История развития задач

Станет ли кто в наше время отрицать настоятельную необходимость самого широкого распространения и популяризации математических знаний? Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних лет в наше образование и воспитание. Само собой разумеется при этом, что умственную самодеятельность, сообразительность и “смекалку” нельзя ни “вдолбить”, ни “вложить” ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью.

Дело в том, что одним из наиболее важнейших качеств мышления является его логичность, способность делать из правильных утверждений правильные выводы, находить правильные следствия из имеющихся фактов.

О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинировано рассуждает.

И вот оказывается, что это ценнейшее качество возникает и развивается главным образом в процессе решения математических задач. Ведь математика это практическая логика, в ней каждое новое положение получается с помощью строго обоснованных рассуждений на основе ранее известных положений, то есть строго доказывается. Словами, приведенными в эпиграфе, Ломоносов подчеркнул именно эту особенность математики.

Изучение математики формирует такие качества человека, как: сообразительность, настойчивость, аккуратность, критичность и др. Решение математических задач развивают, помимо пространственного воображения, и способность догадываться, угадывать заранее результат, способность разумно искать правильный путь в самых запутанных условиях.

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли и возможность прорешать старинные задачи и сравнить их решение с современным решением

Древний Вавилон.

В Древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток (всего около 500 000, причем из них примерно лишь 150 с текстами математических задач и 200 с числовыми таблицами) с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира. Расшифровкой и анализом клинописных текстов много занимались историки – математики О. Нейгбауэр (р. 1899) и Ф. Тюро – Данжен (1872–1944).

В этих текстах мы находим достаточно удобные способы решения ряда практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали уравнения второй степени при помощи специальных таблиц. Документальным свидетельством высокой вычислительной культуры служит и высказывание ассирийского царя Ашшурбанипала (VII в. до н. э. ): “Я совершаю запутаннейшие деления и умножения “

Научные достижения древних вавилонян заключаются в следующем :

1)Вавилоняне были основоположниками астрономии.

2)Вавилоняне создали шестидесятеричную систему счисления. В основе которой лежало не число 10, как у нас, а число 60.

3)Вавилоняне решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третьей степени.

1) Задача о вычислении числа π вавилонянами представлена так:

Решение: За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для (, которым пользовались.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу, следовательно, 2(R=6R, откуда (=3.

Для вавилонян, наверное, это были сложнейшие вычисления, но для десятиклассников сегодняшнего времени являются сущим пустяком и, тем не менее, мы пользуемся формулами того времени, как будто между нами нет временных границ

2) Разделить прямой угол на 3 части.

Решение: Древние вавилоняне умели строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на 3 части.

Пусть дан прямой угол ABC. Для того чтобы разделить этот угол на 3 части нужно на отрезке BD стороны BA построим треугольник BED. Тогда угол CBE и будет составлять треть данного прямого угла. Остаётся только разделить пополам угол EBD, и задача будет решена.

3) Для определения площади четырехугольника вавилоняне брали произведение полусумм противоположных сторон. Выяснить, для каких четырехугольников эта формула точно определяет площадь.

Решение: Согласно условиям задачи площадь четырехугольника

, где а, b и с, d — две пары противоположных сторон.

Допустим, а = b и с = d, тогда четырехугольник превращается в прямоугольник и площадь его S = ас.

Древняя Греция.

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI – V вв. до н. э.

Принято считать, что первыми учителями древних греков были Египтяне. Ещё в VII веке до Н. Э. при фараоне Псаметихе иностранным путешественникам был открыт свободный доступ в Египет. Этим широко пользовались учёные Древней Греции , совершавшие традиционные путешествия в ‌“страну пирамид” для изучения науки и культуры. Примерно с VI века до нашей эры древние греки стали на путь самостоятельных изысканий по математике и достигли в этой науке значительных успехов, особенно в геометрии. Также значительных успехов в теории чисел достиг Пифагор и его ученики. Пифагор – крупнейший древнегреческий математик и философ V века до Н. Э. Ему приписывают открытие “теоремы Пифагора”

Еще одним основателем греческой математики считается Фалес Милетский (ок. 625 – 547 до н. э. ) – купец, политический деятель, философ, астроном и математик. Первоосновой всего сущего Фалес считал воду (“Вода есть начало всего; все из нее происходит и в нее превращается”). В математике Фалес доказал несколько важных теорем, предложил способы вычисления высоты фигуры по длине ее тени и определения расстояния до корабля на море.

