Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса
Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Метод Гаусса.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, a3x + b3y + c3z = d3.
Систему 1 записывают короче: aix + biy + ciz = di, где i = 1,2,3
Здесь ai, bi, ci, di - некоторые заданные числа, а х, у, z - искомые неизвестные. Как известно, тройка чисел (х0; у0; z0) называется решением системы 1, если при подстановке их в уравнения системы вместо х, у, z получаются верные числовые равенства.
Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнения системы 1 равны нулю: ai = bi= ci = 0, i = 1,2,3.
В этом случае, если все свободные члены уравнений системы равны нулю: d1 = d2 = d3 = 0 , то, очевидно любая тройка чисел (х; у; z) является решением этой системы. Если же не все свободные члены уравнений равны нулю, то система не имеет решений.
Рассмотрим теперь случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 1 равны нулю. Пусть, например, с3 = 0, тогда данная система эквивалентна следующей: a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2, x + y + z =.
Последнее уравнение этой системы умножим на с1 и вычтем почленно из первого уравнения, в результате получим уравнение:
(а1 - с1) х + (b1 - с1) у = d1 - с1(2)
Аналогично, умножая последнее уравнение на с2 и вычитая почленно из второго уравнения, получаем:
(а2 - с2) х + (b2 - с2) у = d2 - с2(3)
Очевидно, что система
(а1с3- а3с1) х + (b1c3 - b3c1) y = d1c3 - d3c1,
(а2с3- а3с2) х + (b2c3 - b3c2) y = d2c3 - d3c2, x + y + z =. (4) у которой первое уравнение получается из второго, второе - умножением на c3, эквивалентна системе 1.
Таким образом, если c30, то исследование системы 1 сводится к исследованию системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
(а1с3- а3с1) х + (b1c3 - b3c1) y = d1c3 - d3c1,
(а2с3- а3с2) х + (b2c3 - b3c2) y = d2c3 - d3c2.
Рассмотрим сначала случай, когда все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю. Тогда, если свободные члены системы 5 равны нулю, то любая пара чисел является решением системы 5 и, следовательно, любая тройка чисел (х; у; z), где хR, уR, z = - x - y , является решением системы 1. Если же хотя бы у одного из уравнений системы 5 свободный член отличен от нуля, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.
Рассмотрим случай, когда не все коэффициенты уравнений системы 5 равны нулю.
Пусть, например, b2c3 - b3c20.
Первое уравнение системы 5 умножим на b2c3-b3c2, второе - на (b1c3 - b3c1) и сложим; после очевидных преобразований получим уравнение , где a1 b1 c1n
= a2 b2 c2 a1 b1 c1 a3 b3 c3 x = a2 b2 c2 a3 b3 c3
Таким образом, если b2c3 - b3c20, то система 5 эквивалентна системе: , x + y =.
Если = = 0, то, очевидно, любая пара чисел (х; у), где хR, у = - х, (6) является решением системы 5.
Из 6 и последнего уравнения системы 4 находим z = - х,(7)
Следовательно, если ==0 и b2c3 - b3c20, то любая тройка чисел
(х; у; z), где хR, а у и z находятся по формулам 6 и 7, являются решением системы 1.
Если =0, а 0, то система 5, а следовательно, и система 1 не имеют решений.
Пусть теперь 0. Тогда х =. Подставив это значение x во второе уравнение системы 5, найдем: у = , a1 d1 c1 где = a2 d2 c2
a3 d3 c3
Наконец, подставив полученные значения x и y в третье уравнение системы 4, получим z = , a1 b1 d1 где = a2 b2 d2 a3 b3 d3
Следовательно, если 0, то система 1 имеет единственное решение, которое находится по формулам х = , у = , z =. (8)
Эти формулы называются формулами Крамера. Определитель называется определителем системы 1. Таким образом, доказаны следующие утверждения:
– если определитель линейной системы не равен нулю, то система имеет единственное решение;
– если же определитель системы равен нулю, то она или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.
Заметим, что определители , , , входящие в формулы Крамера, получаются из определителя заменой столбца из коэффициентов при соответствующих неизвестных на столбец из свободных членов.
Метод исследования и решения системы 1, который только что рассмотрен, называется методом исключения неизвестных или методом Гаусса.
При условии c3 0 из третьего уравнения системы 1 неизвестное выражается через х и у и это значение для z подставляется в первое и второе уравнения. В результате получается система двух уравнений с двумя неизвестными. В этом случае говорят, что система трех уравнений с тремя неизвестными исключением неизвестного z сводится к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Заметим, что вместо z можно исключить любое неизвестное и что исключаемое неизвестное можно находить из любого уравнения, в которое оно входит.
