Уравнения курса алгебры и начала анализа

Основной критерий обученности сегодня — это результаты ЕГЭ. Несмотря на то, что уже есть точная дата перевода ЕГЭ в штатный режим — 2009 год, единодушия в этом вопросе нет. При честном проведении ЕГЭ по нему вполне можно объективно судить об уровне знаний выпускника школы. Если ЕГЭ станет обязательным для тех, кто собирается поступать в вуз, а не для всех выпускников общеобразовательных учреждений, он действительно будет гарантией того, что ученик освоил программу средней школы. ЕГЭ в самом разгаре. Но для того, что бы сдать ЕГЭ школьной программы недостаточно. Необходимы дополнительные материалы. Именно по этому мы создали данную работу на тему «Уравнения курса алгебры и начала анализа». Учащиеся и учителя разных школ смогут получить дополнительный материал с помощью «Сетевого города».

В работе мы осуществили целенаправленное обучение решению уравнений с помощью специально подобранных упражнений, учили наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Также логически рассуждали, использовали навыки эвристического мышления.

КТО И КОГДА ПРИДУМАЛ ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ?

. Первобытнейшая мама по имени. , впрочем, у нее, наверное, и имени - то не было, сорвала с дерева 12 яблок, чтобы дать поровну каждому из своих четырех детей. По всей вероятности она не умела считать не только до двенадцати, но даже и до четырех, и уж, несомненно, не умела делить одно число на другое. Но поделила она, если этого хотела, поровну, поступая так. Сначала она дала каждому ребенку по одному яблоку, потом еще по одному, снова по одному - и тут увидела, что яблок больше нет, и никто из детей не остался обижен. Если записать эту задачу на современном языке, то получим вот что:

Пусть х - количество яблок, доставшихся каждому ребенку.

Детей всего четверо, значит 4х - общее количество яблок. По условию это количество составляет 12, отсюда:

Следовательно, х=; х=3

Получается, что мама решила задачу на составление уравнения, обойдясь, конечно, без букв, без цифр и еще каких - либо знаков.

Но ведь решила! Значит, ответить на вопрос о том, кто, где и когда решил первое уравнение, невозможно.

Задачи, сводящиеся к простейшим уравнениям, люди решали на основе здравого смысла, с того времени, как они стали людьми. А учебные задачи, изучаемые сейчас в школе, были хорошо известны еще в древнем Вавилове, в древнем Египте, в древнем Китае, в древней Индии и в древней Греции.

Примеры нескольких таких старинных задач!

Древнеегипетская задача:

Количество и его четвертая часть дают вместе 15. Найти количество.

Древнеиндийская задача:

Есть кадамба цветок

На один лепесток пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут ж е росла вся в цвету сименгда,

И на ней третья часть поместилась.

Разность их ты найди, трижды их ты сложи,

На кутай этих пчел посади.

Лишь одна не нашила себе места нигде,

Все летала то взад, то вперед

И везде ароматом цветов наслаждалась.

Назови теперь мне, посчитавши в уме

Сколько пчелок всего здесь собралось.

Старинная русская задача:

Вообразил некто некоего учителя: « сколько имеешь учеников у себя, так хочу отдать сына к тебе в училище ». Учитель ответил: « если ко мне придел учеников еще столько же, сколько имею, и пол - столько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100 ». Сколько было у учителя учеников?

Во всех приведенных задачах решение выполняется по одинаковой программе:

В-первых, во всех случаях неизвестное обозначается какой-то буквой, и условие задачи записывается в виде уравнения. Интересно, кто и когда придумал это впервые?

Во-вторых, для упрощения уравнения при его решении мы переносим его члены из одной стороны в другую. Кто и когда придумал этот интересный прием?

В-третьих, во всех случаях в результате преобразований уравнения записывались в виде ах = b, после чего, оставалось разделить правую часть на коэффициент при неизвестном.

Тут, пожалуй, вопросов не возникает – это ведь тот самый случай, когда a ребят, съели b яблок, в нем разбиралась еще первобытная мама.

