История несоизмеримых величин

Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос” в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т. е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассиметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationales и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.

В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональностях чисто геометрически. В них Евклид предлагает, например, такие определения: «Единица есть [то], через что каждое из существующих считается единым; число же – множество, составленное из единиц» ([25]), кн. VII – X, с. 9). Ясно, что подобные определения мало что говорят – в их формулировках отражается тот факт, что как в арифметике Евклида, так и в его геометрии проявляется непонимание необходимости неопределяемых понятий. К сожалению, некоторые из приведённых им доказательств ошибочны. Тем не менее, древние греки и их преемники считали, что теория целых чисел обоснована вполне удовлетворительно. Более того, они, не церемонясь, позволяли себе говорить об отношениях целых чисел (дробей), хотя отношения целых чисел не были ими никак определены.

Существование несоизмеримых величин было открыто в школе Пифагора. Пифагорейцы не знали других чисел, кроме рациональных. Построив диагональ квадрата, сторона которого равна 1, они констатировали, что она не может быть выражена никаким числом, т. к. для них не было других чисел, кроме целых и дробных. Этот факт привел в большое смущение пифагорейцев, т. к. в основе их философии лежало понятие о числе, как основе всех вещей и явлений природы. Но эта великая основа – число – не в состоянии выразить длины простого отрезка в простой фигуре – диагонали квадрата. Вот почему открытие несоизмеримых величин явилось большим ударом по учению Пифагора, и пифагорейцы должны были держать это в строгой тайне. Согласно преданию, ученик Пифагора, раскрывший публично эту тайну, был наказан богами и погиб во время кораблекрушения. Узнав, что существуют отношения величин, не выражаемые никакими рациональными числами, древнегреческие ученые стали представлять величины не арифметически, а геометрически, не числами, а отрезками. Таким образом, возникла геометрическая алгебра, а потом и теория отношений Евдокса.

Евдокс отнюдь не вводит иррациональных величин в систему чисел, не пытается расширить и обобщить понятие числа, как это сделали Дедекинд, Кантор и др. западно-европейские математики; он определяет иррациональные величины, как такие, которые сами по себе не относятся между собой как числа, но степени которых сравнимы. Таким путем, замечает Э. Франк, "рассудку, мыслящему лишь прерывные и соизмеримые величины, делается теоретически доступным понятие непрерывности и несоизмеримости". Комментарий совершенно правильный и благополучно сводящий на нет всю силу аргументации автора. Античный рассудок, "мыслящий лишь прерывные и соизмеримые величины", не мог воспринять иррациональную величину, как элемент математического мышления; как раз это и утверждает Шпенглер.

В древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо знакомы с целыми числами, дробями и даже с такими иррациональными числами, как √2 или √3. Для практических приложений иррациональные числа аппроксимировали рациональными. Но поскольку математика в Древнем Египте, Вавилоне и даже вплоть до IV в. до н. э. в Древней Греции строилась на интуитивной или эмпирической основе, как восхищение её логической структурой, так и её критика были в равной степени беспредметны.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой. В Европе термин surdus- глухой впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических прозведений с арабского на латынь, затем у итальянского математика Леонардо Фабоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда, уже в XVI в. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Открытие иррациональных чисел выявило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики. Платон в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин. Решение проблемы предложил Евдокса, некогда бывший ученик Платона: понятие величины надлежит трактовать геометрически. Длины, углы, площади и объёмы, величины которых – если их выразить численно – могли оказаться иррациональными, следовало представлять геометрически. Именно так формулирует Евклид теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на обоих катетах. Под суммой квадратов Евклид понимает, что суммарная площадь фигуры, составленной из двух квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Обращение за помощью к геометрии здесь вполне понятно. Если числа 1 и √2 рассматривать как длины, т. е. как отрезки прямых, то принципиальное различие между 1 и √2 сглаживается и почти перестаёт быть заметным.

Арифметика и алгебра, столь свободно используемые александрийцами, которым они достались по наследству от египтян и вавилонян, были лишены логической основы. Птолемей и другие учёные александрийского периода, как правило, перенимали у древних египтян и вавилонян эмпирический подход к математике. Такие иррациональные числа, как π, √2, √3 и другие, вводились некритически и в случае необходимости заменялись рациональными приближениями. Наиболее известный пример использования иррациональных чисел – приближённое вычисление Архимедом числа π. По оценкам Архимеда, значение π заключено между 3 целых 1/7 и 3 целых 10/71. Независимо от того, знал или нет Архимед, что число π иррационально, найденные им приближённые значения π содержали нескончаемые нагромождения квадратных корней ([33], с. 266 – 270, 528 -553), а извлечение квадратного корня чревато появлением иррациональных чисел, о чём не мог не знать Архимед.

