Связь золотой пропорции и чисел Фибоначчи

Красота! Казалось бы, это понятие, лишённое практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времён до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремился окружить себя красивыми вещами? Посмотрите на древние предметы обихода. Уже тогда люди преследовали не только чисто утилитарные цели – создать предметы, которые могли бы служить хранилищем чего – либо или, например, оружием, но одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили своё утилитарное назначение и превратились в украшения.

Но человек не только создал красивые предметы, не только любовался ими, он всё чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращается в его исследователя. Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, сущности прекрасного сформировало самостоятельную ветвь науки – эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии (учение о Вселенной). Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, её основных законов организации. Пифагорейцы впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового гармонического соотношения частей в целом; число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объединению мира.

Ведущий подход, который использован при разработке реферата, показать на обширном материале от античных времён до наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух великих сфер человеческой культуры – науки и искусства; расширить представления о сферах применения математики; показать, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими в архитектуре, в музыке, живописи и т. д.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по- разному – Золотой, Божественной, Золотым числом, Золотым сечением.

Древнейшие сведения о Золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции: Пифагора, Платона, Евклида.

Золотая пропорция – понятие математическое, её изучение – это, прежде всего задача науки. Но эта же пропорция является критерием гармонии и красоты, а это уже категория красоты.

ЗАДАЧИ ДАННОГО РЕФЕРАТА:

- расширить сферу математических знаний, познакомиться с золотой пропорцией и связанных с нею соотношениях;

- расширить представления о сферах применения математики в естественных науках;

- продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.

ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков, причём свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия необходимый элемент общего образования и культуры – представляет большой исторический интерес, имеет серьёзное практическое применение и обладает внутренней красотой.

Иоганну Кеплеру принадлежат слова: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое –деление отрезка в среднем и крайнем отношении».

Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».

Пусть, САВ, и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка

АС: АВ =СВ:АС (1)

Золотым сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС – через х, то (а-х)- длину отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:

В пропорции, как известно, произведение крайних членов равно произведению средних и пропорцию (2) перепишем в виде: х2 = а( а –х).

Получаем квадратное уравнение: х2 +ах – а2 = 0

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней , следует выбрать положительный

Х= или Х =

Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора Фидия (родился в начале V века до н. э), в творениях которого это число встречается многократно. Число приблизительно равно 0,61803398

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка. Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, встречается оно и в живой природе, дало повод математику XVIв. , другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употребляет много слов, но в истории утвердились два варианта: золотая пропорция или золотое сечение.

Связь золотой пропорции и чисел Фибоначчи.

Имя Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанского) – крупного итальянского математика, сейчас встречается в связи с замечательной последовательностью: 1,1,2,3,5,8,13,21, 34,55,89,

Эта последовательность определяется условиями: u1 = 1, u2=1, un+1=un +un-1 (для каждого натурального n1). Её члены называются числами Фибоначчи. Они возникают в самых разных математических ситуациях - комбинаторных, числовых, геометрических. Известно, что этот числовой ряд получен как численность семейства кроликов, происходящих от одной пары, при условии, что каждая пара кроликов ежемесячно производит новую пару.

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону, даже сейчас, когда он стоит в развалинах, это одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.

Вы видите на рисунке, каким образом фасад Парфенона вписывается в прямоугольник, стороны которого образуют золотое сечение Длина прямоугольника больше его ширины примерно в 1,6 раза. Вычислить точнее значение нельзя; греки умели строить золотые прямоугольники, но не умели находить длины сторон.

Древние греки считали, что прямоугольники, стороны которых образуют золотое сечение, имеют наиболее приятную для глаз форму. Греки приписывали золотой пропорции и некоторые магические свойства, так же как египтяне, использовавшие его при расчётах пирамид. Любой прямоугольник, стороны которого относятся как 1: 1,618, будем называть золотой пропорцией.

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 –это 10 первых чисел Фибоначчи. Если взять калькулятор и разделить каждое из них на предыдущее, то получиться: 1:1=1; 2:1=2; 3:2=1,5; 5:3=1,666666; 8:5=1,6; 13:8=1,625; 21:13=1,615384;

Если делить всё большие и большие числа Фибоначчи, то как близко можно подойти к золотой пропорцией?

