Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

История математики в Индии

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов: «глаза» у индийцев, «крылья» у тибетцев также означало «два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти и десяти и т. д.

Очень рано у людей появились необходимость сообщать друг другу о том, что такое число предметов должно быть доставлено через столько-то дней или что каждое племя должно выставить такое–то число воинов. Со временем хозяйство племен становилось все более сложным и обширным, так что простое установление равночисленности при помощи счета на пальцах перестало удовлетворять людей.

С развитием производства и торговли счет распространяется на множества, содержащее все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерений расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т. п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами. Таким образом, возникновение и развитие арифметики связано с трудовой деятельностью человека, с развитием общества.

Математические сведения накапливаются в результате практической деятельности народов в течение тысячелетий, в эпохи о которых не существует письменных памятников.

Люди хорошо знакомы с математическими знаниями Вавилона и Древнего Египта, также подробно описана история математики в древней Греции. Одной из менее изученных является математическая наука древней Индии, которая во многих отношениях поучительна и знание которой, хотя бы в общих чертах, не только желательно, но и необходимо.

В Китае и Индии с древнейших времен существовал именно такой способ записи чисел. Кроме того, индийцы издавна проявляли глубокий интерес к большим числам и способам их записи. В одной из индийских книг говорится о состязании между женихами прекрасной Гопы. Предметом состязания были письменность, арифметика, борьба и стрельба из лука. Почти половина книги посвящена описанию состязаний по арифметике. Победитель Гаутама придумал шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, последним членом ее было 10 7+9·46.

Индийцы, владевшие уже мультипликативным принципом записи чисел, как раз между II и VI вв. н. э. познакомились с греческой астрономией. Это видно из того, что они переняли и общие теоретические положения этой астрономии, и многие греческие термины.

За две или полторы тысяча лет до начала нашего летосчисления были написаны древние индусские книги, называемые ведами. В этих книгах и их переделках, в так называемых сутрах, содержатся подробные правила для замены одной фигуры равновеликой ей другой, для разделения и складывания этих фигур. При этом пользуются главным образом прямоугольными треугольниками, стороны которых выражаются целыми числами. Ведам известны целочисленные прямоугольные треугольники следующих видов:

1) Со сторонами 3, 4, 5 и ему подобные, получаемые от умножения чисел 3, 4, 5 на одно и то же число.

2) Со сторонами 5, 12, 13 и ему подобные.

3) Со сторонами 8 , 15 , 17, и 12, 35, 37.

Строительное искусство требовало складывания фигур квадратной или многоугольной формы из квадратных плит или кирпичей. Эта задача, по всей вероятности, дала начало учению о треугольных, квадратных и вообще многоугольных числах.

Треугольными назывались числа: 1,3,6,10,15 и т. д. , квадратными – 1,4,9,16,25,и т. д. Если изобразить кирпичи точками, то эти числа представляют количество точек (кирпичей), необходимых для построения треугольной или квадратной фигуры при постепенном увеличении сторон их, как показывают чертежи.

Квадратные плиты (кирпичи) были основным строительным материалом в Индии, лишенном камня и дерева. Равновеликость фигур определялась по числу этих плит. Эта практическая задача строительного искусства выдвинула вопрос об определении чисел плит, необходимых для получения треугольной, квадратной или многоугольной фигуры с заданной величиной площади. Решение этой задачи требовало изучения свойств последовательностей чисел натурального ряда: 1,2,3,4; треугольных: 1,3,6,10,15; квадратных: 1,4,9,16. Этими вопросами занимались индусы.

В жизнеописания Пифагора рассказывается о пребывание его в Египет, Вавилон, Индии. Вероятно, многие приписываемые ему открытия, в том числе, учение о так называемых фигурных числах (треугольных, квадратных и т. д. ), были им вынесены из Вавилона и Индии, где это учение возникло из задач строительного искусства этих стран.

