрыша двух мячей равны: Р(30:0)=0,36; Р(15:15)=0,48; Р(0:30)=0,16. Далее можно рассчитать вероятности возможного счёта после розыгрыша трёх мячей:

Р(40:0)=0,63 = 0,22

Р(0:40) = 0,43=0,06.

Вероятности двух других реализаций счёта находим по формуле полной вероятности аналогично тому, как это было сделано при счёте 15:15. А именно

Р(30:15)=Р(30:0)*0,4+Р(15:15)*0,6=0,43;

Р(30:15)=Р(15:15)*0,4+Р(0:30)*0,6=0,29.

Вывод: для того, чтобы найти вероятность счёта, отмеченного в каком-либо прямоугольнике схемы 1, надо составить сумму произведений вероятностей, проставленных у стрелок, входящих в этот прямоугольник, на вероятности счёта, указанные в соответствующих прямоугольниках, из которых эти стрелки выходят.

4. 2. Завершение гейма.

После розыгрыша четырех или пяти мячей «система» обязательно окажется в каком-нибудь из состояний, указанных в нижней строке таблицы 1. Вероятности этих состояний находятся по известному уже правилу и после розыгрыша четырех мячей составят: Р(«МОЯ игра»)=0,13; Р(40:15)=0,35; Р(30:30)=0,35; Р(15:40)=0,15; Р(«ВАША игра»)=0,02. После розыгрыша пяти мячей составит: Р1=Р(МОЯ игра)=0,64(1+4*0,4)=0,33;

Р3=Р(«ровно»)=6* 0,62*0,42=0,33; Р2=Р(«больше»)=4* 0,63*0,42=0,15; Р4=Р(«меньше»)=4* 0,62*0,43=0,1; Р5=Р(ВАША Игра»)=0,44* (1+4*0,6)=0,09.

5. Розыгрыш сета.

5. 1. Мы знаем вероятности выигрыша гейма одной из сторон. Перейдём теперь к определению вероятностей выигрыша сета. Для этого выпишем всевозможные изменения счёта в пределах соответствующего ориентированного графа:

Рассматривая вновь возникшую Марковскую цепь, видно, что после розыгрыша 11-12 геймов возникает процесс случайного блуждания. Он определен требованием иметь для победы в сете преимущество не менее, чем на два гейма. Граф этого случайного блуждания представлен ниже:

Используя те же методы, что и при нахождении вероятностей выигрыша гейма, можно найти вероятность выигрыша сета:

Р(МОЙ сет)=0,966, Р(ВАШ сет)=0,034.

Очевидно, что вероятность выигрыша сета МНОЙ близка к 1. Этого следовало ожидать, ведь Я выигрываю отдельный мяч с вероятностью в 1,5 раза (!) большей, чем ВЫ. Подсчёт показывает, что матч из трёх сетов Я выигрываю с вероятностью 0,996, а из пяти – с вероятностью 0,9996. Т. е. более трёх сетов играть нецелесообразно.

Пусть теперь класс игроков практически одинаков, пусть вероятность выигрыша

Мяча МНОЙ составляет 0,51, ВАМИ – 0,49, т. е. из ста разыгранных мячей Я выигрываю в среднем на 2 мяча больше, чем ВЫ. В этом случае можно найти вероятность выигрыша сета МНОЙ составит 0,573, ВАМИ – 0,427. Таким образом, при разнице вероятностей выигрыша мяча в 0,02 разница в вероятностях выигрыша сета возрастает в 7 раз.

Вероятность выигрыша каждой стороной по одному сету, т. е. Р(1:1), равна 0,488:

Мы построили математическую модель игры в теннис в пределах гейма и сета. По аналогии можно «достроить» модель полностью до трех (пяти) сетов.

Так же математика находит своё применение в других видах спорта. Например, с помощью математики можно сформулировать оптимальный состав команды пловцов, разработать тактику ведения игры в хоккейных, футбольных, волейбольных и др. матчах.