Пример 1: Решить систему: х=3,
2х+у=8,
4х-2у-z=3.
Решение: подставив х=3 во второе уравнение системы, получим: у=8-2х=8-2 х 3=2. Подставив в третье уравнение системы х=3, у=2, получим: z=4х-2у-3=4 х 3-2 х 2-3=5.
Ответ: х=3, у=2, z=5.
Пример 2. Решить с помощью определителей систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
2х+3у+z=14,
3х-у+2х=5, х+2у-z=7.
Решение: вычислим определитель системы
= 3 -1 2 = 2 х (-3) -3 х (-5) + 1 х 7 =16.
Так как 0, система имеет единственное решение. Вычислим теперь , , :
= 5 -1 2 = 14 х (-3) - 3 х (-19) +1 х 17 = 32.
7. 2 -1
= 3 5 2 = 2 х (-19) - 14 х (-5) + 1 х 16 = 48,
1. 7 -1
= 3 -1 5= 2 х (-17) - 3 Х 16 + 14 х 7 = 16.
Подставив найденные определители в формулы Крамера, получим: х = = ; у = = ; z = =.
Ответ: (2; 3; 1).
Примеры решения систем линейных уравнений методом Крамера, матричным способом и методом Гаусса.
Пример 1: решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.
5x-3y=16, x+2y=11.
Решение: выпишем и вычислим ∆, ∆x, ∆y:
∆= a1b2-a2b1;
∆=5x2-1x(-3)=10+3=13;
∆x=c1b2-c2b1;
∆x=16x2-11x(-3)=31+33=65;
∆y=a1c2-a2c1;
∆y=5x11-1x16=55-16=39; тогда
∆x65 x=, x==5,
∆y39 y=,y==3.
Ответ: x=5; y=3.
Пример 2: решить систему
3x+5y=0,
9x+15y=0.
Решение: вычислим ∆:
∆=3x15-9x5=0
Так как ∆=0, то система имеет бесконечное множество решений.
При решении систем двух уравнений с двумя неизвестными возможны три различные случая:
1) система имеет единственное решение;
2) система не имеет решений;
3) система имеет бесконечное множество решений.
Пример 3: решить систему уравнений методом Гаусса.
3x1-2x25x3+x4=3,
2x1-3x2+x3=5x=-3, x2+2x2-4x4=-3, x1-x2-4x3=9x4=22,
Решение: запишем вместо 1 уравнения 3 уравнение.
x1=2x2-4x=-3,
3x1-2x2-5x3+x4=3,
2x1-3x2+x3+5x4=-3, x1-x2-4x3+9x4=22.
1)умножим 1 уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением, результат запишем во второе уравнение;
2) 1 уравнение умножим на (-2) и сложим с третьим уравнением, результат запишем в 3 уравнение;
3) 1 уравнение умножим на (-1) и сложим с четвёртым уравнением, результат запишем в 4 уравнение.
x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=12,
-7x2+x3+13x4=3,
-3x2-4x3+13x4=25.
1) 2 уравнение умножим на (-7) и 3 умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 3 уравнение;
2) 2 уравнение умножим на (-3) и 4 уравнение умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 4 уравнение.
x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=13,
43x3+13x4=-60,
-17x3+65x4=164.
Домножим 4 уравнение на (-5) x1+2x2-4x4=-3,
-8x2-5x3+13x4=12,
43x3+13x4=-60,
-232x3=464.
1) x3=464: (-232)=-2,
2) 43 (-2)+13x4=-60,
13x4=-60+86,
13x4=26, x4=2.
3)–8x2-5 (-2)+13 2=12,
–8x2+10+26=12,
-8x2=12-36,
-8x2=-24, x2=3.
4)x1+2 3-4 2=-3, x1+6-8=-3, x1=-3-6+8, x=-1.
Проверка:
1) 3 (-1)-2 3-5 (-2)==-3-6+10=2=12-9=3 3=3;
2) 2 (-1)-3 3+(-2)+5 2=-2-9-2+10=-13=10=-3 -3=-3;
3) –1+2 3-4 2=-1+6-8=-3 -3=-3;
4) –1-3-4 (-2)+9 2=-1-3+8+18=26-4=22 22=22.
Ответ: x1=-1; x2=3; x3=-2; x4=2.
Комментарии