Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Замечательные свойства квадрата

Если сложить числа в любом горизонтальном ряду дюреровского квадрата (4*4), получится 34. То же получится в любом вертикальном или диагональном ряду. Этот квадрат заполнен числами от 1 до 16. Квадрат называют магическим, если числа, нужные для его заполнения (например, от 1 до 9 для квадрата 3*3, от 1 до 25 для квадрата 5*5), размещены так, что в каждом горизонтальном, вертикальном и диагональному ряду получается одна и та же сумма.

Магический квадрат третьего порядка

Слово «порядок» означает в данном случае число клеток на одной стороне квадрата. Квадрат 3*3 имеет третий порядок, а квадрат 5*5 — пятый. Магического квадрата второго порядка не существует.

Здесь изображен единственный магический квадрат третьего порядка. Если ты найдешь семь других возможных расположений чисел, ты увидишь, что все они получаются из этого или отражениями, или поворотами.

Первый магический квадрат

Говорят, что он впервые появился в Китае примерно за 2800 лет до нашей эры. Под названием Лох-Шу он до сих пор используется как талисман.

Магический квадрат Дюрера

Четыре средних числа тоже дают в сумме 34, как и короткие диагонали, отмеченные штриховыми линиями.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Как Абул Вефа составил квадрат из трёх равных квадратов?

Задачами превращения одной фигуры в другую путем переложения разрезанных частей занимались ещё в древние времена. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Полнились практические приемы и правила, не обоснованные доказательствами, и естественно, что многие из них были неверны, ошибочны.

Один из самых замечательных арабских математиков Абул Вефа, живший в X веке, решил целый ряд вопросов, относящихся к геометрическому превращению фигур. В сочинении “Книга о геометрических построениях”, дошедшем до нас не полностью в списках его учеников, Абул Вефа пишет:

“В настоящей книге мы займемся разложением фигур; вопрос этот необходим многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий. К таким вопросам мы приходим, когда требуется разложить квадраты так, чтобы получились меньшие квадраты, или когда из нескольких квадратов требуется составить большой квадрат. Ввиду этого мы дадим основные начала, которые относятся к данным вопросам, так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах, не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия”.

На одном из собраний геометров и практиков Абул Вефе была предложена задача: составить квадрат из трёх равных квадратов.

Познакомимся с тем решением, которое дал Абул Вефа.

Он разрезал квадраты I и II по диагоналям и каждую из половинок приложил к квадрату III, как показано на рис. 2.

Затем он соединил отрезками прямые вершины E, F, G к Н. Полученный четырёхугольник EFGH оказался искомым квадратом.

Доказательство сразу следует из равенства образовавшихся маленьких треугольников HLK, EKD и остальных таких же (HL=ED; углы HLK и ЕDK — по 45° и угол HKL=углу EKD).

Приведённое решение, по словам Абул Вефы, “точно и вместе с тем удовлетворяет практиков”.

Задача на разрезание квадрата №1

Задача: Обычную шахматную доску, состоящую из 64 квадратиков (8x8), требуется разрезать на отдельные квадратики. При этом разрешается производить разрезы только по прямым линиям. Однако после каждого разреза можно перекладывать образовавшиеся части, чтобы следующий прямолинейный разрез мог рассечь не одну, а несколько частей. Сколько прямолинейных разрезов вам потребуется, чтобы разрезать всю доску на отдельные квадратики?

Решение: Сначала посмотрим, каково может быть наименьшее число разрезов. Если мы провели один разрез, то доска распадается на две части. Следующим разрезом, если он рассечет обе из них, мы получим 4 части. Если мы расположим их так, что третий разрез пересечет их все, то число частей снова удвоится, и после третьего разреза мы получим 8 частей. После четвертого разреза мы получим самое большее 16 частей (если разрез пересечет все получившиеся ранее части), после пятого — 32 части. Значит, после пяти разрезов мы никак еще не сможем получить 64 отдельных квадратика. И лишь' после шестого разреза, когда число частей опять удвоится, мы можем рассчитывать получить 64 отдельных квадратика. Значит, менее чем шестью разрезами обойтись невозможно.

Но теперь надо еще показать, что шесть разрезов можно в действительности осуществить так, чтобы каждый раз число частей удваивалось и в результате получилось 26 = 64 отдельных квадратика. Это уже не трудно сделать: надо только следить, чтобы после каждого разреза все части оказывались равными, и чтобы каждый очередной разрез разбивал каждую из частей пополам.