Когда в конце средневековья и в период Возрождения европейцы – отчасти через арабов, отчасти непосредственно из сохранившихся греческих рукописей – ознакомились с существующим уровнем достижений математики, они своеобразно разрешили дилемму, возникшую в связи с разделением математики на два типа «знания». Настоящей математикой, по мнению европейцев, заведомо была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые хотя и были лишены твёрдого логического фундамента, но уже значительно усовершенствовались по сравнению с классической древностью.

Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. Итальянский математик Лука Пачоли (ок. 1445 – 1514), немецкий монах и профессор математики в Йене Михаэль Штифель (1486(?) – 1567), итальянский врач и учёный Джироламо Кардано (1501 – 1570) и фламандский военный инженер Симон Стевин (1548 – 1620) свободно использовали иррациональные числа, следуя здесь традиции индийцев и арабов, и ввели много новых типов иррациональностей. Так, Штифель оперировал с иррациональными выражениями вида (a + (b ^(1/n)))^(1/m) , а Джироламо Кардано – иррациональностями, содержащими кубические корни. Примером того, насколько свободно и широко европейцы использовали иррациональности, может служить выражение для числа π, полученное Франсуа Виетом (1540 – 1603). Рассматривая правильные многоугольники с 4, 8, 16 и более сторонами, вписанные в окружность единичного радиуса, Виет обнаружил, что

2/π = √(1/2) * √(1/2 + 1/2√ π) * √(1/2 + 1/2√ (1/2 + 1/2√ π))

Иррациональные числа нашли широкое применение и в связи с одним из новых достижений математики эпохи возрождения – логарифмами. Логарифмы положительных чисел были изобретены в конце XVI в. Джоном Непером (1550 – 1617) для той самой цели, для которой они с тех пор и употребляются, - для ускорения арифметических вычислений. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (а предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональными числами), все математики приветствовали полезное изобретение, избавившее их от излишнего труда.

Вот вкратце мнение Мориса Клайна. Для нас здесь наиболее важным является его мнение о том, что ни метод Архимеда ни метод Виета не является точным т. к. в обоих методах применяются «нескончаемые нагромождения квадратных корней» извлечение которых чревато появлением иррациональных чисел.

Метод расчёта числа π содержит только одно единственное иррациональное число √3 и в силу этого является более точным, чем два вышеприведённых метода, при условии, что не имеет в себе логических противоречий.

На протяжении двух тысячелетий математики были уверены в том, что весьма успешно открывают математические принципы, заложенные в фундаменте мироздания. Но в середине XIX в. они вынуждены были признать, что глубоко заблуждались, принимая математические законы за абсолютные истины.

Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями.

Например:

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

1. Уравнение вида =a

При решении уравнений этого вида следует иметь ввиду, что по определению арифметического корня при отрицательном значении а уравнение корней не имеет, а при неотрицательном значении а f(x)=а2. Таким образом уравнение вида =a приводится к системе уравнений f(x)=a2 a≥0,

При этом ОДЗ выполняется автоматически, поэтому решать неравенство f(x) ≥ 0 не требуется.

Пример 1.

=10 х 2+19=10 х 2=81 х 1=9 х 2=-9

Ответ: 9и-9

Пример 2.

Ответ: корней нет.

2. Уравнения вида

Пример 1. Решить уравнения

Решение: a) Данное уравнение равносильно системе:

[px2 - 9x + 25 = (2x - 13)2,

2x - 13 ≥ 0, или

[p3x2 - 43x + 144 = 0,

x ≥ 13/2, откуда

[p[x = 16/3,

x2 = 9, x ≥ 13/2, и значит x = 9.

b) Данное уравнение равносильно системе:

= x + 2 ⇔ ⇔ ⇔

10 - x = (x + 2)2, x2 + 5x - 6 = 0,

x + 2 ≥ 0, x ≥ -2,

⇔ [x1 = -6,   ⇔     x = 1.

x2 = 1, x ≥ -2,

3. Метод уединения радикала

Суть решения методом уединения радикала заключается в следующем: в одной из частей уравнения оставляем один из радикалов ,а остальные члены уравнения переносят в другую часть; затем эти обе части уравнения возводят в такую степень, чтобы исчезла иррациональность уединения радикала. эта процедура повторяется до тех пор, пока не исчезнут все иррациональности.

Пример 1:

Решение:

В данном уравнении три корня, для освобождения от корней придется дважды возводить в квадрат.

1)возведем обе части уравнения в квадрат:

2)выполним простейшее преобразования:

3)ещё раз возводим в квадрат:

4)решаем квадратное уравнение:

5)проверяем первый корень:

число x корень исходного уравнения.

6)проверяем второй корень.

Так как не является корнем нашего уравнения.