И так, нам надо бы ответить на два первых вопроса.

Еще древние египтяне для удобства рассуждения придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но так как у них не было еще знаков равенства и знаков действий (вроде нашего плюса и минуса), то записывать уравнения они, конечно, не умели. Первый по - настоящему серьезный шаг в этом направлении сделал замечательный александрийский ученый Диофаний, использовавший в своем творчестве достижения египтян, вавилонян и греков.

Жил Диофаний в III в. н. э. , в его жизни было очень много интересных открытии связанных с уравнениями.

Самое интересное у Диофанта – решение неопределенных уравнений.

И второе, не менее интересное – Диофант придумал обозначение для неизвестных.

Во времена Диофанта языком науки был греческий. Но греки еще не знали цифр и обозначали число при помощи своего алфавита. Первые девять букв: α (альфа), ß ( бета ), ( гамма ),. , обозначали цифры от 1 до 9 ; следующие девять: (йота), ( карпа ),. , обозначали числа от 10 до 90; следующие девять: (рое ), (сигма),. , обозначали числа от 100 до 900. Чтобы не ошибиться и не принять число за букву, над буквами, обозначающими число, ставили черточку. Всего букв в алфавите было 28, одна из них была особой, она обозначалась - S (сигма концевая) ставится в конце слов и числового значения не имеет.

Также Диофант придумал знак равенства, вместо этого полного слова «равно» он писал LО - две первые буквы слова LOOS ( « исос» -равный).

Диофант придумал знак и для вычитания - им служила буква (пси), только перевернутая, упрощенная по форме. Вот так она выглядела:

Например уравнение:

3х2 - 10х=13

Диофант записал бы так:

Итак, вспомним теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, для уравнения:х2 + рх + q = 0

Справедлива система равенств: х1+х2=-р х1*х2=q

Справедлива и теорема, обратная теореме Виета:

Если сумма двух чисел равна р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями приведенного уравнения.

Виет впервые догадался обозначить буквами не только неизвестные, но и коэффициенты npu них. Какой огромный шаг означало это.

Ведь если не использовать букв для обозначения коэффициентов уравнения, то записать даже несложную формулу для его решения было бы довольно сложно.

Но что же в интересующем нас вопросе можно извлечь из теоремы Виета. Модуль произведения всех корней уравнения равен модулю свободного члена.

Таким образом, если корни уравнения - целые числа, то они должны быть делителями свободного числа. Проверим сначала это для квадратного уравнения.

Пусть х2 + 5х - 6= 0

Число 6 делится + 1; +2; + 3; + 6.

Если корень данного уравнения - целое число, то он, конечно, есть один из перечисленных делителей. Начнем проверку: не служит ли корнем число 1 ?

Вычисляем: 12 +5 * 1 - 6=1 +5- 6=0!

Но - 6 : 1 = - 6, значит, второй корень и должен быть равен -6.

Точно: (-6)2 + 5 (-6) - 6=36 - 30 - 6 = 0!

И не надо ни каких формул!

А для третьей степени? Возьмем уравнение с третьей степенью: х3 +2х2 -5х-6 = 0 по теореме Виета получается, что если корни этого уравнения целые числа, то они должны принадлежать множеству ± 1; ± 2; ±3;

± 6. Но проверять это, последовательно подставляя числа, довольно скучная задача.

Лучше применить способ, тоже следующий из теоремы Виета, но несколько иной.

Произведение может быть равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. В данном уравнении справа ноль, а слева многочлен. Существует три известных способа разложения на множители: использование формул здесь явно не годится, вынесение общего множителя за скобку - но в данном случае такого множителя нет, и, наконец, способ группировки.