Расцвет индийской математики относится к 5-12 вв. (наиболее известные математики Ариабхата, Брахмагупта, Бхаскара). Индейцам принадлежат две основные заслуги. Первой из них является введение в широкое употребления современной десятичной системы счисления систематически употребление нуля для обозначения отсутствии данного разряда. Происхождение употреблявшихся в Индии цифр, называемых теперь «арабскими» , не вполне выяснено. Второй, еще более важной заслугой индийских математиков является создание алгебры, свободно оперирующей не только с дробями, но с иррациональными и отрицательными числами. Одно обычно при истолкновении решений задач отрицательные решения считаются невозможными. Вообще следует отметить, что в это время как дробные и иррациональные числа с самого момента своего возникновения связаны с измерением непрерывных величин, отрицательные числа возникают в основном из внутренних потребностей алгебры и лишь позднее получают самостоятельные значение. В тригонометрии заслугой индийских математиков явилось введение линий синуса, косинуса, синус-верзуса.

Основа этого способа заключатся в идее, что одна и та же цифра обозначает единицы, десятки, сотни или тысячи, в зависимости от того, какое место эта цифра занимает. Занимаемое место, в случае отсутствия каких-нибудь разрядов, определяется нулями, приписываемыми к цифрам. Окончательная разработка такой поместной, или позиционной, системы нумерации, идея которой была у вавилонян, есть величайшая заслуга индусов.

Восточные народы (Индии, Китая, Средней Азии) продолжали развитие математики. Их достижения постепенно проникают и в Европу: около 1000-го года - наша современная нумерация, около 1200-го года – индусская арифметика, почти совпадающая с нашей. Как теперь известно, индусы примерно в то же время стали разрабатывать алгебру, но Европа ознакомилась с подлинными индусскими математическими работами лишь в XIX столетии, поэтому они на развитие европейской математики не оказали влияние.

Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя было принято в Индии еще в VIII веке до н. э. однако без дробной черты.

Широко известны математики древней Индии Ариабхатта (Vв), Брахмагупта (VIIв), изложивший правила действий с дробями, мало отличавшиеся от наших, и Бхаскара (XIIв). Бхаскара написал книгу под названием «Лилавати», то есть «Прекрасная» (наука арифметики).

Индийские ученые нередко излагали арифметические задачи в стихах. Вот один пример одной древнеиндийской задачи (математика Сриддхары XIв):

«Есть кадамба цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда

И на не третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Ее трижды сложи

И тех пчел на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе место нигде

То летала то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждаясь.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралося. »

Индийские математики изобрели алгебру, свободно оперирующую не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Интересно отметить, что индийские математики интерпретировали понятия о положительных и отрицательных величинах преимущественно при помощи представления об имуществе и долге. Исходя из этого, без достаточно теоретического обоснования они даже знали истолкования действий с отрицательными числами. Вот правила сложения и вычитания, изложенные индийским математиком Брахмагуптой в VII веке:

1. Сумма двух имуществ есть имущество.

2. Сумма двух долгов есть долг.

3. Сумма имущества и долга равна их разности.

4. Сумма имущества и равного долга равна нулю.

5. Сумма нуля и долга есть долг.

6. Сумма нуля и имущества есть имущество.

7. Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом.

8. Имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом.

Другой индийский математик Бхаскара писал: «Произведение двух имуществ есть имущество, результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило имеет место при делении. Квадрат имущества или долга есть имущество. Корень имущества: один имущество, другой долг.

Многие математические сочинения были написаны в стихотворной форме. Математические правила, например, правило знаков формулировались в коротких строчках, и заучивались наизусть.

Например: Минус на минус дает только плюс.

Отчего так бывает сказать не боюсь.

Индийские ученые решали системы неопределенных уравнений первой степени со многими неизвестными. А вот задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме. Правило Брахмагупты, по существу, совпадает с нашим.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна задача знаменитого индийского математика Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее этой задаче уравнение: (Х/8)2 + 12 = х, Бхаскара пишет под видом Х2 – 64Х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32, получая затем:

Х2 -64Х + 322 = -768 + 1024

(Х – 32)2 = 256

Х1 = 16, Х2 = 48.

Индусские математики при решении уравнений смелее применяли те же правила, что и Диофант, и при решении уравнений стали рассматривать и отрицательные корни как долг или расход и обозначали точкой над числом или крестиком рядом с ним. Но еще индусский математик XII века заявляет, что «люди таких чисел не одобряют». Равноправность положительных и отрицательных чисел была признана в математике лишь в XVII веке.

