Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Старинные задачи на составление уравнений

Алгебра - очень важный и крупный раздел математики, который выделился из арифметики. Характерной чертой алгебры являются также и то, что для обозначения чисел она применяет буквы: a, b, c, d, , x, y, z, , A, B, C, ,X, Y, Z, и пользуется значительно более богатой символикой, чем арифметика.

Происхождение самого слова "Алгебра" не вполне выяснено. По мнению большинства исследователей этого вопроса, слово алгебра происходит от арабских слов "аль-джабр" и "аль-мукабала", т. е. учение о перестановках, отношениях и решениях, но некоторые авторы производят алгебру от имени математика Гебера, самое существование которого, однако, подвержено сомнению.

История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи, связанные с уравнениями, решались еще в Древнем Египте и Вавилоне. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времен и народов.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. Некоторые алгебраические приемы решения уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Немало свойств, правил и действий над величинами приемов знали ученые Древней Греции. Однако они выражали их в геометрической форме.

«Геометрическая алгебра» широко применялась в древнегреческой математике, на ней основывались важнейшие труды Евклида, Архимеда, Аполлония и многих других ученых. Следы геометрической алгебры встречаются поныне в терминах «квадрат» числа, «куб» числа и т. д. Геометрическая алгебра сыграла важную роль на первом этапе развития алгебры не только в Древней Греции, но и в странах ислама, однако её возможности были весьма ограниченны. Геометрическая алгебра была хороша лишь для решения квадратных уравнений. Для представления произведения трех величин уже нужно было пользоваться пространственными фигурами, например кубом или параллелепипедом, а геометрическое представление произведения четырех сомножителей и больше вообще было невозможным. Вот почему в XVI-XVII вв. методы геометрической алгебры стали стеснять дальнейший прогресс науки и сдерживали развитие алгебры.

Процесс освобождения алгебры от геометрической формы и создание буквенной символики начался в Древней Греции Диофантом и был продолжении в Индии и в средние века в Европе. Буквенная символика оказалась более удобна для записи алгебраических выражений, их преобразований и обозрения сделанного. В истории развития алгебры она вырабатывалась на протяжении многих столетий.

Первое дошедшее до нас сочинение, содержащее исследование алгебраических вопросов - трактат Диофанта, жившего в середине IV века. В этом трактате мы встречаем, например, правило знаков (минус на минус дает плюс), исследование степеней чисел и решение множества неопределенных вопросов, которые в настоящее время относятся к теории чисел. Из 13 книг, составлявших полное сочинение Диофанта, до нас дошло только 6. В них решаются уже довольно трудные алгебраические задачи. Нам не известно о каких бы то ни было других сочинениях об алгебре в древности, кроме утерянного сочинения знаменитой дочери Теона – Гипатии. Европейски математики XII-XV вв. шли по стопам арабских, среднеазиатских и античных ученых. Лишь начиная с XVI века в Европе происходят значительные сдвиги в развитии алгебры. В Европе алгебра появляется только в эпоху Возрождения и именно от арабов. Первоначально алгебра была полностью риторической, все писалось словами, не использовались никакие символы. Затем наступил период синкопированный алгебры, когда некоторые, наиболее часто встречаемые понятия, выражались в виде сокращений соответствующих слов, например, вместо слова «сложить» писали букву p, а вместо «вычесть» - букву m (это начальные буквы соответствующих латинских слов plus – сложить и minus- вычесть).

Символизация алгебры продолжалась несколько столетий и наука приобрела современную форму лишь в начале XVIII века. В основном, этому способствовали Виет (1540-1603), Декарт (1569-1650) и Ньютон (1643-1727).

В Англии первый трактат об алгебре принадлежит Роберту Рекорду, преподавателю математики и медицины в Кембридже. Он впервые ввел знак равенства (=). Английские математики XVII века, Гарриот и Уильям Отред ввели в математику знаки, < и >, а также x – в качестве знака умножения.

Громадные успехи сделала алгебра после сочинений Виета, который обозначил величины, входящие в уравнение буквами, и тем придал алгебре ту общность, которая составляет особенность алгебраических исследований нового времени. Виет четко разграничил буквенные обозначения неизвестных и известных величин: первые обозначались гласными буквами латинского алфавита (A, E, J и т. д. ), а вторые – согласными (M, N, P и т. д. ). Виета заслуженно называют отцом символической алгебры. Но это не значит, что в его символике не было пробелов и недостатков. Так, например, у него не было общего обозначения степени.

