Свойства пересечения и объединения множеств

Переход начальной школы на вариативные программы и учебные пособия по математике, возможность выбора и конструирования собственной методики обучения, задачи всестороннего развития младших школьников средствами предмета – всё это требует от учителя хорошей математической подготовки и, прежде всего, знания научных основ начального курса математики: общих идей теории множеств, бинарных отношений, функциональной пропедевтики и т. д. Учитель, который преподаёт в XXI веке, должен быть знаком с общими математическими идеями, видеть их связь с преподаваемым в школе материалом.

«Каждый при рождении получает глыбу мрамора и резец скульптора; одни таскают её за спиной всю жизнь, не прикоснувшись ни разу, другие разбивают в мелкую крошку, и лишь немногие создают произведение искусства». Эти слова Роберта Баха как нельзя лучше, на мой взгляд, отражают истинное предназначение учителя. Ведь дети в начальную школу действительно приходят с глыбой мрамора, и именно от учителя начальных классов зависит, что из них получиться: произведение искусства или россыпь мелких крошек. От точности и правильности выбранного учителем пути зависит успех большого дела.

Ребёнка необходимо учить овладению умственными приёмами. Для этого нужно создать в начальных классах такие условия, которые обеспечили бы полноценное умственное развитие детей, связанное с формированием умственных познавательных интересов, умений и навыков мыслительной деятельности, качеств ума, творческой инициативы и самостоятельности в способах решения задач.

Не секрет, что на внеклассных занятиях, которые проходят более непринуждённо, чем урок, иногда полнее раскрываются сокровенные тайники души ребёнка. А большое разнообразие форм внеклассных занятий, на которых можно использовать богатый занимательный материал различного уровня трудности, является питательной средой для формирования интереса к математике, развития математических способностей учащихся.

Кроме этого, занятия во внеурочное время по математике развивают, прежде всего, логическое мышление младших школьников: учат их мыслить, рассуждать, обобщать, сравнивать, анализировать, уметь мыслить творчески и рационально.

Учитель начальных классов первым «вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, как хорошо он сам усвоил основы курса, зависит и отношение ребёнка к изучению математики».

Учитель должен учить учащихся думать, рассуждать, сопоставлять факты, находить рациональные пути решения задач. Наиболее продуктивно это можно сделать во внеурочное время.

1. 1 Понятие множества

Теория множеств является одной из сравнительно молодых математических дисциплин. Основоположником по праву считается немецкий математик Георг Кантор.

Георг Кантор (3 марта 1845— 6 января 1918) — немецкий математик, родившийся в России. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал.

В основе теории множеств лежит понятие множества. Согласно Кантору «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Таким образом, множество рассматривалось им как собрание каких – либо предметов реального мира, обладающих общим свойством.

Все сказанное не является определением понятия множества, а всего лишь поясняет его. Множество – самое широкое понятие математики, и не может быть определено через другие, более простые понятия.

В окружающей нас реальной действительности мы имеем дело с различными множествами.

В разговорной речи термин «множество» всегда связывается с большим числом предметов. В теории множеств это не обязательно, т. к. рассматриваются и бесконечные числовые множества, и множества, содержащие три, два, один предмет, и даже множество, не содержащее ни одного предмета (пустое множество).

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита А,В,С,D,, пустое множество – символом (.

Всякое множество состоит из некоторых предметов, называемых его элементами. Элементы множества обозначают строчными буквами латинского алфавита a, b, c, d,.

Отношения между элементами и множеством выражают словами «является элементом» или «принадлежит».

а(( - элемент а принадлежит множеству А.

а(( - элемент а не принадлежит множеству А.

Множества бывают конечные и бесконечные. Бесконечными являются множества чисел, для которых приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

1. 2. Пересечение множеств

Пусть А = {1,2,3,4,5,6,12} – множество натуральных делителей числа 12 и В = {1,3,6,9,18} – множество натуральных делителей числа 18. Образуем множество, состоящих из общих элементов множеств А и В. Полученное множество {1,3,6} называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и множество В одновременно.