Посмотрите, как можно использовать числа Фибоначчи для построения золотого прямоугольника. Сначала начертим единичный квадрат. Добавим второй такой же квадрат. Построим на длинной стороне ещё один квадрат, потом ещё и ещё. Чем дольше продолжать этот процесс, тем ближе подойдём к золотому прямоугольнику.

«Золотое» сечение в растительном мире.

Закон «золотое» сечение действует и в растительном мире.

Рассмотрим наиболее общий и интересный случай. Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплён выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьётся вокруг стебля по правильной винтовой линии. Последив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключённая между такими листьями, называется в ботанике «циклом».

Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в числителе которой число одного цикла спирали, а в знаменателе – число листьев в этом цикле, так, дробь 3/ 8 показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в одном цикле 8 листьев. Эта же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваемом случае это 3/8 окружности, т. е. 135 градусов. Отсюда следует, что дроби 3/8 и 5/8выражают, в сущности, одно и то же листорасположение, так как угол, равный 3/8 окружности, дополняет до 360 градусов угол, соответствующий 5/8 окружности или 225 градусов. Различные числа получают потому, что в одном случае спираль закручивалась, например, справа налево, в другом – слева направо.

Каждый вид растений имеет своё листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который характерен не только для листьев, но и для веточек, почек. Цветов, чашек внутри почек. Но это угол не произвольный, а подчиняется определённому закону.

Во всём растительном мире наблюдается небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка наиболее распространённых типов листорасположения:

Учёные заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и довольно неожиданной особенностью, а именно, что каждая из этих дробей, начиная с третьей, получается из двух предыдущих путём сложения их числителей и знаменателей.

Числители и знаменатели дробей дают известный ряд Фибоначчи:

1;1;2;3;,5;8;13;. и 2;3;5;8;13;21.

Если разрезать поперёк пучок сельдерея, то можно увидеть, как стебли накладываются друг на друга, так что срез напоминает водоворот. Это потому, что, как и многие растения, сельдерей растёт спиралями. Спирали роста можно обнаружить не только у сельдерея, но и у всех кактусов, у пальм, в сосновых шишках, в цветках маргаритки или подсолнуха и у многих других растений. Каждый новый стебель вырастает с внутренней стороны предыдущего, и растение как бы закручивается.

На самом деле в срезе сельдерея можно увидеть три спирали. Одна из них раскручивается против часовой стрелки; две другие –по часовой стрелке (если начать изнутри). Например, колючки ананаса образуют сразу два множества спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке(если смотреть снизу) –как те, что отмечены на рисунке чёрным, а 13 спиралей идут против часовой стрелки –как те, что отмечены серым.

Поразительно то, что эти два числа: число спиралей, идущих по часовой стрелке, и число спиралей, идущих против, -это соседние числа Фибоначчи (1и2 у сельдерея, 8и13 у ананаса, 13и 21 у подсолнуха).

«ЗОЛОТАЯ» ПРОПОРЦИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО ТЕЛА.

То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определённой пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются античные статуи. Идеально сложенное человеческое тело полностью отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону золотого сечения.

Немецкий учёный Цейзинг, измерив тысячи человеческих тел, он установил, что Золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашёл, что средняя пропорция мужского тела близка к 13\8 =1,625; а женского 8\5 -1,6. аналогичные значения получены и при анализе антрометрических данных населения бывшего СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин).

Учёные находят, что всё тело человека в целом и каждый отдельный его член связанны математически строгой системой пропорциональных отношений.

Шедевром красоты считается Афродита Милоская. Это о ней написал А. Фет замечательные строки:

И восхитительно и смело,

До чресл сияя наготой,

Цветёт божественное тело

Неувядающей красой.

«Красота спасёт мир»

Ф. М. Достоевский

На протяжении многих столетий человек в своём творчестве учился у природы, постигал законы её гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с гармонией природы, и это создавало благодатную почву для его творчества. Современные люди ищут единства с природой, ценят её как наивысшую ценность, но уже на новой, более высокой основе, не на интуитивной, а на научной. И тогда человек придёт к новому уровню гармонии, новому витку эволюционной спирали развития.