Системы счисления

На уроках математики мы узнали, что, кроме десятичной, существуют и другие системы счисления. На уроках информатики мы познакомились с ними подробней. Из школьного курса математики нам знакомы признаки делимости на 2, 3, 5, 10 в десятичной системе счисления, нам стало интересно, а есть ли признаки делимости в других системах счисления, и как применяются системы счисления в нашей жизни.

Актуальность данной работы в том, что мы живем в век компьютерных технологий, а в электронных вычислительных машинах используется двоичная система счисления. При разработке программного обеспечения для компьютеров иногда возникает потребность сократить количество знаков в записи машинных чисел, тогда используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Свою жизнь мы бы хотели связать с профессией программиста, поэтому знания, полученные в ходе этой работы, пригодятся нам в будущем.

Непозиционная система счисления - система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос; в непозиционной системе цифры числа можно перемешивать, при этом сумма не изменяется. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система. В римской системе счисления - для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Римские цифры мы встречаем и сейчас, например, на циферблатах часов или в обозначении века (XIX век), но в математической практике они не используются.

Смешанной системы счисления являются денежные знаки (пример такой системы счисления).

Позиционная система счисления - система счисления, использующаяся для записи чисел ограниченное число знаков, интерпретация которых зависит от места в записи числа. Позиционные системы удобны тем, что не позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия.

Основание позиционной системы счисления - в широком смысле - конечный набор знаков (цифр), для представления чисел.

Основание позиционной системы счисления - в узком смысле - количество знаков, используемых для записи чисел в той или иной позиционной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз вес каждой цифры в записи числа меньше веса цифры, стоящей в старшем соседнем разряде.

Виды позиционных систем счисления.

Название Основание Алфавит

Двоичная система счисления 2 1 и 2

Восьмеричная система счисления 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7

Шестнадцатеричная система счисления 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,

Таким образом, существуют разные системы счисления и каждая из них, имеет свой алфавит и своё основание. Но мы заинтересовались только позиционными системами счисления, так как в повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, а она является позиционной.

Глава 2. Алгоритмы перевода из одной системы счисления в другую.

Чтобы вывести признаки делимости нам необходимо знать, как числа из десятичной системы счисления переводятся в другие и наоборот. Мы пользовались алгоритмами, приведёнными ниже.

Алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую:

Перевод из других систем счисления в десятичную систему счисления:

1. Разложить число N на разряды p (1С=1*161+13*160).

2. Посчитать полученное выражение(1С=1*161+13*160=16+13=29).

Перевод из десятичной системы счисления в другие системы:

1. Разделить число N на основание p.

2. Полученный остаток от деления даёт цифру, стоящую в нулевом разряде p-ичной записи числа N.

3. Полученное частное снова разделить нацело на p и снова запомнить полученный остаток – это цифра первого разряда, и т. д.

4. Такое последовательное деление продолжается до тех пор, пока частное не станет равным 0.

5. Цифрами искомого числа являются остатки от деления, выписанные слева на право, начиная с последнего полученного остатка.

Таким образом, с помощью этого алгоритма мы можем переводить числа из одной системы счисления в другую.

2) Кутугин Е. С. Арифметические и логические основы построения компьютера – 2007. - С. 15

Глава 3. Арифметические действия в разных системах счисления.

Мы изучили теорию и задали себе вопрос:

«А выполняются ли арифметические действия в других системах счисления?»

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию системы счисления.

Таким образом, мы научились выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, что позволило нам перейти к рассмотрению признаков делимости в этих системах счисления.

Глава 4. Признаки делимости

Каждый день на уроках математики мы пользуемся признаками делимости на 2, 3, 9, 5, 10 в десятичной системе счисления, известных нам из школьного курса. А существуют ли другие признаки делимости в десятичной системе счисления?

4. 1. Признаки делимости в десятичной системе счисления

Иногда возникает ситуация, когда нужно быстро определить, делится одно число на другое или нет. Как узнать, делится ли одно число на другое не прибегая к традиционному делению «уголком»? Для небольших делителей существует простые, легко запоминающие признаки.

Признаки делимости на 2: число n делится на 2 в том и только в том случае если его последняя цифра делится на 2.

Признаки делимости на 4: число n делится на 4 только в том случае, если на 4 делится число, образованное из 2 последних цифр числа n.

