Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Теорема Пифагора, как универсальное открытие

История математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности. Время жизни Пифагора Самосского точно неизвестно: одни сообщают, что он родился в 569 г. до нашей эры, и умер в 470 г. другие же сдвигают его рождение к 580 г. , а смерть относят приблизительно к 500 г. Из жизнеописания Пифагора для нас важно, что он, по-видимому, долгое время провёл в Египте, а возможно и в Вавилоне, и что пребывание в этих странах оказало на него большое влияние. Из-за скудности этих сведений бывает трудно отличить в приписываемых Пифагору открытиях его собственные достижения от того, чему обязаны, с одной стороны, его предшественникам, а с другой — ученикам. Не случайно пифагорийский вопрос остаётся одним из самых запутанных и уж, по крайней мере, самым дискуссионным в истории науки и философии. То же самое можно сказать и по поводу теоремы, почти всюду называемой именем Пифагора (во Франции, а также в некоторых областях Германии её называют также иногда «мостом ослов»: les pontaux ànes, die Eselbrücke): Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, другие же отказывают ему и в этой заслуге. Было бы затруднительно ответить на вопрос, в чём состояло это доказательство. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид (живший около 300 г. до н. э. в Александрии) приводит в первой книге своих «Начал»; с другой стороны, Прокл, который жил от 410 или 412г. до 485 в Византии и Афинах, утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду.

Огромная слава Пифагора сослужила ему двоякую службу: сделав его имя притягательным для легенд, умножавшаяся от века к веку, она в тоже время позволила донести до нас память о реальных событиях того времени. Легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Многие знают сонет Шамиссо:

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далёкий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков

Этот рассказ о жертвоприношении, сообщаемый Диогеном,  Лаэртом  и  Плутархом, конечно вымышлен. А поэтому, увы, лишено основания и то насмешливое замечание о переселении душ, которое встречается у Генриха Гейне: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».

Можно рассказывать много чудес о Пифагоре, но главное, прославившее его, состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Пифагор был, видимо, первым, кто открыл человечеству могущество абстрактного знания. Математика становится у Пифагора орудием познания мира.

Выводы: анализ теоретического материала свидетельствует о том, что

• история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности;

• в настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором;

• часть учёных полагает, что Пифагор первым дал полноценное доказательство теоремы.

2. 3. Изучение трактовки теоремы Пифагора на этапе её возникновения в некоторых странах.

Исторический обзор мы начали с Древнего Китая. Особое внимание привлекла математическая книга Чу-пей, написанная в начале нашей эры. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

«Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4».

Кантор считает, что равенство 32 + 42 = 52, другими словами, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э. , во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора, гарпедонапты, или «натягиватели верёвок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Мы очень легко можем воспроизвести их способ построения.

У индусов, как и у египтян и вавилонян, геометрия была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около VIII века до н. э. Кантор писал: «Индийское богослужение не может обойтись без геометрических правил, так как оно связано чрезвычайно точными предписаниями. Если в алтаре есть малейшее отклонение от предписанной формы, если одно его ребро не образует с другим точно прямого угла, если произошла ничтожная ошибка в ориентации алтаря относительно четырёх сторон горизонта — божество не примет приносимой ему жертвы». Наряду с чисто ритуальными предписаниями, содержащимися в так называемых Кальпасутрах, существуют и сочинения геометрически-теологического характера, так называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к IV или V веку до н. э. , мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36 и 39 Кантор описывает способ построения следующим образом. В направлении точно с востока на запад отмечают с помощью кольев расстояние в 36 падас (падас — мера длины), называемое «праци». На кольях закрепляют концы верёвки длиною в 54 падас с узлом, заранее завязанным на расстоянии в 15 падас от одного из концов. Затем верёвку натягивают при помощи кола, продетого сквозь узел, и получают на одном из концов «праци» прямой угол. Для извлечения квадратного корня геометрическим способом даются следующие правила, основанные на теореме Пифагора:

1. Верёвка, натянутая наискось по равностороннему прямоугольнику, производит квадрат, имеющий удвоенную площадь).

2. Верёвка, натянутая наискось по прямоугольнику, производит две площади, которые производятся верёвками, натянутыми вдоль большей и меньшей стороны.

Второй случай можно проверить на треугольниках, стороны которых равны 3 и 4 единицам длины, или 12 и 5, или 15 и 8, или 7 и 24, или 12 и 35, или 15 и 36.

Первое правило выражает теорему Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников. Второе правило выводится из чертежа, который приблизительно соответствует чертежу, с которым мы ещё встретимся в дальнейшем. Нетрудно понять, что здесь действительно мы имеем дело с извлечением квадратного корня геометрическим способом, так как если a и b — стороны прямоугольника, то диагональ его выражается формулой: d =

В дальнейшем распространении математических знаний индусы играли небольшую роль, а китайцы — и того меньшую, и лишь в новейшее время мир ознакомился с обширными математическими познаниями этих народов. Путь от древности к средним векам шёл от греков через арабов.

В средние века теорема Пифагора, magister matheseos, определяла границу если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Столь же часто мы встречаемся с «Пифагором» в средневековой живописи, мозаике, геральдике.

Теорема Пифагора ещё известна как «Теорема невесты». Существуют ссылки на эту теорему у египетских и китайских мудрецов, живших до Пифагора, но, правда, не доказавших теорему строго, а также у Евклида в его научном труде «Начало». Еще её называли «теоремой нимфы» за сходство чертежа с бабочкой, что по - гречески – «нимфа». Но этим словом греки обозначали и богинь, и молоденьких женщин, а также невест. При переводе на арабский слово «нимфа» не очень удачно трансформировалось в «невесту», а не в «бабочку». По – видимому, никто не обратил внимания на чертёж. Так нежное название перекочевало в математические труды.