Обозначение:А ( В.

Данное определение пересечения можно записать в таком виде:

А ( В = {x/x ( A и x ( В}.

Если множество А и В изобразить при помощи диаграмм Эйлера-Венна, то пересечению будет соответствовать заштрихованная часть:

1. 2. А 3. А В

В ( А А ( В = В А ( В = (

Найдём пересечение множеств, заданных характеристическими свойствами своих элементов.

А – множество чётных натуральных чисел.

В – множество двузначных чисел.

А ( В – состоит из чётных двузначных чисел.

1. 3. Объединение множеств

Пусть даны множества А = {15,30,45,60,75,90} – множество двузначных чисел, кратных 15 и В = {18,36,54,72,90} – множество двузначных чисел, кратных 18.

Образуем новое множество, состоящее из элементов этих множеств. Полученное множество {15,18,30,36,45,54,60,72,75,90} называется объединением множеств А и В. Число 90 записываем один раз, так как в записи элементы множеств могут повторяться.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Обозначение:А ( В.

Определение объединения можно записать в таком виде:

А ( В = {x/x ( A или x ( В}.

На диаграмме Эйлера-Венна объединению соответствует заштрихованная часть

1. А В 2. 3.

Найдём объединение множеств, заданных характеристическими свойствами своих элементов.

А – множество чётных натуральных чисел.

В – множество двузначных чисел

А ( В – множество чётных натуральных чисел или двузначных.

1. 4. Свойства пересечения и объединения множеств

Из определений пересечения и объединения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств А, В и С.

1. А ( В = В ( А – коммутативность пересечения

2. А ( В = В ( А – коммутативность объединения

3. А ( (В ( С) = (А ( В) ( С – ассоциативность пересечения

4. А ( (В ( С) = (А ( В) ( С – ассоциативность объединения

5. А ( (В ( С) = (А ( В) ( (А ( С) – дистрибутивность пересечения относительно объединения

6. А ( (В ( С) = (А ( В) ( (А ( С) – дистрибутивность объединения относительно пересечения

7. А ( А = А

8. А ( А = А

9. А ( ( = А

10. А ( ( = (

11. А ( J = J

12. А ( J = А

Приведём графическую иллюстрацию свойства 6 на диаграммах Эйлера-Венна.

При сравнении указанных областей легко увидеть, что

А ( (В ( С) = (А ( В) ( (А ( С).

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

II Внеклассная работа по математике

2. 1. Особенности внеклассной работы по математике.

Внеклассная работа по математике является составной частью всего учебного процесса, естественным продолжением работы на уроке.

Основные задачи внеклассной работы следующие:

▪ углублять и расширять знания и практические навыки учащихся;

▪ развивать логическое мышление, смекалку, математическую зоркость;

▪ выявлять наиболее одарённых и способных детей, способствовать их дальнейшему развитию, вырабатывать интерес к математике;

▪ вовлекать детей в занимательные занятия, а этим укреплять дисциплину, воспитывать настойчивость, любовь к труду, организованность и коллективизм.

Внеклассная работа отличается от классной тем, что она строится на принципе добровольности. Здесь учащимся не выставляют оценок, но обоснованность суждений, смекалка, быстрота вычислений, использование рациональных способов решения должна поощряться.

Для внеклассной работы учитель подбирает доступный материал повышенной сложности или материал, дополняющий изучение основного курса математики, но с учётом преемственности с классной работой. В отличие от урока внеклассная работа носит характер математических развлечений, игр, соревнований. Здесь широко используются упражнения в занимательной форме. Однако, используя занимательность, надо помнить, что она ценна лишь в том случае, если способствует пониманию математической сущности вопроса, уточнению и углублению знаний по математике.

Учитель должен тщательно продумать организацию внеклассной работы, с тем, чтобы она обеспечивала активность, инициативу и самостоятельность учащихся.