Почти окончательная отшлифовка алгебраической символики была достигнута к середине XVII в. Выдающийся французский математик Рене Декарт придал ей вид, весьма близкий к современному. Значительное улучшение системы алгебраических обозначений Декартом выразилось в некоторых нововведениях. Он ввел буквы a, b, c, для обозначения общих буквенных коэффициентов. Он ввел обозначение переменных и искомых величин знаками x, y, z,. Ему принадлежит нынешнее обозначение степени x4, a5,.

Указанные поправки и дополнения к символике Виета позволили Декарту предложить такую запись формул алгебры, которой придерживаются почти полностью и до наших дней. Вот сколько длительным и кропотливым был путь, пройденный алгеброй, прежде, чем она приобрела свою своевременную символику.

Таким образом, любую алгебраическую задачу можно записать как словами так и символами. Решим же предложенные задачи именно таким путем.

Старинные задачи на составление уравнений

Задача №1.

Отец дает детям деньги, старшему – половину денег и еще 1 рубль, среднему - половину остатка и еще 1 рубль, младшему – половину остатка и последние 3 рубля. Сколько было денег у отца?

Запишем условие задачи:

На родном языке На языке алгебры

У отца были деньги

Старшему сыну отец дал половину денег и еще 1 рубль + 1

Среднему - половину остатка и еще 1 рубль + 1

Младшему – половину остатка и последние 3 рубля + 3

Решаем уравнение:

+ 1 + + 1 + + 3 = x x = + 1 + + 1 + + 3

- - - = 5

= 5 x = 5∙8 x = 40

Ответ: у отца было 40 рублей.

Примечание: при решении задачи подразумеваем, что 1, 1 и 3 рубля отец дает из какой-то другой суммы денег. Если же все деньги даны из одной суммы, то задача имеет другое решение:

На родном языке На языке алгебры

У отца были деньги

Старшему сыну отец дал половину денег и еще 1 рубль + 1=+=

У отца осталось денег x-=

Среднему - половину остатка и еще 1 рубль + 1=

У отца осталось денег - =

Младшему – половину остатка и последние 3 рубля + 3 =

Решим уравнение:

- x = -

-= - x =-∙ (-8) x = 30

Ответ: у отца было 30 рублей.

Задача №2.

Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих денег и ещё 1 рубль, второму купцу – половину оставшихся денег и ещё 2 рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да ещё 1 рубль. После денег у крестьянина не осталось. Сколько было у него денег?

Запишем условие задачи:

На родном языке На языке алгебры

У крестьянина были деньги x

Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих + 1

денег и ещё 1 рубль

Крестьянин, покупая товары, уплатил второму купцу – половину + 2

оставшихся денег и ещё 2 рубля

Крестьянин, покупая товары, уплатил третьему купцу половину + 1

оставшихся денег да ещё 1 рубль

Решаем уравнение:

+ 1 + + 2 + + 1 = x x = + 1 + + 2 + + 1

- - - = 4

= 4 x = 4∙8 x= 32

Ответ: у крестьянина было 32 рубля.

Примечание: при решении задачи подразумеваем, что 1, 2 и 1 рубль купец дает из какой-то другой суммы денег. Если же деньги оплачиваются из одной суммы , то задача имеет другое решение:

На родном языке На языке алгебры

У крестьянина были деньги x

Крестьянин, покупая товары, уплатил первому купцу половину своих + 1=

денег и ещё 1 рубль

У крестьянина остались деньги x - =

Крестьянин, покупая товары, уплатил второму купцу – половину + 2 =

оставшихся денег и ещё 2 рубля

У крестьянина остались деньги - =

Крестьянин, покупая товары, уплатил третьему купцу половину + 1=

оставшихся денег да ещё 1 рубль

Решаем уравнение:

+ + = x

-= - x = - ∙ (- 8) x = 18

Ответ: у крестьянина было 18 рублей.

Задача №3. Торговец, имея сотню лимонов, роздал их трём разносчикам, с тем, чтобы они продавали их по одной и той же цене. Возвратившись домой, первый отдаёт хозяину вырученные от продажи 180 копеек и оставшиеся 4 лимона, второй отдаёт 160 копеек и 3 лимона, третий отдаёт 120 копеек и 1 лимон. Сколько лимонов было дано каждому для продажи?