Рассмотрим различные формулировки теоремы Пифагора на греческом, латинском, немецком и русском языках.

У Евклида эта теорема гласит: Εν τοίς όρθογώνοις τριγωνοις τό άπό τής τήν όρθήν γωνίαν ύποτεινούσης πλευρας τετράγωνον ίσον έστι τοίς άπό ιων τήύ όρθήν γωνίαν περιεχουσων πλευρων τετραγώνοις. В дословном переводе это означает: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900г. н. э. ), сделанный Герхардом Кремонским (начало XII века), гласит: Omnis trianguli orthogonii quadratum factum ex latere subtenso angulo recto equale est coniunctioni duorum quadratorum, qui ftunt ex duobus lateribus, qui continent angulum rectum. В переводе: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

В Geometria Culmonensis (около 1400 г. ) теорема читается так: Alzo wirt dab vierkante veld, gemessen vz der lanqen want, alzo qrob alz dy behde vierkante dy do werden gemessen von den czwen wenden deb geren, dy do czufamene treten in dem rechten wynkel. В переводе это означает: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном с греческого Ф. И. Петрушевским («Евклидовых начал восемь книг, содержащие в себе основание геометрии», Санкт-Петербург, 1819), теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Вывод: таким образом, мы нашли свидетельства существования математического факта, выраженного теоремой Пифагора. Значит, эту теорему знали за много лет до Пифагора. Но, возможно, что именно Пифагор первым сумел обобщить и доказать эту теорему.

2. 4. Современные способы доказательства теоремы.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Мы думаем, что самостоятельное «открытие» доказательств теоремы Пифагора будет полезно и нам, современным школьникам. Мы рассмотрели некоторые способы доказательства теоремы.

А) Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Докажем это используя определение площади и алгебраические методы:

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника

2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 900 , а развернутый угол - 1800.

3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата.

(a+b)2 = 4 + c2; a2 +2ab + b2 = 2ab + c2; c2 = a2 + b2;

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим это доказательство более подробно. Несмотря на свою простоту, данное доказательство обнаруживает более глубокие стороны. Как не трудно видеть, существенную роль сыграло определение площади, в котором мы интуитивно положили, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Далее, используя подходящий чертёж, и элементарную алгебру нам удалось найти соотношение сторон прямоугольного треугольника. Правда, мы не доказали по - существу метрическую теорему Пифагора (соотношение длин сторон прямоугольного треугольника), мы записали то, что нам было известно уже из чертежа, что площади квадратов построенных на катетах, равны площади квадрата построенного на гипотенузе.

Вывод: большинство рассуждений доказывает геометрическую теорему: площадь квадрата построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

Б). Доказательства методом достроения.

Сущность этого метода состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяют равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры.

• доказательство Гарфилда

Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна во втором 

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

доказательство Гофмана, предложенное в 1821 г. еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник ABC с прямым углом C; отрезок BF перпендикулярен CB и равен ему, отрезок BE перпендикулярен AB и равен ему, отрезок AD перпендикулярен AC и равен ему; точки F, C, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ABF=ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

• Обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь C∈EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ.

• На рисунке 10 Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5,

6, 7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах.

Теперь докажем, что фигуры, вычитаемые в первом случае, равновелики фигурам, вычитаемым во втором случае.

• Нассир-эд-Дином (1594 г. ).

KLOA = ACPF = ACED = a2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2; отсюда  c2 = a2 + b2.

• Доказательство Энштейна основано на разложении квадрата, построенного на гипотенузе, на 8 треугольников.

Здесь: ABC – прямоугольный треугольник с прямым углом C; C∈MN; CK⊥MN; POMN; EFMN.

его преимуществом является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют исключительно треугольники. Чтобы разобраться в чертеже, заметим, что прямая CК проведена перпендикулярно прямой MN

• Доказательство Евклида.

Идея доказательства Евклида состоит в следующем: если доказать, что половина площади квадрата построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, тогда и площади большого и двух малых квадратов равны.

Упрощенное доказательство Евклида

Пусть квадрат, построенный на одном из катетов (на рисунке это квадрат, построенный на большем катете), расположен с той же стороны катета, что и сам треугольник. Тогда продолжение противоположной катету стороны этого квадрата проходит через вершину квадрата, построенного на гипотенузе. Доказательство в этом случае оказывается совсем простым, т. к. здесь достаточно сравнить площади интересующих нас фигур с площадью одного треугольника (он заштрихован) - площадь этого треугольника равна половине площади квадрата и одновременно половине площади прямоугольника

Вывод: Существует много доказательств теоремы Пифагора,  проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Мы решили продолжить искать доказательства по мере расширения собственных математических знаний.

3. Заключение.

В ходе исследования мы познакомились с теоремой Пифогора и её доказательством в учебнике 8 класса, узнали, что математический факт, выраженный этой теоремой появился задолго до самого Пифагора, и использовался на практике в разных странах в разные исторические периоды. Это доказывает, что открытие теоремы, устанавливающей зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, является неизбежным фактом. Различными были только варианты доказательств. Но в целом открытие теоремы Пифагора является важным условием развития математической науки. Таким мы предполагаем, что теорему Пифагора можно использовать для установления связи как с марсианами, так и другими неземными цивилизациями. Изучение различных вариантов доказательств данной теоремы позволяет нам надеяться на открытие собственного способа доказательства теоремы Пифагора.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)