Внеклассная работа с учащимися младшего возраста (1 – 2 классы) проводится эпизодически в форме игр или комбинированных занятий. Ценность этих игр заключается в том, что они развивают восприятие, внимание и мышление детей на арифметическом и геометрическом материале, как наиболее доступном пониманию детей. Увлечённые игрой, дети незаметно для себя приобретают новые вычислительные и измерительные навыки или совершенствуются в применении полученных на уроке знаний к решению практических задач. Призвав игру в помощь фантазии детей, руководитель должен так организовать научно-развлекательные игры, чтобы они содействовали успешному усвоению основ арифметики и геометрии.

С учащимися 3 – 4 классов возможна более углублённая и систематическая работа. Организуя внеклассную работу, учитель подчиняет её требованиям программы, превращая эпизодические встречи с детьми в планомерные занятия по определённым заданиям, а иногда и по расписанию.

По сравнению с классно-урочной формой внеклассная работа по математике имеет ряд особенностей:

1. По своему содержанию она строго не регламентирована государственной программой. Однако на внеклассных занятиях математический материал предлагается в соответствии со знаниями и умениями учащихся.

2. Если уроки во всех отношениях планируются на 45 минут, то внеклассные занятия в зависимости от содержания и формы проведения могут быть рассчитаны и на 2 – 3 минуты, и на целый час.

3. Если классно-урочная форма требует постоянного состава учащихся, то для внеклассной работы по математике дети могут объединяться в группы, обучаясь либо в одном и том же классе, либо в разных классах; при этом группы создаются на добровольных началах. Состав учащихся, даже при наличии одной и той же формы внеклассной работы, может меняться (например, состав редколлегии математической газеты).

4. Внеклассная работа характеризуется многообразием форм и видов: групповые занятия, кружки, математические уголки, викторины и олимпиады, клубы, экскурсии и т. д.

5. Особенностью внеклассной работы по математике является занимательность предлагаемого материала либо по содержанию, либо по форме, более свободное выражение своих чувств младшими школьниками во время работы, более широкое использование игровых форм проведения занятий и элементов соревнования на них.

Однако внеклассная работа с классно-урочной имеет общие черты:

1. В обоих видах работы в процессе обучения младших школьников соблюдаются одни и те же дидактические принципы: научность, сознательность, и активность учащихся, наглядность, индивидуальный подход.

2. Оба вида работы как две части единого учебно-воспитательного процесса не только содействуют формированию знаний, умений, навыков и любви к математике, но и воспитанию моральных качеств.

Таким образом, при организации внеклассной работы надо добиваться максимальной активности каждого ученика во всех видах деятельности – организаторской, трудовой, особенно мыслительной, при выполнении всевозможных заданий.

2. 2. Виды внеклассной работы по математике в начальной школе.

Давно установлено, что отдельные упражнения из занимательной математики, математические игры могут доставлять детям такое же удовольствие, так же служить средством разумного отдыха, как и элементы занимательного материала, связанные со спортом, литературой и другими областями науки, искусства. Надо только умело подбирать математические задания, чтобы они вызывали интерес у младших школьников, ибо возбудить интерес детей к математике - это главная цель, к которой мы стремимся в связи с задачей повышения уровня процесса обучения математике. Для решения этой задачи полезно использовать минуты занимательной математики.

Когда, в каких условиях учитель может проводить минуты занимательной математики? Для этого могут быть использованы отдых в группе продлённого дня, отдельные моменты во время прогулок с группой учащихся, минуты отдыха во время экскурсий и др.

Так как речь идёт о минутах занимательной математики, то для возбуждения и поддержания интереса к заданиям последние должны удовлетворять следующим условиям:

1) быть непохожими на обычные математические задания; предлагаемые на уроках;

2) смысл заданий должен быть понятен детям;

3) решение задания должно быть доступно каждому из присутствующих ребят;

4) ответы должны получаться быстро; если необходимы вычисления, то они должны выполняться только устно.

Минуты занимательной математики проводятся эпизодически. Они могут планироваться учителем в связи с поставленной целью. В результате знакомства детей с элементами занимательной математики в минуты отдыха может возникнуть у них и интерес к систематическому проведению групповых внеклассных занятий.