Попробуем применить этот способ, сделав так: хз + 2х2 -5х - 6 = х з + (3х2- х2) - Зх - 2х - 6 =

= х2 (х + 3) - х (х + 3) - 2 (х + 3) =(х + 3) (х2 - х -2)=

= (х + 3) (х2+ х - 2х - 2) = (х + 3) (х (х + 1) - 2 (х + 1)) =

=(х+3) (х+1) (х-2)

Следовательно, исходное уравнение равносильно такому:

(х+З) (х+1) (х-2) =0

У этого уравнения три корня: х1= -3; х2 = -1; х3 = 2 если воспользоваться теоремой Виета, то можно заметить «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения на множители появились числа, - делители свободного члена.

Ясно, что сразу может и не получиться - ведь не все делители свободного члена являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще - ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

УРАВНЕНИЯ И ГРАФИКИ

При изучении уравнений возможны два основных направления для наших размышлений: первое - увеличение степени уравнения, второе увеличение количества неизвестных.

Например: х + у = 15перенесем в этом уравнении х в правую часть: у = - х + 15; у = 15 - х.

Функция вида у = k х + в - называется линейной функцией.

Графиком этой функции служит прямая областью определения - множество всех известных нам чисел, областью значений - тоже множество всех известных нам чисел.

Но иногда получается, что одно уравнение с двумя неизвестными имеет не одно, и не два, а бесконечное множество решений. Что из этого следует? Об одном факте нам известно: уравнения с двумя неизвестными имеют своим графиками линии на плоскости.

Приведем примеры некоторых из них: y = или xy = k – гипербола, н. п. y =

Так же в пример можно привести еще два графика таких как:

1. у=ах2 + вх + с – парабола, н. п. у = 2х2 + 4х – 1

2. y2 + x2 = r 2 – окружность, н. п. х2 + у2 = 4

Заметим, что в случае, когда оба неизвестных (теперь удобней говорить не «неизвестные», а «переменные») входят в уравнение первой степени, график - всегда прямая.

Если хотя бы одна переменная или обе они входят в уравнение во второй степени (второй степенью будет также и тот случай, когда имеется произведение двух переменных, каждая из которых в первой степени), то получается гипербола, парабола, или окружность.

Существуют ли еще какие-нибудь кривые кроме этих? Какими уравнениями они описываются?

На эти вопросы можно ответить с помощью нового раздела математики: с одной стороны это вроде бы геометрия, ведь речь идет о линиях, а с другой стороны вроде бы алгебра, так как речь идет об уравнениях.

И так, этот раздел изучается во многих высших учебных заведениях и называется аналитической геометрией.

Для решения задачи нам понадобится знание теоремы Пифагора, понимание устройства системы координат.

Задача:

Построить график кривой, уравнение которой х2 у = 4 (2 - у )

Сначала нужно преобразовать уравнение так, чтобы получить удобный для вычисления вид: y

Преобразование уравнения очень важно для облегчения вычислений. Областью для определения записанной функции служит множество всех чисел. Переменная х входит в уравнение только во второй степени, то равным по модулю, но противоположным по знаку значением этой переменной будут соответствовать равные значения функций. Значит, для отрицательных значений переменной х не надо выполнять специальных вычислений. Теперь нужно составить таблицу значений функции.

Значения функции хZ у = 4 (2 - у)

х 0 +1 +2 +4 +6 +14

х 0 1 4 16 36 196

х+4 4 5 8 20 40 200

y 2 1,6 1 0,4 0,2 0,04

Этих данных вполне достаточно, чтобы построить график кривой.

Нужно обратить внимание, на то, чтобы значение переменной х, удобные для выполнения вычисления были.

Рис. 5. График функции

Посмотрев на этот график сразу видно, что это не прямая, но это и не парабола, и не гипербола, и тем более не окружность. Получившаяся кривая называется локоном Аньези. Такое необычное название дано этой кривой в честь итальянской женщины - математика Марии Гаэтаны Аньези (1718 - 1799).