Задачи:

1) Определить расстояние от берега до корабля на море

Решение задачи самим Фалесом:

Для определения расстояния от точки A на берегу до недоступной точки В (местонахождение корабля на море) строился треугольник АВС с доступной точкой С на берегу, после чего отрезки АС и ВС продолжались по другую сторону от точки С и строился треугольник CDE, такой, что CD = AC, АСВ равен DCE, CDE = САВ. Тогда по теореме о равенствах двух треугольников, имеющих равными сторону и два угла, получаем AB = DE.

Решение задачи мной:

Для определения расстояния от точки N на берегу до точки М (местонахождение корабля на море), нужно поставить палку на берегу (точка D), соединить верхний конец палки с вершиной мачты корабля и продолжить прямую (KL) до соединения с берегом. Тогда по теореме о подобии треугольников получаем

LD:KM=ND:NM

NM=(ND(KM):LD

Как правило, высота корабля известна.

Итак, это решение задачи не может быть использовано на практике, в отличие от старинного, т. к. для такого решения необходимо, чтобы точка М (корпус корабля у ватерлинии), точка D (основание палки на берегу) и точка N (глаз наблюдателя) были бы на уровне моря, т. е. нахождение наблюдателя в «окопе». Кроме того, из-за кривизны поверхности земли и волнении на море, наблюдатель не сможет увидеть ватерлинию корабля (точка М) и измерение дальности будет неточным. Еще одним недостатком современного решения является необходимость знания высоты мачты корабля – а если это вражеский корабль, тогда что делать?

Т. е. метод Фалеса является более совершенным, универсальным.

2) Три грации имели по одинаковому числу плодов и встретили девять муз. Каждая из граций отдала каждой из муз по одинаковому числу плодов. После этого у каждой из муз и каждой из граций стало по одинаковому числу плодов. Сколько плодов было у каждой из граций до встречи с музами?

Решение:

У меня получилось решить эту задачу следующим образом:

Пусть у каждой из граций было по x плодов, и они отдали каждой из муз по y плодов. Тогда по условию задачи должно быть x – 9y = 3y x = 12y, т. е. у каждой из граций до встречи с музами число плодов было кратно 12.

3) Доказать, что для всякого шара цилиндр, имеющий основанием большой круг этого шара, а высотой диаметр шара, будет иметь объем в полтора раза больше объема этого шара и площадь поверхности тоже в полтора раза больше площади поверхности этого шара.

Решение:

Мое решение совпало с Архимедовым:

Vш= 4/3(R3

Sш= 4(R2

Vц = (R22R

Sц = 2(R2+2(R2R=6(R2

Vц:Vш=((R22R):(4/3(R3)=1,5 Sц:Sш=(6(R2):(4(R2)=1,5

Это открытие Архимед считал своим самым большим достижением в математике, и, видимо, потому на его могиле изображены шар и цилиндр.

4) Задача из «Арифметики» Диофанта. Решить систему:

Решение:

Диофант эту систему решал так: из уравнения x + y = 10 имеем

Положим теперь Сложив последние два уравнения получим х = 5 + z. Произведя вычитание этих же уравнений, будем иметь y = 5 – z.

Тогда x2 + y2 = (5 + z)2 +(5 - z)2 или x2 + y2 = 50 + 2z2

Принимая во внимание второе уравнение данной системы, получим

68 = 50 + 2z2, или 2z2 = 18.

Откуда z2 = 9, z = 3.

Следовательно, х = 8, у = 2.

Мое решение:

Решив систему уравнений, я получил два решения: (2;8) и (8;2).

Мой ответ не совпал с ответом Диофанта, т. к. в его решении одна пара значений переменных, т. е. (8;2). А в моем решении две пары значений переменных.

Древний Египет.

В этой «стране пирамид» за много тысяч лет до нашей эры возводились гигантские сооружения в виде храмов и пирамид. Некоторые из этих памятников сохранились до настоящего времени. Различные строительные работы, а также земледелие, основанное на искусственном орошении, рано вызвали потребность в математических познаниях и особенно в геометрии.

Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали на стенах храмов или на «папирусах», лентообразных свитках из особого писчего материала растительного происхождения.