Групповые внеклассные занятия по математике проводятся после уроков. В 1 классе они проводятся эпизодически. Во 2 – 4 классах эти занятия проводятся систематически, но не чаще одного – двух раз в месяц, так как к ним требуется большая подготовка.

Продолжительность групповых внеклассных занятий по математике должна быть в 1 классе 20 – 25 минут, во 2 – 25 – 35 минут, в 3 – 4 классах – 35 – 45 минут.

В процессе занятий надо обеспечить дифференцированный подход, учитывая особенности отдельных учащихся, т. к. предлагаемые на них вопросы и задания могут быть направлены на воспитание внимания, памяти на числа, выработку вычислительных навыков и т. д.

Следующий вид внеклассной работы по математике - математический кружок. Работа в математическом кружке небольшой группы ребят имеет большое воспитательное значение не только для участников кружка, но и для класса в целом. Члены кружка помогают учителю в изготовлении наглядных пособий, в проведении экскурсий, оформлении и выпуске математической газеты, в организации математического уголка и др.

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.

Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики с тем, чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).

На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п. ).

Занятия кружка целесообразно проводить два раза в месяц, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д. ). На занятиях математического кружка учитель должен создать "атмосферу" свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна. В тематике кружковых занятий для учащихся младших классов находят место вопросы, связанные с теорией множеств, решением комбинаторных задач, жизнью и деятельностью российских и зарубежных известных математиков.

Дети охотно объединяются для достижения следующих навыков: научиться решать задачи, научиться приёмам быстрого счёта и производить измерения на местности.

Методика работы в кружках строится так, чтобы не стеснять инициативы и находчивости учащихся в поисках того, как решить задачу, как облегчить вычисление или измерение. Учитель приходит на помощь учащимся в том случае, когда самостоятельное решение задач и примеров не обещает успеха.

3. Математический кружок в III классе

Знакомство с множествами и операциями над ними имеет большое значение для дальнейшего изучения многих вопросов школьной программы по математике и вместе с тем способствует интенсивному развитию мыслительных операций и речи учащихся. Они постоянно должны сравнивать объекты, выявлять в них сходство и различие, классифицировать, строить обобщения, выражать в речи и обосновывать наблюдаемые свойства и отношения.

Внеклассная работа – это «необязательная часть» работы учителя с учениками, но работа, без которой трудно представить преподавание математики. Её задача – повысить интерес учащихся к предмету, активизировать их деятельность, поддержать и развить небольшие творческие взлёты, расширить знания. Для внеклассной работы тема «Множества и операции над ними» привлекательна тем, что многие задания могут быть оформлены в виде головоломок. Они неизменно вызывают у учащихся большой интерес. А так как способы их решения отличаются от обычных школьных, знакомство с ними способствует развитию математического мышления школьников.

Мы предлагаем план работы математического кружка по теме «Множества и операции над ними» в 3 классе, разработанные занятия кружка.

ПЛАН РАБОТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

«Множества и операции над ними» в 3 классе

Месяц Неделя Тематика занятий кружка

IX 2 В царстве смекалки и головоломок.

4 Множество. Элементы множества

X 2 Обозначение множеств.

4 Графическое изображение множеств – диаграммы Венна.

XI 2 Решение задач.

4 Подмножество. Знаки ( и (.

XII 2 Решение задач.

4 Конкурс смекалистых.

I 2 Пересечение множеств.

4 Свойства пересечения множеств.

II 2 Решение задач.

4 Объединение множеств.

III 1 Свойства объединения множеств.

3 Решение задач.

IV 2 Решение задач.

4 История развития понятия числа.

V 2 Конкурс «Ох, уж эта математика»

Конспекты занятий математического кружка

Тема: Пересечение множеств.

Цель: - рассмотреть операцию пересечения множеств;

- ввести знак ( для записи пересечения множеств;

- пробудить математическую любознательность и инициативу;

- воспитывать культуру математического мышления.

Оборудование: Учебник Петерсон Л. Г. Математика 2 класс часть 3.