Но не только графиками интересны уравнения с двумя переменными. У нас есть повод задуматься над таким вопросом: из уравнения у = - х + 15 следует, что переменная х может принимать любые значения, а вслед за ней соответственно тоже любые значения может принимать и переменная у. Любые ! Но если в задаче говорится о числе людей, или о числе животных, то это самое число не может быть дробным или тем более отрицательным ! Во многих задачах это подразумевается, но в записях х + у = 15 об этом ничего не сказано. А между тем зная это дополнительное условие, иногда можно обойтись и без второго уравнения, получив вполне удовлетворяющие результаты из одного уравнения с двумя переменными.

Вот еще один пример:

На складе имеются гвозди по 16, 17, 40 кг (рис. 6). Может ли кладовщик выдать 100 кг. гвоздей не вскрывая ящики?

Можно попробовать решить задачу, составив уравнение обычным путем. И так, допустим, что задача решена: ящиков по 16 кг. будет х штук, ящиков по 17 кг. будет у штук и по 40 кг. будет z штук. Всего выдано 100 кг. , отсюда уравнение

16х + 17у + 40 z = 100

Каковы бы небыли переменные х, у и z no условию сказано, что переменными должны быть целые числа, но это невозможно.

Но можно рассуждать и так:

Ящиков по 40 кг. не может быть больше двух, ибо 40. 3 =120, это больше чем надо. И два ящика тоже быть не. может, ибо 40. 2 = 80, 100 - 80 = 20, а 20 кг. можно набрать вскрыв хотя бы один ящик.

Может быть, взять один ящик по 40 кг. , а оставшиеся 60 кг. набрать комбинируя ящики по 16 и 17 кг. : если взять один ящик по 17 кг. , то останется 43 кг. и набрать их ящиками по 16 кг. невозможно; если взять два ящика no 17 кг. , то 60 - 17. 2 = 26 и целых ящиков по 16 кг. не получится; если же взять три ящика по 17 кг. , то останется 9 кг. , которые придется выдавать, вскрыв какой-нибудь ящик. Получается, что ящики по 40 кг. нам вовсе не нужны. Если задача имеет решение, то комбинировать придется ящики только по 16 и 17 кг. , значит, получится уравнение:

16х+17х=100

100 кг. не делится ни на 16,ни на 17, и, значит, надо посмотреть, что будет получаться, если из 100 вычитать 17,17*2,17*3,17*4,17*5 и т. д. Если разность будет делиться на 16,то задача имеет решение, если нет - кладовщику придется вскрывать хотя бы 1 ящик. 83 на 16 не делится, 66 - не делится,49 - не делится, но 32 = 16*2,и задача решена: 17*4 + 16*2 = 100, т. е. надо выдать 4 ящика по 17 кг. и 2 ящ. по 16 кг. Это решение единственное, т. е. других вариантов нет.

Можно было бы, увидев, что ящики по 40 кг для решения задачи не нужны, noйmu дальше другим путем. Если взять 6 ящиков по 16 кг. т. е. подобрать такое число, делящееся на 16,которое ближе всего к 100,то окажется, что до 100 не хватает 4 кг. , значит, 4 ящика из этих 6 надо заменить 4 ящиками по 17 кг. и получится тот же результат.

Задач, похожих на эту, очень много, и многие из них имеют практическое значение. Соответствующие уравнения могут иметь неизвестные не только в первой степени, но и в любой другой. Да и вопросы, вытекающие из дополнительных условий, могут оказаться самыми разнообразными. И опять приходим к новому разделу математики. Этому положил начало Длофаний. Он рассматривал уравнения, которые сегодня мы записали бы так: ах + bх=с а, b и с в этом уравнении являются целыми числами, и ответ должен быть дан только в целых числах, другими словами, это уравнение полагалось «решить в целых числах». Такие уравнения теперь называют «диофантовыми», раздел математики, изучающий их, называют «диофантовыми анализами», в свою очередь, Диофантов анализ является частью исключительно – интересного раздела современной математики-теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения дофантовых уравнений.

«диофантовыми», раздел математики, изучающий их, называют «диофантовыми анализами», в свою очередь, Диофантов анализ является частью исключительно – интересного раздела современной математики-теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых уравнений.

РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Два уравнения f1(х) = g1(х) и f2(х) = g2(х) называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решения.

Из определения равносильности следует, что вместо того, что бы решать данное уравнение, можно решать уравнение ему равносильное.

Понятие равносильности обладает свойством транзитивности, т. е если уравнение f(х) = g(х) равносильно уравнению а (х) = р (х) и уравнение а (х) = в (х) равносильно уравнению т (х) = р (х), то уравнение [(х) =g(х) равносильно уравнению т(х) =р(х).

Замена уравнения ему равносильным уравнением или замена уравнения ему равносильной совокупностью уравнений (неравенств, систем) называется равносильным переходом.

Один из примеров равносильного уравнения.

Пример 1. а) уравнение х=1 равносильно уравнению =1, так как число 1 является корнем каждого уравнения, а других корней ни одно из этих уравнений не имеет; б) уравнение х(х-1) = 0 и х(х-1)(х-2)=0 не являются равносильными, так как число 2 является корнем одного уравнения и не является корнем другого уравнения.

В определении равносильности двух уравнений ничего не говорится об ОДЗ этих уравнений. Так, приведенный выше пример показывает, что эквивалентные уравнения могут иметь различные области допустимых значений: в n. а) уравнение х=1 имеет в качестве ОДЗ множество всех действительных чисел, в то время как уравнение =1 – множество неотрицательных действительных чисел. Пример б) показывает, что, хотя ОДЗ уравнений (множество всех действительных чисел) совпадает, но уравнения могут и не быть равносильными.

При решении уравнений вместо понятия равносильности уравнений часто пользуются понятием равносильности уравнений на множестве: два уравнения называются равносильными на множестве А, если совпадают множества всех их корней, принадлежащих множеству А, или они оба не имеют решений на этом множестве.

Уравнения могут не быть равносильными, но быть равносильными на некотором множестве. Примером могут служить уравнения х=1 и х =1 которые равносильны на множестве положительных чисел, но не являются равносильными.

Пример 2. Являются ли уравнения равносильными? x + 7 + = 8 – x + и х + 7 = 8 – х

Решение:

Второе уравнение получено из первого уравнения прибавлением к обеим его частям одного и того же выражения - , которое не определено при х=1/2. Это означает, что число 1/2 не может быть корнем первого уравнения, но может быть корчем второго. Легко проверить, что число ½ является корнем второго уравнения.

+ 7 = 8 - ;

И так, корень второго уравнения не является корнем первого уравнения, Следовательно, данные уравнения не являются равносильными.

Пример 3. Являются ли уравнения равносильными?

= и х2 + х – 5 = х – 1

Решение:

Множество всех корней второго уравнения состоит из х1=2; и х2-2.

-2- не принадлежит ОДЗ и не может быть корнем, эти уравнения не равносильны.

Второе уравнение получено из первого возведением в квадрат, поэтому второе уравнение есть следствие первого. При этом данные уравнения равносильны на ОДЗ первого уравнения.

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

По определению:

а=а, если а>0

а>-а, если а<0

При решении уравнения, содержащего знак абсолютной величины (знак модуля), как правило, следует разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знакам модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве уравнения записать без знака модуля и решать на этом множестве. Объединение множеств решений, найденных на всех частях ОДЗ уравнения, составляет множество всех решений уравнений.

Простейшими уравнениями с модулями являются уравнения вида f ()= g (х) где f(х) и g(х) - некоторые функции.

Пример 1. Решить уравнение х2 - 5 х +6=0

Решение:

Исходное уравнение равносильно совокупности систем

Уравнение х2 -5х+6=0 имеет два решения: х1=2; х2 =3, каждое из которых неотрицательно; поэтому числа 2 и 3 являются решением первой системы совокупности. Уравнение х 2 +5х+6=0 имеет решение х3=-2, х4=З,которые являются решением второй системы; т. к. х3<0 и х4<0.

Следовательно, множество всех решений данного уравнения состоит из четырех: -2;2;-З;3.

