Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Из истории теоремы Пифагора

Прошло столько веков, а теорема Пифагора находит широкое распространение и применение до сих пор. Мне захотелось узнать больше об этом учёном, о его трудах и практическом применении данной теоремы. И я решил заняться исследовательской деятельностью.

Своё исследование начал с изучения теоремы Пифагора. Выучив её на «5», я решил углубить свои знания об этом человеке, познакомиться с историей его замечательной теоремы: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». С этой целью я в библиотеке выбрал необходимую литературу, изучил и сделал выписки. Он мне помог в поиске новых доказательств теоремы и практических задач.

Если взять за основу теорему Пифагора, сущность которой заключается в соотношении сторон прямоугольного треугольника, а именно: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», то можно решить ряд практических задач по геометрии и вывести новые доказательства данной теоремы.

Отец его Мнесарх - резчик по драгоценным камням. Имя матери неизвестно, по некоторым источникам называют её Пифаидой, дочерью основателя Самоса. По многим свидетельствам, родившийся у них мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности. В 20 лет он по совету учителя отправляется путешествовать в поисках познаний. Попадает в Милеет, общается со знаменитым Фалесом, учится многому у него. По совету Фалеса он отправляется в Египет, путешествует по странам Востока, посещает Египет и Вавилон, изучает восточную математику. После 20 лет странствий возвращается на родину. Поселяется на юге Италии в городе

Кротоне и создаёт там пифагорейский Союз, школу Пифагора.

Пифагорейская школа.

Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружён множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. «Когда к нему приходили младшие и желающие жить совместно, он не сразу давал согласие, а ждал, пока их не проверит и не вынесет о них своё суждение». Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из – за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью ( научиться размышлять, разучиться болтать )

Вся система знаний в школе состояла из 4 разделов:

1. арифметика ( учения о числах );

2. геометрия ( учения о фигурах );

3. астрономия ( учения о строении мира );

4. музыка ( учения о гармонии и теории музыки )

Эта система, заложенная Пифагором, просуществовала тысячелетия.

В школе был особый распорядок дня. Вставали с восходом солнца и шли на морской берег встречать рассвет. Члены Союза заботились не только о духовном, но и о физическом развитии. Они участвовали в олимпийских играх. Среди победителей в те времена было много пифагорейцев. Сам Пифагор 4 раза был олимпийским чемпионом по кулачному бою. В школе Пифагора члены делились на математиков и акусматиков. Те, которые активно выступали были математики, а те, которые больше слушали - акусматики. Но если кто – то проявлял активность, его из акусматиков переводили в математики.

Моральный кодекс пифагорейцев.

«Золотые стихи»

Пифагорейцы жили по определённым правилам поведения, объединённым в Моральный кодекс пифагорейцев или Пифагоровы нравоучения, которые были записаны в книге «Золотые стихи»

Книга содержит 325 заповедей ( нравоучений )

Вот некоторые из них:

* Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне.

Первым твоим законом должно быть уважение к самому себе.

* Прежде, чем говорить, дай мысли созреть под твоим языком.

* Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания.

* Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему тому, что хочешь знать.

* Спеши делать добро лучше настоящим утром. Чем наступающим вечером.

* Начало есть половина всего.

* Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не заставит раскаиваться.

* Будь с тем, кто ношу взваливает, но не с тем, кто ношу сваливает.

* Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом.

Пифагорейцы

* * начинали день со стихов: отправлялись спать со стихами:

Прежде, чем отойти от снов, Прежде, чем напустить сон на навеянных ночью, нужно на свои усталые очи, попробуй на вопрос себе ответить: «Какие 3 вопроса ответить: Что я дела тебе день приготовил?» сделал? Что не сделал? И что мне ещё осталось сделать?

Пентаграмма.

Пентаграмма - звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Пятиконечная звезда считалась в школе Пифагора символом дружбы, служила талисманом для защиты от тёмных сил, которым одаривали друзей, тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Бытует легенда о том, что один из пифагорейцев заболел и больным попал в дом к незнакомым людям. Они старались его выходить, но болезнь не отступала. А так как у него не было средств заплатить за заботу, он перед смертью попросил их нарисовать на воротах дома пентаграмму. И объяснил, что по этому знаку найдутся люди, которые отблагодарят их. И на самом деле через некоторое время один из пифагорейцев поинтересовался почему у них этот знак и услышав рассказ, щедро отблагодарил их.

Пифагор и его открытия.

Много замечательных открытий в геометрии приписывается Пифагору и его ученикам. Именно они придали геометрии характер настоящей науки. Одно из открытий, доказательств - важнейшая теорема о соотношении между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Знаменитая теорема Пифагора.

Интересна история теоремы Пифагора

* была известна задолго до Пифагора;

* за 1500 лет до Пифагора древние египтяне уже знали о треугольнике со сторонами 3, 4, 5 и пользовались этим треугольником;

* за 1200 лет до Пифагора эта теорема встречается в вавилонских текстах;

4. За 2000 лет в Египте уже знали это соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетами было установлено опытным путём на основе измерений. Исследование показывает, что скорее всего

Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, а сумел его обобщить и доказать, перевести его тем самым из области практики в область науки. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже 100 быков.

