Связь математических законов и законов физики
Зададим на плоскости две взаимно перпендикулярные оси координат – ось х и ось у – С точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей, и равными единичными отрезками. Этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу, ее еще называют декартовой системой координат (по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику понятие системы координат. Точка О является началом системы координат, ось х (или ось Ох) – осью абсцисс, ось у (или Оу) – осью ординат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называется координатной плоскостью. Пусть А – произвольная точка, тогда проекция точки на ось х называется абсциссой точки, а проекция точки на ось у называется ординатой точки. Если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х;у) – пара координат А, и в то же время произвольную пару чисел (х;у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости. Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, переменив местами эти числа, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости. Поэтому пару координат (х;у) точки А называют упорядоченной парой чисел.
Если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то
1. каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);
2. разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;
3. каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой точке плоскости.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.
Зависимость одной переменой от другой называется функциональными зависимостями. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где х – независимая переменная или аргумент, а переменная у – зависимая переменная или абсцисса функции. При этом используют запись. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значения функции. Если и , то функция называется числовой. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл. Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Способы задания функции
• Функция может быть задана аналитически в виде формулы , где переменная х – элемент множества значений аргумента, а переменная у – соответствующее значение функции. Например, формула у=х2 определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной х, взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной у=х2.
• Функция f полностью определяется заданием множества пар (х; f(x)) , где х принимает все значения из области определения, а f(x) – соответствующее значение функции.
• Функция может быть задана графически. Графиком функции называется изображение на координатной плоскости множества пар {(x;y) y=f(x), где }/
Заметим, что не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, на кривой значению х=х0 соответствуют три значения у (у1, у2, у3), и, следовательно, такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси Оу, пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.
КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Линией второго порядка называется множество точек, координаты которых в некоторой системе декартовых координат удовлетворяют уравнению: , причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля.
К кривым второго порядка относятся:
1. окружность
2. эллипс
3. гипербола
4. парабола
Окружность.
Определение: окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных на одинаковое расстояние (радиус) от данной точки (центра).
Длина радиуса определяет размер окружности, положение центра окружности определяет положение на плоскости самой окружности. Таким образом, окружность определена по размеру и по положению её на плоскости относительно данной системы координат, если известны: длинна радиуса r и координаты центра данной окружности O1(a;b). По определению следует O1M = r , зная, что расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат, выражая расстояние O1M , получаем уравнение:
Освободив уравнение от радикала, получаем:
В частности, когда центр окружности совпадает с началом координат ( a=0 и b=0), то уравнение принимает вид:
Окружность – линия второго порядка
Степень уравнения линии, когда оно приведено к целому и рациональному виду относительно координат х, у, называется порядком линии. Прямая есть линия первого порядка, так как она выражается уравнением первой степени. Окружность есть линия второго порядка. Действительно, раскрыв скобки в уравнении окружности и расположив члены по убыванию измерения их относительно текущих координат х, у, получим:
Может оказаться, что параметры a, b, r (все или некоторые) – дробные числа, тогда, умножая на их наименьшее кратное А, получим:
Полагая –2аА=D, –2bA=E и A(a2+b2–r2)=F, получим уравнение окружности в общем виде:
Это уравнение второй степени относительно координат х, у, и, значит, окружность – линия второго порядка.
Общий вид уравнения второй степени с двумя переменными имеет следующий вид:
Уравнение второй степени относительно координат х, у, в которых коэффициенты при квадратах х и у равны и нет члена с произведением ху, изображает окружность. Это условие необходимое и достаточное.
Эллипс.
Определение: эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
F и F1 – фокусы эллипса.
М – какая-нибудь точка эллипса.
MF1 и MF – фокальные радиус-векторы точки М.
FF1 фокусное расстояние.
MF1+ MF=2а
FF1= 2с
Из треугольника FF1М видно, что MF1+ MF> FF1, тогда
2а>2с, или, а>с, (с>0);
В плоскости хОу фокусы имеют координаты (-с;0) и (с;0). Поскольку положение точки М может меняться относительно осей координат, тогда текущие координаты (х;у).
, т. к. MF1+ MF=2а => , выражение возведем в квадрат и раскроем скобки:
Приведем подобные:
Разделим на 4а и возведем в квадрат:
a2 => a>c => =b2;
– разделим на a2b2
– каноническое уравнение эллипса, определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем:
Комментарии