Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля

Модулем рационального числа называют расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Примеры: -3 = 3, 3 = 3, 0 = 0.

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

х=x, x>=0-x, &x<0

<<Метод промежутков>>.

1) Находят критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль.

2) Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют свой знак.

3) На каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

Объединение решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Пример 1. Решить уравнение х + 5 = 10 + х.

Решение. 1) Критические точки: х + 5 =0 или 10 + х = 0 х = - 5 х = -10.

3) * при х Euro (-infinity; -10) имеем х + 5 < 0, 10 + х < 0, поэтому получим уравнение

- (х + 5) = - (10 + х)

- х - 5 = - 10 - х

0х = -5

Корней нет, т. к. последнее равенство неверное.

* при х Euro [-10; -5) имеем х + 5 < 0, 10 + х >= 0, тогда

- (х + 5) = 10 + х

-2 х = 15 х = -7,5

Так как -7,5 Euro [-10; -5), то х = -7,5 является решением данного уравнения.

* при х Euro [-5; +infinity) : х + 5 >= 0, 10 + х > 0, х + 5 = 10 +х

Корней нет, т. к. последнее равенство неверное.

ОТВЕТ: х = -7,5.

Пример 2. Решите уравнение х - 6 - х[2] - 5х + 9 = 0.

Решение.

Критические точки: х - 6 = 0 или х[2] - 5х + 9 =0 х = 6 уравнение не имеет корней, т. к. Д<0.

Разобьём числовую ось значений х найденными критическими точками на промежутки и определим на них знак каждого выражения:

(-infinity; 6)

[6; +infinity) х - 6

+ х[2] - 5х + 9

Решим полученные уравнения:

-(х -6) = х[2] - 5х + 9 или х - 6 = х[2] - 5х + 9 х2 - 4х + 3 = 0 х[2] - 6х + 15 = 0 х1 + х2=4,х1 :: х2=3; Д =36 - 60 = -24, х1 =3, х2=1; Д < 0, корней нет.

3 Euro (-infinity; 6),

1 Euro (-infinity; 6).

ОТВЕТ: х =1 или х = 3.

<<Графический метод>>.

Чтобы решить уравнение графически, надо построить в одной системе координат графики двух функций и найти абсциссы их точек пересечения (если они есть). Эти значения и будут являться решением уравнения.

При построении графиков функций можно использовать алгоритмы построения графиков элементарных функций, а можно использовать теорию преобразования графиков элементарных функций.

Пример 3. Решить уравнение х + 2 = 3 - х.

Решение. Построим графики функций: у = х + 2 g = 3 - х = 3-х, если 3-х>=0;х-3, если 3-х<0.

Этот график можно получить g = 3 - х g = х -3 из графика функции у = х

Сдвигом по оси Ох влево на

2 единицы

Так как абсцисса точки пересечения графиков функций 0,5, то х = 0,5 является решением данного уравнения.

ОТВЕТ: х = 0,5.

Пример 4. Решить уравнение 1 -х - 2х + 3 + х + 4 = 0.

Решение. Решим данное уравнение графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций 1) у = 1 -х - 2х + 3 ; 2) g = -х-4.

1) у = 1 - х - 2х + 3.

Критические точки: 1 - х= 0 и 2х + 3 = 0 х = 1 х = -1,5.

(-infinity; -1,5)

[-1,5; 1)

(1; +infinity)

* При х Euro (-infinity; -1,5) имеем: у = 1 - х + 2х + 3, т. е. у = х + 4; х

* При х Euro [-1,5; 1) имеем: у = 1-х - 2х - 3, т. е. у = - 3х -2; х

* При х Euro [1; +infinity) имеем: у = -1 + х - 2х - 3, т. е. у = -х -4: х

Следовательно, у =1 - х - 2х + 3 = х+4, если х Euro -infinity; -1,5, - 3х -2, если х Euro -1,5; 1, -х -4, если х Euro 1; +infinity.

2) g = -х-4

4) Построим графики функции:

4) Так как графики функций у =1 - х - 2х + 3 и g = -х-4 пересекаются в точке с абсциссой х = -4 и совпадают при х >= 1, то решением являются все значения х >= 1 и х = 4.

ОТВЕТ: х >= 1, х= -4.

Использование определения модуля.

Если имеем уравнение вида f(х) = g(х), то, на мой взгляд, удобнее применять определение модуля и перейти к равносильным системам: fх>=0,fх=gх; или fх<0,-fх=gх.

Пример 5. Решить уравнение х -7 = 22х-8 - 3.

Решение. х-7>=0, х-7=22х-8 - 3; или х -7<0, -х-7=22х-8 - 3; х>=7, х-4=22х-8 ; х <7, -х+10=22х-8 ; х>=7, х-42=(22х-8 )2; х <7, 10-х2=(22х-8 )2 ; х>=7, х-42=4(2х-8 ); х <7, 100-20х+x2=4(2х-8) ; х>=7, х-42-42х-8 =0; х <7, x2- 28х+132=0 ; х>=7, х-4 (х-4)-8 =0; х<7,х=6, х=22; х>=7, х-4 (х-12)=0; х = 6.