Ответ: x=1

Решая это уравнение, мы не следили за равносильностью преобразований, поэтому и появился посторонний корень. При таком способе решения проверка необходима.

Пример 2. Решить уравнения

Решение: a) ОДЗ данного уравнения x ∈ [5/3;4]. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению

Поскольку обе части уравнения на ОДЗ принимают неотрицательные значения, возводя в квадрат получим равносильное уравнение которое, после очевидных преобразований, принимает вид

2x - 5 = ⇔

(2x - 5)2 = 4 - x, x ≥ 5/2,

x ∈ [5/3;4],

⇔ [x1 = 7/4,   ⇔   x = 3.

x2 = 3, x ∈ [5/2;4], b) ОДЗ данного уравнения x ∈ (0;20]. Так как на ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, то возводя в квадрат получим равносильное уравнение

С учетом того, что x ∈ (0;20] получим уравнение

Последнее уравнение на ОДЗ равносильно системе

[p(20 + x)(20 - x) = (3x - 20)2,

3x - 20 ≥ 0, x ∈ (0;20] или

[p10x2 - 120x = 0,

x ∈ [20/3;20] откуда

[p[x1 = 0,

x2 = 12, x ∈ [20/3;20] и значит x = 12.

c) Область допустимых значений этого уравнения, ппредставляет множество x ∈ (-∞;-4]∪{2}∪[3,+∞), являющееся решением системы неравенств

[px2 - x - 2 ≥ 0,

x2 + 2x - 8 ≥ 0, x2 - 5x + 6 ≥ 0.

Учитывая, что если AB ≥ 0, то , получим

Из первого уравнения совокупности получим x = 2.

Для решения второго уравнения совокупности, учитывая ОДЗ, рассмотрим следующие два случая: а) Если x ∈ (-∞;-4], уравнение примет вид

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

Используя утверждение, получим

[p4(1 + x)(x + 4) = (8 + x)2,

x ≥ -8 или, после очевидных преобразований

[p3x2 + 4x - 48 = 0,

Учитывая, что x ∈ [-8;-4], получим решение б) Если x ∈ [3;+∞), уравнение примет вид

Поскольку x + 4 > x - 3, то. Из последннего неравенства и неравенства следует что данное уравнение при x ≥ 3 не имеет решений. Таким образом, корни исходного уравнения x = 2 и d) Область допустимых значений уравнения x ∈ [1;11] является решением системы неравенств

[px - 1 ≥ 0,

x + 2 ≥ 0,

11 - x ≥ 0.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводя в квадрат, получим равносильное уравнение которое равносильно системе

[p4(x - 1)(x + 2) = (10 - 3x)2,

10 - 3x ≥ 0, или

[p5x2 - 64x + 108 = 0,

x ≤ 10/3, решение которой x1 = 2, удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.

Пример 3:

Решение:

Так как ,то сделаем подстановку и получим:

Так как последнее уравнение является следствием предыдущего,то необходима проверка:

(верно)

(верно)

Ответ: x=30, x=61.

4. Введение новой переменной

Пример 1:

Решение:

Обозначим получим

Y=-1 посторонний корень

Ответ:x=2, x=-7.

Пример 2:

Решение:

Обозначим Получим

Это симметрическая система. Обозначим

Получим

Затем, решаем системы

Первая система имеет решения (1,3) и (3,1), вторая система решений не имеет. Зная, что а=1 или а=3, найдем значения х.

Ответ: х1=-3,4: x2=12,6.

Пример 3. Решить уравнения

Решение: a) Положив , тогда. В результате получаем уравнение

2t2 + 5t - 18 = 0, корни которого t1 = -9/2 и t2 = 2. Поскольку t ≥ 0, остается t = 2 или , откуда x = 26 или x = 64.

Ответ: x = 64.

b) ОДЗ данного уравнения есть R\{-4;-7/5}. Заметим, что уравнение содержит взаимно обратные выражения. Сделав подстановку получим и уравнение примет вид или, после очевидных преобразований

6t2 - 13t + 6 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получим корни t1 = 2/3 и t2 = 3/2. Следовательно, или, возводя в куб, откуда

[x = 4,

x = -157/127.

Ответ: x = 4, x = -157/127.

c) Положим и получим уравнение или 2t2 - t - 15 = 0, откуда t1 = -5/2 (не удовлетворяет условию t > 0) и t = 3. Таким образом откуда, учитывая замечание к утверждению, получим 2x + 1 = 9 и x = 4.

Ответ: x = 4.

d) Сделаем подстановку , тогда x2 + 5x + 28 = t2, откуда x2 + 5x = t2 - 28 и уравнение примет вид t2 - 28 + 4 = 5t или t2 - 5t - 24 = 0, откуда t1 = -3 и t2 = 8.

