Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Уравнения с одной переменной

Равносильность уравнений.

Процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравнение, решения которого можно найти известным способом. Но чтобы эти решения были решениями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получались уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называют равносильными.

Определение: Два уравнения называются равносильными, если их множества решений равны.

Теорема: 1. Пусть уравнение f (x) = g (x) задано на множестве Х и h(x) –выражение, определённое на том же множестве. Тогда уравнение f(x)= g(x) (1 ) и f(x)+h (x)= g(x)+h(x) (2) равносильны на множестве Х.

Доказательство: Обозначим через Т1 множество решений уравнения (1), а через Т2 уравнения (2), тогда (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2. Но чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т1 является корнем уравнения (2) и наоборот, любой корень из Т2 является корнем уравнения (1).

Пусть число а- корень уравнение (1). Тогда аЄТ1 и при подстановке в (1) обращается в истинное числовое равенство f(a)=g(a), a h(x) обращается в числовое выражение h(a). Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a)=g(a) числовое выражение h(a).

f (a) + h(a) = g(a) +h(a)

Это означает, что число а является корнем уравнения (2), т. е. Т1 Т2.

Пусть число b- корень уравнения (2). Тогда bЄ T2 при подстановке в уравнение обращает его в истинное числовое равенство f(b)+h(b)=g(b)+h(b). Прибавим к обеим частям этого равенства, числовое выражение - h(b). Получим истинное числовое равенство f(b)=g(b), которое говорит о том, что число b- корень уравнения (1). Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и корнем уравнения (1), т. е. Т2 Т1.

Следствия из теоремы:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое- либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2: Пусть уравнение f(x)=g(x) задано на множестве Х и h(x)- выражение, определенное на том же множестве и не обращающееся в нуль ни при каких значениях х из множества Х. Тогда уравнения f(x)=g(x) и f(x)*h(x)=g(x)*h(x) равносильны на множестве Х.

Следствие из теоремы:

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное исходному.

Решим уравнения:

1- х = х , хЄ R выясним, какие теоретические положения при этом

3 6 были использованы.

Ход решения:

1. Приведём выражение стоящие в левой и правой частях уравнения к общему знаменателю: 6-2х = х.

2. Отбросим общий знаменатель: 6-2х=х (по теореме 2)

3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения:6=х+2х (следствие из теоремы 1 и теорема 1)

4. Привели подобные члены в правой части уравнения: 6=3х.

5. Разделили обе части уравнения на 3: х=3 (следствие из теоремы 2)

Множество решений состоит из одного числа 2.

Возьмем уравнение х (х-1)=2х, XЄ R

Если делить обе части уравнения на х, получим х-1=2, тогда х=3.

Но это не верно, так как х=0 тоже корень.

Произошла потеря корня. Дело в том, что уравнение х-1=2 не равносильно уравнению х(х-1)=2х на множестве действительных чисел, так как получено из последнего умножением на выражение 1/х, которое определено не для всех действительных чисел. То есть нами не выполнено условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Ход решения:

1. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х(х-1)-2х=0 (следствие из теоремы 1)

2. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х-3)=0

3. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х=0 или х-3=0.

4. Перенеся число 3 в правую часть второго уравнения, получаем: х=0 или х=3 (следствие из теоремы 1). Выражение -2х переносим в правую часть уравнения:6=х+2х. ( 6

Пусть даны 2 уравнения (1) f1(х) =g1(x) и f2(x) =g2(x) (2)

Если известно, что все корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2),то про уравнение (2) можно сказать, что оно следует из уравнения (1) или что уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Если же уравнение (2) имеет корни, не удовлетворяющие уравнение (1), то они и будут посторонними для уравнения (1). Например, 5х-15 =0

(х+2)(х-3)

Умножим обе части уравнения на (х+2)(х-3) и получаем 5х-15=0, откуда х=3. Но при х=3 знаменатель дроби 5х-15 =0

(х+2)(х-3) обращается в нуль и поэтому х=3 не может быть корнем уравнения, т. е. х=3 посторонний корень.

Приобретение посторонних корней менее «опасное» явление, чем их потеря.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)