Замечательные точки треугольника

Если все углы треугольника меньше 120 градусов, то точкой Ферма называется такая точка треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.

Иногда эту точку называют точкой Торричелли, поэтому в дальнейшем эту замечательную точку треугольника будем называть точкой Ферма-Торричелли, но в некоторых параграфах для удобства записи мы воспользуемся только одним названием – точкой Ферма.

Алгоритм построения точки Ферма:

• построить на сторонах треугольника вне него равносторонние треугольники;

• соединить отрезком каждую вершину треугольника с вершиной равностороннего треугольника, построенного на противоположной стороне;

• построить точку пересечения этих отрезков.

Интересные свойства точки Ферма

• Каждая сторона треугольника из точки Ферма видна под углом 120 градусов;

• Если один из углов треугольника равен 120 градусов, то точка Ферма совпадет с вершиной треугольника;

• Окружности описанные около правильных треугольников пересекаются в точке Ферма.

Если внутри треугольника построить треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного треугольника, потом аналогично построить третий, четвертый треугольник и т. д. ; в каждом треугольнике построить свою точку Ферма, то все точки Ферма будут лежать на одной прямой. Это свойство будем называть коллинеарностью точек Ферма.

а) Построим произвольный треугольник и точку Ферма данного треугольника.

б) В заданном треугольнике построим треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного (красный треугольник).

в) Построим точку Ферма в красном треугольнике.

г) Построим треугольник, стороны которого являются средними линиями красного (зеленый треугольник) и найдем для него точку Ферма.

д) Все точки Ферма лежат на одной прямой, т. е. коллинеарны.

4. Физическая модель точки Ферма

Самое интересное в работе было то, что мы сумели связать этот интересный математический факт с физикой. А факт заключается в следующем: если на тело действуют три одинаковые силы и они уравновешивают друг друга, то углы между ними составляют 120 градусов. Этот факт мы использовали для построения модели, которая позволяла практическим путем найти точку Ферма для любого треугольника.

Суть модели в следующем: на доске в виде решетки закреплены штыри с подшипниками так что, их можно свободно переставить в любое отверстие решетки. Эти штыри являются вершинами треугольника. Стороны треугольника сделаны из резинки. Это для того, чтобы легко изменить вид треугольника. Через каждый подшипник перекинута нить с одинаковым грузом на конце. Масса каждого груза равна 100 грамм. Нити взяты специальные, нерастяжимые. Свободные концы нитей связаны в один узел. Когда грузы будут отпущены, они натянут нити. На этот узел со стороны нитей с грузом действуют силы натяжения этих нитей. После того, как эти силы станут равными по величине и будут уравновешивать друг друга, узел установится в искомой точке. Если измерить углы между нитями, то будет видно, что они составляют между собой углы 120 градусов. Каждая сторона треугольника из этой точки будет видна под углом 120 градусов, а этим свойством обладает точка Ферма. В этом мы можем убедиться, если приставим к нашей модели диск из оргстекла, где начерчены лучи, исходящие из одной точки и образующие между собой угол 120 градусов. После того, как лучи и нити полностью совместятся наложением, фломастером можно отметить местоположение точки Ферма для данного треугольника.

5. Физическая модель точки Ферма в компьютерной среде «Живая физика»

Экспериментальное доказательство этого факта мы наблюдали и в компьютерной среде «Живая Физика». В данной динамической среде была создана аналогичная физическая модель и, приводя модель в движение, мы следили за изменениями величин сил и углами между ними.

До эксперимента

После эксперимента

6. Настольная модель точки Ферма –Торричелли

Идею физической модели мы использовали для создания настольной модели по обнаружению точки Ферма – Торричелли. Практическое значение этой модели заключается в том, чтобы каждый ученик на уроке мог бы самостоятельно обнаружить местоположение точки Ферма-Торричелли.

Эта модель создана аналогично физической модели, но с одной гирей. Она работает так же, как физическая модель, если взять достаточно скользкие лески, «абсолютно» гладкую поверхность, шарниры и гири. Конечно, здесь большую роль играют трение в шарнирах, масса гири, масса подвижного шарнира, трение этого шарнира об стол. Но в зависимости от соотношения этих параметров мы имеем прибор для физического обнаружения точки Торричелли и Ферма одновременно. Следовательно, в случае пренебрежения трением во всех осях и их толщиной, мы имеем схему механического доказательства эквивалентности точек Ферма и Торричелли.

Можно утверждать, что из соображения сил – это точка Торричелли, а из энергетических соображений – точка Ферма.

На уроках с помощью прибора мы играли игру - состязание –

«Кто ниже опустит гирю».

7. Точка Ферма в мыльных пузырях

Очень интересно наблюдать за точкой Ферма в мыльных пузырях.

Мыльные пленки обладают свойством стремятся сократиться до наименьших возможных размеров. Этим и объясняется шарообразная форма мыльных пузырей.

Мы изготовили из медной тонкой и хорошо гнущейся проволоки модели правильного тетраэдра, куба (можно и другие многогранники). Мы окунули эти модели в мыльный раствор и, осторожно вытаскивая их, наблюдали за передвижением мыльных пленок. Пленки стремились занять наименьшую площадь. Так как их поверхностное натяжение одинаково, то силы их поверхностного натяжения могут «уравновесить» друг друга лишь в том случае, когда углы, под которыми они пересекаются, равны между собой и, следовательно, каждый равен 120 0. После установления равновесия в правильном тетраэдре очень четко была видна точка пересечения сил натяжения, от которой каждое ребро тетраэдра было видно под углом 1200. В кубе наблюдалась аналогичная картина. Это прекрасное зрелище! Попробуйте!