В Британском музее хранится так называемый «папирус Райнда», расшифрованный профессором А. Эйзенлором в 1877 году. Рукопись относится к периоду 2000—1700 лет до нашей эры. В ней содержится 84 задачи, причем большинство из них арифметического характера.

Московский папирус относится к 1850 году до нашей эры. Он был приобретен русским собирателем Голенищевым в 1893 году, а в 1912 — перешел в собственность московского Музея изобразительных искусств. Этот редкий, весьма ценный памятник глубокой древности был изучен советскими учеными — академиками В. А. Тураевым и В. В. Струве. В этом папирусе решается задача на вычисление объема усеченной пирамиды с квадратными основаниями.

Оказывается, как показала расшифровка папирусов, египтяне еще четыре тысячи лет назад решили ряд практических задач по арифметике, алгебре, геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями.

Задачи:

1) Найти число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитания от полученной суммы её трети получается число 10.

Решение: Решение задачи сводится к решению уравнения

Ответ: 9.

2) У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?

Решение: Здесь имеется пять членов геометрической прогрессии со знаменателем 7:

7, 49, 343, 4201, 16807.

Теперь подсчитаем сумму

3) Задача из Московского папируса.

Определить длину сторон прямоугольника, если известно их отношение и площадь фигуры.

Решение: Обозначив через х и у искомые длины сторон, сводим задачу к системе уравнений:

Перемножив эти уравнения, получим

Древняя Индия.

Индия имеет большую и богатую самобытную культуру, истоки которой уходят в седую древность. Много тысяч лет тому назад, еще до нашей эры, в Индии строились оросительные каналы, городские водосточные системы, строились многоэтажные здания из хорошо обожженного кирпича. В далеком прошлом индийцы владели искусством керамического производства (производство изделий из обожженной глины), умело пользовались гончарным кругом, успешно развивали ювелирное дело (изготовление изделий из драгоценных камней и металлов).

Еще в глубокой древности в Индии были накоплены большие знания в области грамматики, астрономии и других наук. Наибольших успехов индийские ученые достигли в области математики. Они явились основоположниками арифметики и алгебры, в разработке которых пошли дальше греческих ученых. Достижения индийских ученых в области арифметики и алгебры оказали сильное влияние на развитие восточной, а затем и европейской математики.

Величайшим достижением древнеиндийской математики является прежде всего открытие позиционной системы счисления, состоящей из десяти индийских цифр, включая и знак нуль, называемый по индийски «сунья», что дословно означает «ничто». Интересно заметить, что в первоначальном начертании нуль изображался точкой и лишь спустя много веков — в виде маленького кружка. Кто первый из индийских ученых стал употреблять десятичную систему, неизвестно. Однако есть основание думать, что эта система была изобретена в начале I века нашей эры. Что касается первого употребления знака нуля, то этот замечательный факт относится ко II веку нашей эры.

Наиболее известными индийскими математиками являются Ариабхата (конец I в. ), Брамагупта (VII) и Бхаскар а (XII).

Индийские математики далекого прошлого любили состязаться на публичных народных собраниях. По этому поводу один индийский автор VII века, заканчивая свою книгу, писал: «Подобно тому как солнце затмевает своим блеском звезды, так мудрец затмевает славу других людей, предлагая и особенно решая на народных собраниях математические задачи».

Задачи:

1) В старинной легенде о происхождении шахмат рассказывается, что изобретатель шахмат, которому было предложено запросить любую награду, попросил положить ему в награду на первую клетку шахматной доски одно зерно, на вторую – 2 зерна, на треть – 4 зерна и т. д. Сколько зерен запросил мудрец?

Решение:

И снова мое решение совпало с решением древних математиков:

1+21+22+23++263=264-1=18446744073709551615.

2) Задача Сридхары. Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть на цветках одна треть на цветках силиндха. Утроенная разность двух последних чисел направилась к цветам кутая. И осталась ещё одна пчела, летающая взад и вперёд, привлечённая чудесным ароматом жасмина и пандануса. Скажи мне сколько всех пчёл?

Решение:

Задача приводит к уравнению:

Следовательно, пчёл было всего 15.

3) 20 работников могут выполнить работу в 30 дней. Сколько работников могут сделать ту же работу в 5 дней?