Заметим , что данное уравнение можно решить, используя метод замены неизвестного. Положим t = х.

Тогда данное уравнение можно записать следующим образом : t2 -5t+6=0 (поскольку х2 = х2 =х2). Решением этого уравнения являются два положительных числа: 2 и 3; поэтому исходное уравнение равносильно.

Пример 2. Решить уравнение х=х2 +х-2

Решение: данное уравнение равносильно совокупности:

Уравнение х = х 2 +х-2 имеет корни х1= ; х2 = - из которых решением первой системы является число. Уравнение -х=х 2 +х-2 имеет два корня: х3=-1- и х4=-1+. Т. к. -1-<0 и-1+ >О, то решением второй системы совокупности является число (-1; - ). Данное уравнение имеет два корня (-1;

Приведем два способа замены уравнения совокупностью систем:

f (х) = g(х)

I способ: Уравнение равносильно совокупности систем:

II способ: Уравнение равносильно совокупности систем:

Если в уравнении функция f(х) имеет более простой вид, чем g(х), то целесообразно уравнение заменять первой совокупностью систем.

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Иррациональные уравнения - уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня (радикала). Отметим, что:

1. Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

3. Функции у= х и у= являются возрастающими на своей области существования.

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

Пример 1. Доказать, что уравнение не имеет решений: а) =-2

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

б) + = 0

Левая часть исходного уравнения определена при х=- 2. При каждом таком х величина неотрицательна, а величина положительна. Следовательно, их сумма всегда больше нуля. Поэтому уравнение решений не имеет.

Выражение определено при х 4, а выражение определено при х 6. Следовательно не существует такого х, при котором оба эти выражения имеют смысл. Поэтому уравнение решения не имеет.

Выражение определено при х -1, и оно неотрицательно. При таких х верно неравенство х-5< 0; поэтому выражение отрицательно. Левая часть уравнения неотрицательна, а правая – отрицательна. Поэтому данное уравнение решения не имеет.

д)5 - 3 + = 4

При х<0 не имеет смысла выражение 5, при х>0 не имеет смысла выражение 3; а при х=0 не имеет смысла выражение ;следовательно, левая часть уравнения не имеет смысла ни при каких значениях х. Поэтому уравнение не имеет решения.

е) – =

ОДЗ уравнения определяется системой

Из которой находим: х 3.

При любом х справедливо неравенство х – 3 < х + 9; поэтому при х3 верно неравенство т. е. выражение – отрицательно. В то же время на ОДЗ исходного уравнения выражение положительно. Поэтому уравнение не имеет решения.

Решая систему неравенств

Находим ОДЗ уравнения х 0

На ОДЗ уравнения имеем и , т. е. его левая часть не меньше 3,а правая меньше 3. Поэтому уравнение не решается.

Решая систему находим ОДЗ уравнения: х<0

При х< 0 верно неравенство 0 т. е. неравенство следовательно, и неравенство -

При х<0 выражение положительно справедливо неравенство. Таким образом на ОДЗ уравнения его левая часть меньше -1, а правая больше -1. Поэтому уравнение решения не имеет.

Рассмотрим еще одно уравнение:

1. Сделаем замену: y = 3х

= 2 – 3у

Возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим:

72у – 23 = 4 – 12у + 9у2

72у – 23 – 4 + 12у – 9у2 = 0

- 9у2 + 84у – 27 = 0

3у2 – 28у + 9 = 0

D = 784 – 1008 = 676 y1 = = y2 = = 9 y1 = y2 = 9

Выполним проверку этих корней:

= 2 – 3 * = 2 – 3*9

У = 9 – лишний корень, значений у =.

Возвратимся к замене:

3х = 3-1 х = -1

Ответ: х = -1

При решении этого уравнения имеет место достаточно типичная ситуация 6 уже после первого шага – замены неизвестного, мы получаем алгебраическое уравнение и вновь возвращаемся к показательной функции уже в самом конце и на уровне элементарного уравнения.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Решение показательных уравнений основано на свойстве степеней: две степени с одним и тем же положительным и отличным от единицы основанием равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Используя это свойство, уравнение ах = b где а>0 ,а1, b>0, следует решать так: ах = b ах= х =1og а b

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к одному основанию.