Евклида теорема гласит так:

В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой под прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол.

В первом русском переводе теорема гласила так:

В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол.

Теорема, доказанная Пифагором, гласит так:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пифагоровы числа.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, и 5 называется «египетским треугольником». Так он называется потому, что был известен ещё египтянам. Они его использовали для построения прямого угла. Такие тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, назвали пифагоровыми числами или пифагоровыми тройками. Таких чисел - троек существует много:

32 + 42 = 52 82 + 152 = 172

52 + 122 = 132 112 + 602 = 612

72 + 242 = 252 332 + 562 = 652

Пифагоровы числа обладают некоторыми особенностями:

- одно из них должно быть кратным «3»,

- одно из чисел должно быть кратным «4»,

- одно из чисел должно быть кратным «5».

Тайна Пифагора и его учеников.

У Пифагора и его учеников была одна тайна, сохраняемая даже под угрозой жизни. Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1 см. Проведём диагональ. Найдём её по теореме Пифагора.

Это иррациональное число. Во времена Пифагора таких чисел ещё не знали. Это противоречило утверждению самого Пифагора: «Всё есть число».

Отрезок есть, а числа нет. Пифагор решил сохранить это открытие в тайне. Существует легенда, что один из пифагорейцев разгласил эту тайну. Боги разгневались и страшно его покарали. Он погиб при кораблекрушении.

Философия чисел.

Пифагор считал, что через числа можно выразить все закономерности мира. Он говорил: «Всё есть число», «Числа правят миром». Пифагорейцы обожествляли числа и геометрические фигуры. Каждое число что - то означало

1 - огонь, 5 - любовь,

2 - землю, ( добро – зло ) 6 - холод,

3 - воду, 7 - разум, свет

4 - воздух.

Сумма этих чисел 10 - весь мир.

Из множества чисел священно число 36: 1 + 2 + 3

Оно состоит из единицы, а без единицы нет ни одного числа.

Оно состоит из двойки, которая символизирует: добро - зло.

Оно состоит из тройки, совершеннейшей из чисел, так как оно имеет начало, середину и конец.

Именно Пифагор ввёл чётные и нечётные числа. Чётные числа считались несчастливыми, а нечётные счастливыми. Эти традиции сохранились и до сих пор.

Числа у Пифагора делились на

Линейные, плоские, телесные, треугольные, квадратные, пятиугольные

Крушение Пифагорейской школы.

Шло время

Пифагорейский Союз пришёл к власти в Кротоне. Появились зависть, недовольство, обман. Однажды к Пифагору пришёл некий человек Килон с просьбой принять его в Союз. Он был богат, знатен, но имел тяжёлый характер. Пифагор его не принял. И Килон, обидевшись, отомстил ему. Он и его помощники подожгли дом, где шло собрание пифагорейцев. Многие погибли в огне. Пифагорейцы терпели одно поражение за другим. А сам Пифагор погиб в одной из ночных схваток. По другим источникам - он не выдержал без продолжателей своего учения и лишил себя жизни. Но есть и другие версии его смерти

Тихо ночь легла ему на веки,

Сжалась жизнь у времени в горсти,

Но, чтобы уйти ему навеки,

Надо нам, ученикам, уйти

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир её увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день рожденья.

Новые доказательства теоремы Пифагора.

Всего известно около 500 различных доказательств теоремы

Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности.

Применение теоремы Пифагора в практических задачах.

Теорема Пифагора имела всегда широкое распространение и применение. Особенно при решении практических задач. В этом мы сейчас убедимся. Вашему вниманию предлагаю несколько практических задач.

1. Найти расстояние.

2. Найти скорость.

3. Арабская задача.

4. Задача индийского учёного ( 1114 г. )

Заключение.

Трудно рассказать о человеке, умершем две с половиной тысячи лет тому назад, даже если это - великий Пифагор

Изучив жизнь и деятельность Пифагора, я сделал для себя маленькое открытие. Оказывается, теорема очень широко используется при решении различных задач практического характера и помогает вывести новые доказательства данной теоремы.

Приложение.

1. Задача 1. Найти расстояние.

Аня, Витя и Серёжа живут в домах А, В, С, расстояния между которыми равны соответственно 400 м, 680 м, 840 м. Дороги ВД и АС пересекаются под прямым углом, и на их пересечении находится школа, в которой учатся ребята. Чему равны расстояния от школы до каждого из домов?

Ответ: 240 м, 320 м, 600 м.

2. Задача 2. Найти скорость.

С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, а другой на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км.

Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75 % скорости другого.

Ответ: 800 км/ч; 600 км/ч.

3. Арабская задача.

На разных берегах реки растёт по пальме. Высота одной - 30 локтей, другой - 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм - 50 локтей.

на верхушке каждой пальмы сидит птица. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность между пальмами. Птицы кинулись разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба?

Ответ: 20 локтей.

4. Задача индийского учёного Бхаскара Акария (1114 г. )

На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен перпендикулярно течению) Определить высоту тополя.

Ответ: 8 футов.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)