х>=7,х=4, х=12; х = 12.

Подставив найденные значения х в данное уравнение, убеждаемся, что х = 12 ; 6 являются корнями уравнения (проверка необходима, т. к. было дано иррациональное уравнение).

ОТВЕТ: х = 6 или х = 12.

Пример 6. Решите уравнение 1 - 3х 5x2+ 7х-2 = 1 - 3х2.

Решение. х != 13, так как по определению показательного уравнения основание степени строго больше нуля.

1-3х >0, (1-3х) 5x2+ 7х-2=(1-3х )2 ; или 1-3х <0, (3х-1) 5x2+ 7х-2 = (3х-1)2 ; х >13, 5x2+ 7х-2 =2; х <13, 5x2+ 7х-2 =2; х >13, 5x2+ 7х-2=4; х <13, 5x2+ 7х-2=4; х>13,х=35, х=-2; х<13,х=35, х=-2; х=35 ; х = -2.

Проверкой убеждаемся, что оба корня являются решением данного уравнения.

ОТВЕТ: х=35 или х = -2.

Неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.

Пример 7. Решить неравенство 3х-2,5 <= 2.

Решение. При решении неравенств с модулем со знаком меньше удобно переходить к двойному неравенству, что облегчит его решение:

3х-2,5 <= 2;

-2 <= 3х - 2,5 <= 2 +2,5;

0,5<= 3х <= 4,5 /3;

16 <= х <= 1 12.

ОТВЕТ: [ 1 6 ; 1 1 2 ].

Пример 8. Решить неравенство х[2] - 5х-3 - х < 2.

Решение.

5х -3 >=0, x2-5х+3-х <2; или 5х -3 <0, x2+5х-3-х <2; х >=35, x2-6х+1 <0; х <35, x2+4х-5 <0; х >=35 , х- 3+22(х+ 3+22 )<0; х <35, х+5( х-1) <0;

х Euro [ 35 ; 3+22 ) ; х Euro ( -5; 35 );

х Euro [ 35 ; 3+22 ) U ( -5; 35 ) = (-5; 3+22).

ОТВЕТ: (-5; 3+22).

При решении уравнений и неравенств, содержащих <<модуль в модуле>> нужно, как правило, сначала освободиться от внутренних модулей, а затем раскрыть оставшиеся модули. Рассмотрим пример.

Пример 9. Решить неравенство 2х-1x2- х - 2 > 12.

Решение.

Найдём ОДЗ: х[2] - х - 2 != 0 х[2] - х - 2 = 0 х1 + х2=1,х1 :: х2=-2; х1 =2, х2=-1;

х Euro (-infinity; -1) U (-1; 2) U (2; +infinity).

Сначала раскроем <<внутренний>> модуль, при этом получим две системы неравенств: х >=0, 2х-1x2- х - 2 > 12; или х <0, -2х-1x2- х - 2 > 12.

Далее при раскрытии оставшегося модуля каждая система неравенств будет равносильна двум системам, поэтому рассмотрим четыре системы неравенств:

А. х >=0, 2х-1>=0, 2х-1x2- х - 2 > 12; В. х >=0, 2х-1<0, 1-2хx2- х - 2 > 12;

С. х<0, -2х-1>=0, -2х-1x2- х - 2 > 12; D. х<0, -2х-1<0, -2х-1x2- х - 2 > 12.

Решим каждую систему уравнения:

А. х >=0, 2х-1>=0, 2х-1x2- х - 2 > 12; х >=0, х>=12, 22х-1- (x2- х-2) > 0;

х>=12, 4х-2-x2+х+2 >0; х>=12, -x2+5х >0;

х>=12, -х (х-5) >0;

х Euro [ 12 ;5).

В. х >=0, 2х-1<0, 1-2хx2- х - 2 > 12; х >=0, х<12, 21-2х- (x2- х-2) > 0;

0<=х<12, 2-4х-x2+х+2 >0; 0<=х<=12, -x2-3х+4 >0;

0<=х<12, x2+3х-4 <0; 0<=х<12, х+4х-1<0;

х Euro [ 0;1 2 ).

С. х<0, -2х-1>=0, -2х-1x2- х - 2 > 12; х<0, х<=-12, 2-2х-1-( x2- х-2)> 0; х<=-12, -4х-2-x2+х+2>0; х<=-12, -x2-3х>0; х<=-12, -х(х+3)>0;

х Euro ( - 3; - 1 2 ].

D. х<0, -2х-1<0, 2х+1x2- х - 2 > 12; х<0, х>-12, 22х+1- x2- х-2> 0;

-12<х<0, 4х+2-x2+х+2>0; -12<х<0, -x2+5х+4>0;

-12<х<0, x2-5х-4<0; -12<х<0, х-5+ 412 х-5- 412<0;

х Euro (- 1 2 ;0 ).