Ход занятия

I Орг. момент

Логические упражнения

1. В одной семье у каждого из 3-х братьев есть сестра. Сколько детей в семье? (4)

2. Из Москвы в Петербург вышел поезд со скоростью 60 км/ч, а из Петербурга в Москву вышел второй поезд со скоростью 70 км/ч. Какой из поездов будет дальше от Москвы в момент встречи?

3. Часы с боем отбивают один удар за 1 секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы отбить 12 часов? (11 с).

4. Сколько на чертеже различных треугольников?

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Назови, пользуясь диаграммой, каждый элемент множеств М и К: а). 0 К

. 1. 2. 8 М =

М. 3. 4. 6 К =

Какие элементы принадлежат одновременно множествам М и К? б) Вставь знак ( или (:

1 М4 М8 М15 М

1 К4 К8 К15 К

IV. Новый материал

1) а) Обведи жёлтым карандашом замкнутую линию А, а синим – замкнутую линию В. Отметь красным карандашом точки, в которых эти линии пересекаются.

б) Области внутри линий А и В раскрась соответственно жёлтым и синим цветом. Какую часть этих областей пришлось закрасить дважды? Обведи границу красным цветом. Это общая часть двух областей.

V. Решение задач.

1) А – множество учеников, изучающих английский язык,

F – множество учеников, изучающих французский язык. Что представляет собой множество А ( F?

2) Определи по рисункам, какими признаками обладают элементы пересечения множеств А и В. Обведи общую часть этих множеств цветным карандашом.

а) А В б) А В

3) Из каких элементов состоят множества А и В? Найди пересечение этих множеств.

VI. Итог.

1) Игра «Задумай число»

- Задумайте число. Умножьте его на 3, полученный результат разделите на задуманное число, прибавьте к полученному числу 7. У вас у всех один и тот же результат – 10.

Объяснение. Используется формула (х ( 3) : х + 7 = 10.

2) Рефлексия.

Тема: Свойства пересечения множеств.

Цели:- рассмотреть основные свойства пересечения множеств;

- пробудить математическую любознательность и инициативу;

- воспитывать культуру математического мышления.

Оборудование: Учебник Петерсон Л. Г. Математика 2 класс часть 3.

Ход занятия

Орг. момент

Логические упражнения.

1. На улице, встав в кружок, беседуют четыре девочки – Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Платье какого цвета носит каждая девочка?

А В Г Н

з - - + -

г - + - -

р - - - +

б + - - -

2. Запишите число 100 пятью единицами, пятью пятёрками, семью тройками. 111 – 11 = 100

5 ( 5 ( 5 – 5 ( 5 = 100

3 ( 33 + 33 : 33 = 100

3. Сколько на чертеже треугольников?

А Д Е С

II. Новый материал

III Решение упражнений:

IV Итог.

1) Игра «ВЕСЁЛЫЙ СЧЁТ»

5 7 1 10 4

18 13 6 9 14

11 17 2 16 19

3 20 12 15 8

2) Рефлексия.

Заключение

В заключение нашей работы еще раз хотелось бы подчеркнуть, что развитие и формирование мышления учащихся, является важной, неотъемлемой частью, как внеклассных занятий, так и уроков математики.

Широкие возможности развития мышления дают различные виды внеклассной работы по математике.

Учащиеся должны получать на уроке и на внеклассных занятиях глубокие и всесторонние знания. Это поможет мыслить ему самостоятельно, рассуждать, иметь свою точку зрения на многие математические задания.

Таким образом, внеклассная работа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математики и является эффективным средством развития детей в целом, их логического мышления.

В целях развития у учащихся интереса к изучению математики и повышения их математической культуры рекомендуется систематически проводить внеклассные занятия. Практика показывает, что для достижения указанных целей недостаточно проводить отдельные эпизодические мероприятия, необходима, продуманная система всей внеклассной работы по математике. Эта система, на наш взгляд, должна учитывать:

1. Возможность использования различных видов внеклассной работы.

2. Необходимость перспективного планирования внеклассной работы на весь период обучения.

3. Взаимосвязь классных и внеклассных занятий, предусматривающих целенаправленное влияние их друг на друга.