Задача на разрезание квадрата №2

Задача: Нужно разрезать квадрат таким образом, чтобы в итоге можно было получить 2, 3, 4, 6 или 8 квадратов.

Решение: Разрезая данный квадрат (Рис. 3) по диагоналям AС и BD, получим четыре равных прямоугольных треугольника AOB, BOC, COD и DOA, из которых можно составить два квадрата. В свою очередь каждый из полученных квадратов без труда разделяется на четыре равных квадрата. Все решение легко усматривается из чертежа.

Игра с квадратом «Край в край»

Сколько фигур разной формы (не считая отражений) можно получить соединяя:

1. Три одинаковых квадрата край в край?

2. Четыре одинаковых квадрата край в край?

3. Пять одинаковых квадратов край в край?

Вывод: Чем больше квадратов, тем большее количество фигур можно сложить.

Танграмы

Эта головоломка изобретена в Древнем Китае (у нас она сейчас распространена под названием «Пифагор». ). Из семи частей квадрата удается сложить самые разнообразные фигуры.

Разрезав квадрат так, как показано на рисунке и соблюдая два правила:

1) при складывании фигурок использовать все семь частей-танов;

2) таны нельзя накладывать друг на друга (они могут только касаться друг друга)

Построение при помощи перегибания квадратного листа бумаги.

О теореме Пифагора и способах её доказательства.

Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в. ), в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г. ) в переводе теорема читается так :

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многим известен сонет Шамиссо:

   Пребудет вечной истина, как скоро

   Ее познает слабый человек!

   И ныне теорема Пифагора

   Верна, как и в его далекий век.

   Обильно было жертвоприношенье

   Богам от Пифагора. Сто быков

   Он отдал на закланье и сожженье

   За света луч, пришедший с облаков.

   Поэтому всегда с тех самых пор,

   Чуть истина рождается на свет,

   Быки ревут, ее почуя, вслед.

   Они не в силах свету помешать ,

   А могут лишь закрыв глаза дрожать

   От страха, что вселил в них Пифагор.

Простейшее доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два.

Теорема доказана.

Доказательство Энштейна.

Начнем с доказательства Энштейна; его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CD проведена перпендикулярно прямой EF.

Разложение на треугольники можно сделать и более наглядным, чем на рисунке.

Доказательство Нильсена.

На рисунке вспомогательные линии изменены по предложению Нильсена.

Доказательство Перигаля.

В учебниках нередко встречается разложение указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"; это доказательство нашел Перигаль). Через центр O квадрата, построенного на большем катете, проводим прямые, параллельную и перпендикулярную гипотенузе. Соответствие частей фигуры хорошо видно из чертежа.

Доказательства методом дополнения

Доказательство первое.

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем.

От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. Ведь если в равенствах

В-А=С и В1-А1=С1 часть А равновелика части А1, а часть В равновелика В1, то части С и С1 также равновелики. Поясним этот метод на примере. На рис. к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

Другое доказательство методом вычитания.

Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: треугольники 1, 2, 3, 4; прямоугольник 5; прямоугольник 6 и квадрат 8; прямоугольник 7 и квадрат 9;

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут:

1. прямоугольники 6 и 7;

2. прямоугольник 5;

3. прямоугольник 1(заштрихован);

4. прямоугольник 2(заштрихован);

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что:

1. прямоугольник 5 равновелик самому себе;

2. четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

3. прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);;

4. прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован);

Доказательство закончено.

Доказательство Евклида

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC=1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ - общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD=SFBC, имеем

SBJLD=SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

SJCEL=SACKG.

SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.

Упрощенное доказательство Евклида

Как в доказательствах методом разложения, так и при доказательстве евклидового типа можно исходить из любого расположения квадратов. Иногда при этом удается достигнуть упрощений.

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника.

Заключение.

Мы убедились, что математика непрерывно развивается, обогащается новыми теориями, перестраивается в ответ на новые запросы жизни. Мы расширили рамки своих геометрических представлений о квадрате, узнали, почему его называют удивительным, его свойства – замечательными. Также мы познакомились с различными доказательствами теоремы Пифагора. Квадрат имеет множество свойств, и в будущем мы собираемся рассмотреть более сложные задачи, новые танграмы и игры с квадратом. Танграмы мы использовали при показе спектакля «Сказание о геометрии» по материалам газеты «Первое сентября» за 1999 год нашего учителя математики (геометрическая интермедия «Про Федота – стрельца, удалого молодца»).

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)