Уравнение и неравенства с параметрами

Изучения многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Найболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Задачи с параметрами часто встречаются в ЕГЭ и столь же частооказываются не посилам абитуриентам. Появление таких заданий на экзаменах не случайно ,так как с их помощью проверяется техника владения формулами элемннтарной математики,методами решения уравнений и неравенств ,умение выстрамвать логическую цепочку рассуждений и конечном итоге , уровень логического мышления учащихся. Несмотря на то, что программа по математики средней общеобразовательной школы не упоминает в явном виде о задачах с параметрами ,было бы ошибкой утверждать ,что этот вопрос никоим образом не освещается в рамках школьного курса. Целесообразно изучение уравнений с параметрами начинатьс решения простых уравнений

Например: х-а=0,ответ х=а

Подобные упражнения помогут учащимся для начало привыкнуть к параметру.

Уравнения и неравенства с параметрами.

Найдем все значения параметра а, при которых число х=2 является корнем уравнения /х+2а/х+1-а=0

/х+2а/х+1-а=0

Введем замену:

/2+2а/2+1-а=0

1) 2+2а>0

4+4а+х1-а=0

2) 2+2а<0

-4-4а+1=0 а=-3/5

Ответ:а=-5/3;а=-3/5

Найдем все значения параметра а, при которых число х=3 не является решением неравенств 2>Х+3а+Х2.

Решение:

2>Х+3а+Х2

Введем замену:

2>3+3а+Х2

1)3+3а>0

12+3а<2 а<-10/3

2)3+3а<0

-3-3а+9<2 а>4

Ответ: а<-10/3 ;a>4/3

Найдите все значения параметра а, при которых числоХ=-3 является решением неравенства 4-X-2a

Решение:

4-X-2a

Ведем замену:

4-3-2a<9

1)-3-2a>0

4+3+2a<9

2a<2 a>1

2)-3-2a<0

4-3-2a<9

-2a<8 a>-4

Ответ:a>1; a>-4.

Найдите все значения параметра а, при которых число Х=-2 является корнем уравнения x + a x+1-2a=0

Решение:

Введем замену:

-2-2-a+1-2a=0

1)-2-a>0

4+2a+1-2a=0

5- нет решения

2) -2a-a<0

-4-2a+1-2a=0

-4a-3=0

-4a=3 a=-3/4

Ответ:а=-3/4.

Найдите все значения параметра а, при которых число х=1 не является корнем неравенства 2x+a(X2+1)+3-2a=0

Решение:

2x+a(X2+1)+3-2a=0

Введем замену:

2+a2+3-2a=0

1)2+a>0

4+2a+3-2a=0

7-нет решения

2)2+a<0

-4-2a+3-2a=0

-4a-1=0

-4a=0 а=-1/4

Ответ:-1/4.

Найдите все значения параметра а, при которых число х=2 не является решением неравенства: -2

Решение:

-2

Введем замену:

-2a<2+3a-4>-2

1)2+3a>0

2+3a-4>-2

3a-2>-2

3a>0 a>0

2)2+3a<0

-2-3a-4>-2

-3a-6>-2

-3a>4 a>-4/3 Ответ:-4/3.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений {(x+2a-1)2+(y+5a-2)2=4,

{(x-3a+1)2+9y-6a+5)2=9

Решение:

Требуя найти все значения параметра а, при каждом из которых окружность с центром в точке (1-2а;2а-5) и радиусом 2 касается окружности с центром в точке (3а-1 ; 6а-5) и радиусом 3 Это возможно только в том случае, если расстояние между центрами окружности равно сумме радиусов или разности радиусов.

D2=(X1-X2)2+(y1-y2)2

(3a-1+2a-1)2+(6a-5+5a-2)2=(5a-2)2+(11-7)2

Таким образом, получаем два уравнения:

(кв. корень5а-2)2+(11-7)2=5

(кв. корень5а-2)2+(11-7)2=1

Корням первого уравнения являются числа 14/73 и 1, а второе уравнение не имеет корней.

Ответ:14/73;

Заключение.

После работы над этой темой , я ознакомилась с уравнениями и неравенствами с параметрами, научилась решать уравнения и неравенства с параметрами. Данная тема пригодится для поступления в вузы при сдаче ЕГЭ, именно поэтому темой моей работы стали параметры.