На родном языке На языке алгебры

Один лимон стоит какое-то количество копеек x

Первый разносчик продал некоторое количество лимонов

После продажи у первого разносчика осталось 4 лимона 4

Первый разносчик получил от торговца какое-то количество лимонов + 4

Второй разносчик получил от торговца некоторое количество лимонов + 3

Третий разносчик получил от торговца какое-то количество лимонов + 1

Первоначально торговец имел 100 лимонов + 4 + + 3 + + 1 = 100

Решаем уравнение:

+ 4 + + 3 + + 1 = 100

+ 8 = 100

= 92 x = 460:92 x = 5

180:5 + 4 = 40 (лимонов) - продал первый разносчик

180:5 + 3 = 35 (лимонов) - продал второй разносчик

180:5 + 1 = 25 (лимонов) - продал третий разносчик

Ответ: 40 лимонов, 35 лимонов, 25 лимонов.

Задача №4. Продавая аршин сукна по 5 рублей, торговец получил бы на всём остатке этого сукна 12 рублей прибыли. Продавая же по 3 рубля, он получил бы 12 рублей убытку. Как велик остаток сукна и почём ему самому обошелся аршин его?

На родном языке На языке алгебры

Торговец приобретает остаток сукна x

Продавая его по цене 5 рублей, он за весь кусок получает некоторую 5x сумму денег

При этом он получает прибыль 12

При покупке сукна торговец заплатил некоторую сумму денег 5x - 12

Продавая его по цене 3 рублей, он за весь кусок получает некоторую 3x сумму денег

При этом он получает убыток 12

При покупке сукна торговец заплатил некоторую сумму денег 3x + 12

Торговцу остаток сукна обошёлся в некоторую сумму денег 5x – 12 или 3x + 12

Решаем уравнение:

3x + 12 = 5x - 12

3x – 5x = -12 – 12

-2x = -24 x = -24: x=12

3∙12 + 12 = 48

48:12 = 4

Ответ:12 аршин длина куска и 4 рубля его закупочная цена.

Задача №5. Двое выехали одновременно из одного города в другой. Первый ехал по 12 верст в час и приехал на место двумя часами раньше второго, который ехал по 9 верст в час. Какое расстояние между городами?

На родном языке На языке алгебры

Первый путник ехал некоторое время x

Он проехал какое-то расстояние со скоростью 12 вест в час 12x

Второй путник ехал на два часа дольше, чем первый x + 2

Он проехал такое же расстояние, как и первый со скоростью 9 верст в 9∙

Расстояние между городами 12x или 9∙

Решаем уравнение:

12x = 9∙

12x = 9x + 18

12x – 9x = 18

3x =18 x = 18:3 x = 6 (часов) – ехал первый путник

12 ∙ 6 = 72

Ответ: 72 версты расстояние между городами.

Задача №6. Из множества цветков чистых цветков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишпу – пятую, Солнцу шестую, четвёртую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?

На родном языке На языке алгебры

Всего было цветков x

В жертву Шиве принесли третью долю

В жертву Вишпу - пятую

В жертву Солнцу - шестую

В жертву Бхавани - четвёртую

Остальные шесть цветков получил уважаемый учитель 6

Решаем уравнение:

+ + + + 6 = x

+ + + + 6 =

6 = - - - -

= 6 x = 6∙20 x = 120

Ответ: было 120 цветков

Задача №7. Практически не сохранилось фактов биографии замечательного древнего александрийского математика Диофанта, жившего в 3 веке. Всё, что известно о нем, взято из надписи на его надгробии, составленной в форме математической задачи. Вот эта надпись:

На родном языке На языке алгебры

Путник! Здесь прах погребён Диофанта. И числа поведать могут, x сколько долг был век его жизни.

Часть шестую его представило прекрасное детство.

Двенадцатая часть протекла ещё жизни – покрылся пухом тогда подбородок.

Седьмую в бездетном браке провёл Диофант.

Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением сына. 5

Коему рок половину лишь жизни дал на земле по сравнению с отцом.

И в печали глубокой Диофант прожил 4 года с тех пор, как сына x = + + + 5 + + 4

лишился.

Сколько лет жизни прожил Диофант?

Решаем уравнение: x = + + + 5 + + 4 x - - - - = -5 – 4

- - - - = -5 - 4

- - - - = 5 + 4

9x = 9∙84 x = x = 84

Ответ: 84 года прожил Диофант.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)