х Euro [ 12 ;5) U [ 0;1 2 ) U ( - 3; - 1 2 ] U (- 1 2 ;0 ) = (-3; 5).

С учётом ОДЗ получим решение данной системы неравенств: х Euro (-infinity; -1) U (-1; 2) U (2; +infinity)х Euro -3; 5; х Euro (-3; -1) U (-1; 2) U (2; -5).

ОТВЕТ: (-3; -1) U (-1; 2) U (2; -5).

Системы уравнений и неравенств.

Рассмотрим два способа решения систем уравнений и неравенств: графический и аналитический.

Пример 10. Решите систему уравнений: х-1+ у-2=3, х-1- у-2=1.

Решение. Построим графики уравнений:

1) х-1+ у-2=3; у-2 = 3 - х-1;

А. у >=2, у-2=3- х-1 ; или В. у <2, 2-у=3- х-1 ; у >=2, у=5- х-1 ; у <2, у= х-1 -1;

Каждая из двух систем равносильна ещё двум системам:

А. у >=2, х-1 >= 0, у=5-х-1; или у >=2, х-1 < 0, у=5+х-1; у >=2, х >= 1, у=-х+6; у >=2, х< 1, у=х+4; х

В. у <2, х-1 >= 0, у=х-1-1; или у <2, х-1 < 0, у=-х-1+1; у <2, х >= 1, у=х-2; у <2, х< 1, у=-х; х

2) х-1- у-2=1; у-2 = х-1 -1;

С. у >=2, у-2= х-1-1 ; или D. у <2, 2-у= х-1 -1;

у >=2, у= х-1+1 ; у <2, у=3- х-1.

Каждая из двух систем равносильна ещё двум системам:

С. у >=2,х>=1,у=х; или у >=2, х<1, у=-х+2; х

D. у <2, х>=1, у=-х+4; или у <2, х<1, у=х+2; х

ОТВЕТ: (-1;-1), (-1; -3), (3; 1), (3;3).

Пример 11. Решите систему неравенств: x2-4х <5,х+1<=3.

Решение.

x2-4х <5,х+1<=3;

-5-5, x2-4х<5, -4 <=х<=2;

x2-4х+5>0, x2-4х-5<0, -4 <=х<=2;

(х-2)2+ 1 >0, х-5(х+1)<0, -4 <=х<=2;

х-любое число, х-5(х+1)<0, -4 <=х<=2;

х-5(х+1)<0,-4 <=х<=2;

ОТВЕТ: (-1; 2].

Задания ЕГЭ по математике.

Пример 12. ( ЕГЭ 2003, вариант 343, задание В1 )

Пусть (х0; у0) - решение системы х-1- у=0,у- х-5=2.

Найдите разность х0 - у0.

Решение. х-1- у=0,у- х-5=2; х-5>=0, х-1- у=0,у-х-5=2; или х-5<0, х-1- у=0,у+х-5=2; х>=5, у= х-1, х-1-х+5=2; х<5, у= х-1, х-1+х-5=2; х>=5, у= х-1, х-1=х-3; х<5, у= х-1, х-1=-х+7; х>=5, у= х-1, х-1= x2-6х+9; х<5, у= х-1, х-1=49-14х+x2 ; х>=5, у= х-1, x2-7х+10=0; х<5, у= х-1, x2-15х+50=0; х>=5, у= х-1, х=2, х=5; х<5, у= х-1, х=10, х=5; х=5, у= х-1; система не имеет решений.

х=5, у= 2; х0 - у0 = 5- 2 = 3. ОТВЕТ: 3.

Пример 13. ( ЕГЭ 2004, вариант 313, задание В6 )

Укажите наименьшее целое число из области определения функции у = 66- 2х+3.

Решение. D(у): 6 - 2х + 3 > 0

2х+3>=0, 6-2х+3 >0; или 2х+3<0, 6+2х+3 >0;

2х>=-3, 6-2х-3>0; 2х<-3, 6+2х+3>0; х>=-1,5, -2х+3>0; х<-1,5, 2х+9>0; х>=-1,5, х<1,5; х<-1,5, х>-4,5; х Euro [-1,5; 1,5) ; х Euro (-4,5; -1,5);

D(у) = (-4,5; -1,5) U [-1,5; 1,5) = (-4,5; 1,5).

Наименьшее целое число из D(у): 4.

ОТВЕТ: 4.

Пример 14. (пробный ЕГЭ 2006, вариант 002, задание С2 )

Решите уравнение x2-8х+16 + 18+9х-2x2 = 4 - х.

Решение.

Пример 15. (дидактический материал для подготовке к ЕГЭ 2006, задание С1 )

Решите уравнение sin 2 x - 2 + 1-(cosx)2= 0.

Решение.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)