Кроме того, индийцы владели правилами для решения ряда других задач, которые в настоящее время решаются алгебраически при помощи уравнений. Среди этих правил большой популярностью у них пользовалось правило ложного положения (ложное правило) и правило обращения.

Арифметические фокусы – честные и добросовестные фокусы. Весь секрет арифметического фокуса состоит в тщательном изучении и использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями.

В древнеиндийской повести «Наль и Дамаянти» находим такой фокус. Наль, умевший превосходно править лошадьми, вез однажды счетчика-виртуоза Ритуперна мимо развесистого дерева Вибитаки.

Вдруг он увидел вдали Вибитаку – ветвисто – густою сенью покрытое дерево.

«Слушай, - сказал он. – здесь на земле никто не знает всезнания, в искусстве править конями ты первый, зато мне далося искусство счета»

И в доказательство своего искусства счетчик мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну своего искусства, и тот соглашается.

«Лишь только вымолвил слово свое Ритупен, как у Наля открылись очи, и он все ветки, плоды и листья Вибитаки разом мог пересчесть»

Секрет искусства состоял в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножение этого числа на число веток каждого сука и далее – на число сучьев дерева, предполагая, что все сучья одинаково обросли ветками, а ветки – листьями.

Когда в XIII столетии индусские цифры появились в Европе и для большинства людей были непонятными, их считали какими-то тайными знаками, тайнописью. Тайнопись (письмо какими-нибудь условными знаками называется шифром. Слово «шифр» происходит оттого же корня: «цифр». Такое словопроизводство объясняется тем, что сущностью индусской нумерации , как бы « тайнописи» для европейцев , был знак нуля; поэтому его первоначальное название «цифр» стало названием всей арифметической «тайнописи», которую представляли индусские цифры.

Индусы обозначали пустой разряд в числе сначала точкой, потом кружочком. Во многих языках нуль долго называли кружочком. Правдоподобным является образование формы нуля, как обозначение пустого места в записи числа, из первоначального знака, который был заменен более удобным для письма кружком.

Индусские правила действий над целыми числами отличались от наших лишь тем, что все действия начинались слева, с высших разрядов. Индусы писали на дощечках, усыпанных порошком, поэтому им легко было «стереть» написанную цифру заменить новой, если действие над следующим разрядом давала результат, часть которого надо было прибавить к высшему разряду.

Проценты были известны индийцам еще в Vв. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В Европе десятичные дроби появились на тысячу лет позже, их ввел бельгийский ученый С. Стевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.

До XVI века пропорции записывались большей часть словесно или сокращенно. Были сделаны разные попытки введения специального обозначения для пропорций. Так, в одной индийской рукописи XII века пропорция 10 : 163/60 = 4 : 163/150 записывалась следующим образом : 10 163 4 163

1 60 1 150

Задачи с пропорциональными величинами раньше назывались, а иногда теперь называются задачами на «тройное правило», так как в них по трем данным числам находится четвертое пропорциональное.

Тройное правило рассматривается в трудах индийских ученых Ариабхатты, Брахмагупты, Сриддхары, Бхаскары и др. Само название «тройное правило» - индийского происхождения.

Несколько исторических индийских задач:

Две задачи Бхаскары.

1. Из множества чистых листков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишну – шестую, четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

2. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого рупий?

Старинная задача.

Летело стадо гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!». Те ему отвечают: «Нет, нас не сто гусей! Если бы нас было еще столько же, сколько есть, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь с нами, тогда нас было бы ровно сто гусей. » Сколько их было?

Из «Бахшалийской рукописи»:

1. Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.

2. Из четырех жертводателей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. сколько дал первый?

Самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Современные цифры возникли примерно 1500 лет назад в Индии. Это не значит, что они с самого начала имели современный вид. В течение многих столетий, переходя от народа к народу старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму. Индусский народ ввел особый знак для обозначения отсутствующего разряда чисел. «Индусы изобрели нечто, чтобы обозначить ничто». Без этого знака – нынешнего нуля наша система счисления не имела бы тех преимуществ перед всеми бывшими и существующими другими системами счисления.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)