Так как t ≥ 0, получим

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение x2 + 5x + 28 = 64, или x2 + 5x - 36 = 0, решения которого x = -9 и x = 4.

Ответ: x = 4, x = -9.

В некоторых случаях иррациональное уравнение можно рационализировать умножив обе части уравнения на отличное от нуля выражение.

Пример 4. Решить уравнение

Решение: Умножив обе части уравнения на выражение

(сопряженное выражение левой части уравнения), после сокращения подобных слагаемых, получим уравнение , равносильное исходному, так как уравнение

, не имеет действительных решений.

Сложив почленно уравнения

получим уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат получим равносильное уравнение

3x2 - x - 10 = 0 решения которого x1 = -5/3 и x2 = 2.

Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.

Ответ: x1 = -5/3 и x2 = 2.

Замечание. Данное уравнение можно решить используя подстановку t = 3x2 - x + 6. В результате получим 3x2 - x-1 = 3x2 - x + 6 - 7 = t - 7 и уравнение примет вид

5. Выделение полного квадрата под знаком радикала

Пример 1. Решить уравнения

Решение: a) Заметив, что x2 - 4x + 4 = (x - 2)2, x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 и учитывая что , получим уравнение x - 2 + x + 3 = 5.

Так как x - 2 = 2 - x, (2 - x) + (x + 3) = 5 и, следовательно 2 - x + x + 3 =

= (2 - x)+(x + 3) используя свойства модуля, получим что данное уравнение равносильно неравенству (2 - x)(x + 3) ≥ 0, откуда получим множество решений исходного уравнения x ∈ [-3;2].

Ответ: x ∈ [-3;2].

b) Под знаком каждого радикала выделим полный квадрат

Сделаем подстановку t ≥ 0, после этого уравнение примет вид t - 2 + t - 3 = t2.

Последнее уравнение равносильно совокупности

[[p0 ≤ t ≤ 2,

-t + 2 - t + 3 = t2,

[p2 < t ≤ 3,

t - 2 - t + 3 = t2,

[pt > 3,

t - 2 + t - 3 = t2, или

[[p0 ≤ t ≤ 2,

[p2 < t ≤ 3,

t = ±1,

[pt > 3,

t ∈ ∅, откуда. Таким образом или.

6. Векторный способ решения иррациональных уравнений

Пример1:

Решение:

Рассмотрим векторы и.

Так как , то

Значит и - коллинеарные.

Ответ: x=4.

7. Тригонометрическая подстановка

Пример1:

Решение: ОДЗ:. Это наводит на мысль применить функции sint и cost. ,

Пусть x=cost , так как в этом случае cost принимает все значения из и при том только один раз. Поскольку , то.

Из найденных значений t промежутку принадлежит только

Пример2:

Решение:

Пусть тогда

Далее найдем:

Итак, уравнение имеет два корня x=0 и

Проверкой, убеждаемся, что корни удовлетворяют данному уравнению.

Ответ: x=0 и

8. Применение формул при решении уравнений

Пример1:

Решение:

Любая попытка избавиться от корня при помощи возведения в квадрат приведет к уравнению 6 степени (или выше), поскольку нет надежды алгебраически упростить уравнение, будем действовать по-другому.

Перепишем уравнение в виде:

Воспользуемся формулой которая верна при наше уравнение примет вид:

Теперь уже видно, что x=-1 есть корень уравнения (1) (он входит в ОДЗ). Других корней нет, поскольку при левая часть (1) положительна, а правая отрицательна.

Ответ: x=-1.

Пример 2:

Решение: область допустимых значений уравнения состоит из всех , при таких x имеют место равенства это позволяет после очевидных преобразований переписать исходное уравнение в виде.

Левая часть уравнения (2) есть возрастающая функция от х, будучи произведением возрастающих функций, значит, она может принимать значение 4 не более чем в одной точке, несложным подбором можно убедиться, что годится x=7.

Ответ: x=7.

9. Метод решения с использованием границ области определения уравнения

Пример1:

Решение:

Область определения допускает x=30 и x>30.

1) Проверим x=30:. получено верное числовое равенство. Cледовательно , x=30-корень уравнения.

2) Рассмотрим x>30. Тогда и

Т. е. любое x>30 не удовлетворяет уравнению. Остается единственное значение x=30.

Ответ:30.

Рассмотрим задачу, практически не допускающую решения другими методами.

Пример2:

Решение:

Область определения задается системой неравенств

Очевидно, что последовательное возведение уравнения в квадрат в данном случае не приводит ни к чему хорошему.

1)проверим граничное значение D x=12:

следовательно,x=12 – корень уравнения.

2)при х>12:

складывая эти неравенства, получим противоречие с условием задачи: при x>12 левая часть уравнения больше 26.

Ответ: 12.