Пример 1. Решать уравнение

4х = 82х-3

Решение: Поскольку

4х = (22)Х = 22х, 82х-3 = (23)2х-3 = 26х-9; то 22х = 26х-9;

2х = 6х-9; х = = 2

Пример 2. Решить уравнение

(0,4) х-1 = (6,25)6х-5

Решение: Поскольку

(0,4)х-1 = х-1, (6,25)6х-5 = 6х-5 = 12х-10 =10-12х; х-1 = 10-12х; х=

Пример 3. Решить уравнение

52х-1-3*52х-1=550

Решение: Вынося в левой части уравнения выражение 5 за скобки, получаем

52х-1(5 2 -3) =550; 52х-1 =52 ; 2х-1=2; х= =1

Пример 4. Решить уравнение

( -7,2+3,9-9) = 0

Решение: Область допустимых значений уравнения определяется условием 5-х 0 т. е. х5. При таких значениях х уравнение равносильно совокупности уравнений:

= 0; -7,2+3,9 = 9

Из первого уравнения находим х1 =5. Для решения второго уравнения преобразуем его правую часть: 9= 32 * = 32,5. Таким образом, второе уравнение совокупности равносильно уравнению х2 -7,2х+3,9=2,5 т. е. х2 -7,2х +1,4=0

Отсюда находим х2=; х3=7. ОДЗ уравнения принадлежит только число

Следовательно, решением уравнения были числа 5 и

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Решение простейшего логарифмического уравнения

= b; а; а1 основано на следующем важном свойстве логарифмов: логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному и отличному от единицы основанию раны тогда и только тогда, когда равны их числа.

Для уравнения loga х = в из этого свойства получаем: х=аb - единственный корень.

Для уравнения вида loga ƒ (х) = b; а>0; а 1 получаем равносильное ему уравнение ƒ(х) = аb

Пример 1. Решить уравнение а)0,21 logх = -0,5

Решение: поскольку = то logх = 5log ,и следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению logх = - откуда х = =4. Число 4 - единственный корень исходного уравнения.

б) logх-1 3=2 исходное уравнение равносильно уравнению х-1= , откуда х = 1+ Число 1+ -единственный корень данного уравнения.

в) 3 = 2

ОДЗ исходного уравнения определяется системой

Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Число 3 - единственный корень исходного уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За все время существования нашего мира, люди решали задачи и уравнения, от простых до самых сложных. С течением времени менялись люди, языки и способы решения задач и уравнений.

Простейшие задачи решали еще в древнем Египте, древней Индии, древнем Вавилове.

Первые уравнения появились благодаря великому александрийскому ученому Диофанту.

Великий французский математик Франсуа Виет (1540-1603)ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. В работе рассмотрены функции, которым соответствуют различные графики. Например, графиком функции у = - является кривая, которая называется «локоном Аньези», в честь итальянской женщины - математика.

Рассмотрены все примеры имеющихся равносильных уравнений, уравнений, содержащих знак абсолютной величины, иррациональные, показательные, логарифмические уравнения.

Цель, поставленная перед нами, глубже изучить алгебру, как науку; узнать больше, чем предусмотрено школьной программой; подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ по математике в 11 классе; развивать творческое и математическое мышление, заинтересовать алгеброй, привести к «открытию» алгебраических фактов, достигнута.

Задачи, которые были поставлены: формирование диалектико-материалистического мировоззрения; продемонстрировать политехнический характер алгебры, ее прикладное направление выполнены.

Благодаря нашей работе мы смогли узнать, что алгебра нужна не только, как наука, но и для того, чтобы человек развивался интеллектуально, духовно и нравственно. С помощью алгебры открываются его способности в разных видах деятельности. Алгебра может помочь человеку сделать еще один скачок в своем развитии.