Звёздчатые многогранники

Вслед за Платоном предпринял попытку увязать строение Вселенной с правильными многогранниками Иоганн Кеплер (1571 — 1630). В своей работе «Тайна мироздания» (1597) он, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, получила название «Космический кубок» Кеплера.

Однако в геометрии имя Кеплера осталось в связи с открытием им двух звездчатых правильных тел.

Оказывается, что кроме правильных (тел Платона) и полуправильных (тел Архимеда) многогранников, красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников. Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил Луи Пуансо (1777 – 1859).

Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера — Пуансо.

В работе «О многоугольниках и многогранниках» (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789 – 1857). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует. Почему эти тела считают правильными? Чем они «правильнее» тех же архимедовых — полуправильных тел? В этих и во многих других ситуациях оказывается более естественным представлять себе многогранник не как тело, а как поверхность, составленную по некоторым правилам из многоугольников. Правда определение многогранника при этом становится более сложным и у него есть разные варианты, приведем один из них.

Многогранник как поверхность — это конечный набор плоских многоугольников, расположенных в пространстве так, что

1) каждая сторона любого из них одновременно служит стороной ровно одного другого;

2) любые два из них соединяются «дорожкой» из многоугольников набора, причем в «дорожке» последовательные многоугольники граничат по стороне;

3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их «дорожку» можно выстроить из многоугольников с той же вершиной. Многоугольники называются гранями, а их стороны и вершины — ребрами и вершинами многогранника.

Условие 1 обеспечивает замкнутость поверхности - у нее нет края;

Условие 2 говорит о том, что поверхность связная — состоит из одного куска;

Условие З исключает из числа многогранников, например, фигуру из двух кубов с общей вершиной, которые не имеют других общих точек. Но заметим, что это определение допускает самопересечения поверхности.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре.

На рисунке изображена оригинальная конструкция, выполненная В. Н. Гамаюновым и положенная в основу проекта административного здания в одном из итальянских городов. А необычный его многогранник «Звезда» вдохновил архитектора В. А. Сомова на создание проекта Национальной библиотеки в Дамаске

Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа.

Снежинки — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.