Решение:

Раньше подобные задачи решали так. Условия задачи записывали в одну строку, располагая данные в определенном порядке: 5 – 20 – 30, а затем действовали по правилу: перемножь второе и третье и раздели на первое – 20 ∙ 30 = 600; 600 : 5 = 120. Следовательно надо 120 работников.

Мое решение: При решении этой задачи рассуждаем так: что бы выполнить работу за 5 дней, работников потребуется больше во столько раз, во сколько 30 больше 5, т. е. 30 : 5 = 6. Следовательно, работников надо больше в 6 раз, т. е. 20 ∙ 6 = 120.

Мое решение совпало со старинным решением этой задачи.

Древний Китай.

Китайская культура, включая и математику, древнего происхождения. Ее истоки уходят в седую старину. Многие важнейшие открытия в науке и технике, сделанные китайскими учеными, значительно опередили открытия в других странах, а также в странах Западной Европы.

Впервые в истории мировой техники китайскими учеными изобретен компас (III до н. э. ), сейсмограф (II) и спидометр. Задолго до европейцев китайский народ научился изготовлять селитру для получения пороха (X). Еще в VII веке до нашей эры китайские умельцы из народа владели секретом производства фарфора. Известно также, что Китай — родина первого шелка, замечательных красителей и лаков. В XI веке кузнец Би Шен изобрел книгопечатание подвижными буквами (литерами), которое по идее мало чем отличается от современного.

В Китае родилась описательная астрономия, т. е. наука о небесных телах и календаре. Уже в глубокой древности китайские ученые вели систематические наблюдения за небом, за положением и движением небесных светил. Еще в IV веке до нашей эры китайский астроном Ши Шень составил первый известный звездный каталог

(перечень), в котором дано описание 800 звезд. В Европе аналогичный каталог был составлен около II века нашей эры (каталог Гиппарха).

Свои наблюдения китайские астрономы проводили в специально оборудованных помещениях, называемых обсерваториями, оснащенных остроумными приборами собственного изготовления. Древним памятником китайской астрономии в настоящее время является Пекинская обсерватория с ее старинным оборудованием, построенная на окраине города Пекина в 1279 году.

Много сделали древнекитайские ученые в области математики. Особенно большой вклад они внесли в решение наиболее тонких вопросов арифметики и алгебры, т. е. науки, изучающей действия над величинами, выраженными буквами, независимо от числового значения этих величин.

Задачи:

1) Из 3 снопов хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 39 доу (доу – мера объема) зерна. Из 2 снопов хорошего урожая, 3 снопов среднего урожая и 1 снопа плохого урожая получили 34 доу зерна. Из 1 снопа хорошего урожая, 2 снопов среднего урожая и 3 снопов плохого урожая получили 26 доу зерна. Спрашивается, сколько зерна получили из каждого снопа хорошего, среднего и плохого урожая.

И опять мое решение совпало с решением древних математиков, в современных обозначениях она решается так:

Если через x, y, z обозначить соответственно хороший, средний и плохой урожай 1 снопа, то задача сводится к решению системы

Отсюда x = 9,25 доу, y = 4,25 доу, z = 2,75 доу.

2)В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно только, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Требуется узнать число фазанов и число кроликов.

Решение:

Китайцы решали эту задачу при помощи такого рассуждения: “Если в клетке были только одни фазаны, то число их ног было бы 70, а не 94. Таким образом, 24 ноги, которые оказались лишними, принадлежат кроликам – по 2 ноги на каждого. Откуда заключаем, что кроликов было 12, а фазанов 23 ”

А мое решение таково:

Пусть х фазанов, тогда кроликов 35 – х. Составим уравнение:

2х + 4(35 – х) = 94,

2х + 140 – 4х = 94,

2х = 46, х = 23.

Ответ: 23 фазана и 12 кроликов.

Древняя Русь.

На смену математики постоянных величин пришел период переменных величин. Понятие функции стало главным предметом исследования. В XVII в. была создана аналитическая геометрия. Особенно интенсивно развивался анализ бесконечно малых. Появление проективной геометрии и теории вероятностей предвещало большое будущее в их развитии. В XVIII столетии дифференциальное и интегральное исчисления продвинулось далеко вперед, усилия ученых направлялись на создание новых отделов математического анализа и его приложений в механике.

Научная деятельность крупнейших математиков сосредоточилось во Франции, Германии и России.

Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX- XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др. ). В Древней Руси времени Ярослава Мудрого (978-1054) уже существовали общеобразовательные школы. Ценные сведения о математических знаниях содержится в памятнике древнерусского права “Русская Правда” и в памятниках духовного содержания: “Книга святых тайн Еноха”, “Шестоднев”, “ Толковая палея” и др.

Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. “ Книга сошному письму”, содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной площади в «сохах». Для расчетов «сошного письма» применялись русские счеты. Арифметические рукописи XVI в. переписывались и в XVII в. и имели традиционное название «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки – алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». Первые русские рукописные книги по математике XVI-XVII в. были вытеснены замечательной книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика» (1703).

Основание Петербургской академии наук пришлось на время бурного расцвета математики и механики. Творчество великого Леонарда Эйлера (1707-1783), много лет проработавшего в России, охватило практически все области физико-математических знаний. Именно в XVIII в. было положено начало формирования русской математической школы. В XIX в. славу нашей Академии принесли блестящие открытия в теории чисел, теории вероятностей и математическом анализе крупнейшего отечественного ученого П. Л. Чебышева (1821- 1894 ).

Задачи:

1) Четыре плотника у некоего гостя нанялись двора ставити. И говорит 1 плотник так: только б де мне одному тот двор ставити, я бы де его поставил един годом. А другой молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в 2 года. А третий молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в 3 года. А четвёртый так рёк: только бы де мне одному тот двор ставити, и я бы де его поставил в 4 года. Ино все те 4 учали тот двор ставити вместе. Ино, сколь долго они ставили, сочти мне.

Решение:

Составитель рукописи задачу решает так: за 12 лет первый плотник построит 12 дворов, второй – 6, третий-4 и четвёртый – 3. Следовательно, за 12 лет они построят 25 дворов. Таким образом, все четыре плотника построят дом за 175 и дня.

Мое решение:

Пусть х лет они будут вместе строить этот дом.

Ответ: 175,2 дней будут строить дом.

2) Задача Л. Ф. Магницкого (из «Арифметики»).

Некий человек нанял работника на год, обещав ему дать 12 рублей и кафтан. Но тот по случаю, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойную плату с кафтаном. Ему дали по достоинству 5 рублей и кафтан. Какой цены был оный кафтан?

Решение:

За год работник должен был получить 12 рублей и кафтан, т. е. за каждый проработанный месяц ему должны начислять 1 рубль и стоимости кафтана. За проработанные 7 месяцев работник должен был бы получить 7 рублей и , стоимости кафтана, а получил 5 рублей и кафтан. Следовательно, стоимости кафтана соответствуют 2 рублям.

Следовательно, цена кафтана была

Мое решение:

12 х = 12, х = 1, т. е. 1 рубль он получал бы в месяц без учета кафтана.

вычтем из первого уравнения второе: 5х = 7, х = 1,4.

1. 4 рубля – это оплачивали в месяц вместе с месячной платой за кафтан.

1. 4 – 1 = 0. 4 – ежемесячная плата за кафтан.

0. 4 * 12 = 4,8 рубля стоимость кафтана.

Ответ: стоимость кафтана 4,8 рубля.

Заключение.

Очень занимательно было вникнуть в математический мир древних веков. Очень удивительно, что те формулы, теоремы, аксиомы были определены и доказаны учеными много веков назад, а мы до сих пор пользуемся и берем за основу все их математические выводы. Конечно, математика продвинулась вперед, появились компьютеры, но прорешивая старинные задачи, я сделал вывод:

Мое решение задач, в основном, совпадает с решением, предложенным учеными того времени.

Да, решить одну и ту же задачу можно различными методами, и преимущества и недостатки решения этих задач будет зависеть от их содержания. Естественно, некоторые задачи решаются проще, т. к. нам известны методы и приемы решений, более рациональные в силу накопленного веками математического опыта. Было бы интересно прорешать задачи разными способами, но мне, в принципе, это не удавалось, решения снова и снова совпадали.

Проделанная работа помогла мне увидеть математику, как бы изнутри. И еще, я понял, насколько нам легко, зная формулы, производить вычисления. Ученые древности могли, не пользуясь справочными пособиями, формулами, находить правильное решение. Мы можем делать также, но ленимся. Любая задача разрешима, если мы умеем мыслить.