Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Сравнение алгебраического и геометрического способов решения задач

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития. Психология уже свыше ста лет занимается исследования решения задач человеком. Особый интерес представляет общая характеристика этого процесса, описанная известным психологом Сергеем Леонидовичем Рубинштейном (1889 – 1960). Он характеризовал решение задач человеком как процесс их переформулирования, в котором производится анализ условий и требований задачи. Как же научиться правильно работать с задачей? Существует ряд пособий, в которых излагаются общие указания и рекомендации (эвристика) по поиску решения задач. В первую очередь, это книги Д. Пойя, Л. М. Фридмана и Е. Н. Турецкого. Чтобы результативно потрудиться над задачей, надо освоить такой подход, при котором она выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – объект конструирования и изобретения. Хорошее подспорье при этом – умение создавать модель задачи, заменять условие удачной моделью. Оно помогает вникнуть в текст задачи, установить связь между величинами. Многие алгебраические задачи успешно решаются с помощью геометрических (графических и графико-вычислительных) приемов. Решение осуществляется на основе построения чертежей – диаграмм, графиков, служащих своеобразной моделью задачи. Построение чертежей дает возможность «увидеть» задачу – исследовать связи между величинами, выбрать кратчайший путь решения. Замысел применения диаграмм и графиков для решения алгебраических задач принадлежит Александру Исааковичу Островскому. К сожалению, в рамках школьной программы этот метод не изучается. Поэтому целью нашей работы и явилось самостоятельное изучение графических методов решения задач по книге А. И. Островского и Б. А. Кордемского «Геометрия помогает арифметике», вышедшей в 1960 году.

Данная работа состоит из двух частей. В первой части кратко излагается суть метода, предложенного А. И. Островским и Б. А. Кордемским. Вторая часть представляет собой целиком самостоятельное исследование: сравнение алгебраического и геометрического способов решения ряда задач из учебников по алгебре, из заданий вступительных экзаменов и ЕГЭ. Зачастую геометрический подход не только более понятен и прост, но и дает мгновенный ответ к задаче. Очень важное достоинство – в наглядности: на диаграмме видна связь между величинами, она помогает расширить задачу (поставить и решить более общие вопросы), глубже проникнуть в существо задачи, ощутить реальность результата и промежуточных действий, получить истинное удовольствие от красоты и изящества решения. Если вы хотите научиться решать задачи, то решайте их!

Диаграмма – чертеж или рисунок, на котором условно изображены в виде отдельных фигур различные значения одной и той же величины или нескольких сравниваемых величин.

График – это обычно некоторая линия (реже - совокупность отдельных точек), определенным образом расположенная относительно осей координат.

Применяя диаграммы к решению задач, мы будем изображать подходящими геометрическими фигурами (часто даже просто отрезками) численные значения величин, входящих в условие задачи; действия над числами мы заменим соответственными построениями на диаграмме.

Построение диаграмм и графиков, а также применение их к решению - арифметических и алгебраических задач основаны на законах геометрии. В решении арифметических задач геометрическими способами используются два приема:

1. Конструктивный прием (чисто графический). Диаграмма или график вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой, угольником на миллиметровой бумаге или бумаге в клеточку, Ответ получается приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.

2. Вычислительный прием (графико-вычислительный) Чертеж выполняется от руки – в виде наброска, эскиза.

Применение диаграмм и графиков к решению задач может в одних почти полностью заменить чисто вычислительные приемы, а в других – облегчить наилучший выбор неизвестного для составления уравнения, или подсказать ход рассуждения для отыскания арифметического решения.

Очень часто рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Поэтому в таких задачах целесообразно представлять это произведение в виде площади какой-либо фигуры, т. е. в виде двумерной диаграммы.

Раздел II Теорема и построения.

Теорема . Если через произвольную точку Е диагонали AC прямоугольника* ABCD проведены прямые FGAB и HJAD то

1. образовавшиеся прямоугольники HBGE и FEJD равновелики;

2. прямоугольники ABGF и AHJD также равновелики;

3. отрезки FH, DB и JG параллельны.

Построение 1. Преобразовать данный прямоугольник ABGF в равновеликий ему c заданным основанием AH, лежащим на стороне AB, причем AH

Проведем прямую HH1, перпендикулярно стороне AH; она пересечет сторону FG в точке E. Проведем прямую AE до пересечения с продолжением BG в точке C. Точка C определяет высоту BC искомого прямоугольника с основанием AH.

Действительно, достраивая полученную фигуру до прямоугольника ABCD, получаем, на основании вспомогательной теоремы, что прямоугольник AHH1D с заданным основанием AH равновелик прямоугольнику ABGF.

Построение 2. Преобразовать данную фигуру AEFGCD, составленную из двух смежных прямоугольников ABCD и BEFG в равновеликий прямоугольник с основанием AE.

Продолжим FG до пересечения со стороной AD в точке H. Построим прямоугольник HFJD и проведем его диагональ HJ. Точка k пересечения HJ и BC определяет высоту BK искомого прямоугольника AELM с заданным основанием АЕ.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)