Признаки делимости на 8 число n делится на 8 в том случае, если на 8 делится трехзначное число, образованное из 3 последних цифр числа n.

Если мы рассмотрим внимательно признаки делимости на 2,4,8, то можно найти признаки делимости на 2m(m=1,2,3,4,). Число n делится на 2m в том и только в том случае, если на 2m делится m- значное число, которое образуют m последних цифр числа n.

Действительно, исходное число n можно представить в виде суммы двух слагаемых: одного кончающегося m нулями, и другое, образованного из m последних цифр числа n. Первое слагаемое делится на 10m, а значит, на 2m, поскольку 10m=5m*2m. Таким образом вопрос о делимости на 2m исходного числа всецело зависит от делимости на 2m второго слагаемого.

Признаки делимости на 5: число n делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5

Признаки делимости на 3: число n делится на 3, если сумма его чисел делится на 3.

Признаки делимости на 9: число n делится на 9, если сумма его чисел делится на 9.

Признак делимости на 7: число n делится на 7, если на 7 делится число p=n0+3n1+2n2-(n3+3n4+2n5)+(здесь n0,n1,n2,-цифры единиц, десятков, сотенчисла n), число n дает такой же остаток при делении на 7, как и число p.

Признаки делимости на 11: число n делится на 11, если сумма его цифр стоящая на нечетных местах, не отличается от суммы цифр стоящих на четных местах, и эта сумма не кратна 11. 4

В школьном курсе математики мы не встречаем признаков делимости на 7, 8 и 11, но они существуют.

4. 2. Признаки делимости в восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.

Признаки делимости в восьмеричной системе счисления.

Так как в электронно-вычислительных машинах используется не десятичная система счисления, а в основном двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная, то нас заинтересовал вопрос: «Существуют ли признаки делимости в этих системах счисления?»

Признак делимости на 2.

Пусть дано двузначное число аb8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

аb8 =8а+b

8а делится на 2,так как 8:2=4

Если b делится на 2, то число ab8 будет делиться на 2.

Пусть дано трёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abc8 = 82a+8b+c=64a+8b+c

64а делится на 2, так как 64:2=32

8b делится на 2, так как 8:2=4

Если с числа abc8 будет делиться на 2, то и число abc8 будет делиться на 2.

Пусть дано abcd8. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abcd8=83a+82b+8c+d=512a+64b+8c+d.

512a делится на 2, так как 512:2=256;

64b делится на 2, так как 64:2=32;

8с делится на 2, так как 8:2=4.

Если последняя цифра d числа abcd8 будет делиться на 2, то и число abcd8 будет делиться на 2.

Вывод: если последняя цифра числа делится на 2, то число делится на 2. 5

564 / 2 = 172

754 / 2 = 366

5) http://pmi. ulstu. ru/new_project/sistsch/dvvos. htm

Признак делимости на 3.

Пусть дано двухзначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

ab8=8а+b=6а+(2а+в)

6а делится на 3,т. к. 6:3=2.

Если сумма (2а+в) будет делиться на 3, то и число ab8 будет делиться на 3.

Пусть дано трёхзначное число аbc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbc8= 82а+8b+с=64а+ 8b+с=63а+6в+(а+2в+с).

63а делится на 3, т. к. 63:3=21

6bделится на 3, т. к. 6:3=2

Если сумма (а+2в+с) будет делиться на 3, то и число abc8 будет делиться на 3.

Пусть дано четырёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

аbcd8=8а3+8b2+8с+d=510а+63в+6с+(2а+в+2с+d).

510а делится на 3,т. к. 510:3=170

63b делится на 3, т. к. 63:3=21

6с делится на 3,т. к. 6:3=2

Если сумма (2а+в+2с+d) будет делиться на 3, то и число аbcd8 будет делиться на 3.

Вывод: если сумма цифр, занимающих нечётные места и сумма удвоенных цифр, занимающих чётные места, делятся на 3, то и само число делится на 3.

3234 / 3 = 1064

Признак делимости на 4.

Пусть дано двузначное число ab8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

ab8=8a+b

8a делится на 4, т. к. 8:4=2

Если b делится на 4, то ab8 будет делиться на 4.

Пусть дано трёхзначное число abc8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc8 = 82a+8b+c=64a+8b+c.

64a делится на 4, так как 64:4=16.

8b делится на 4,так как 8:4=2.

Если с делится на 4, то число abc8 будет делиться на 4.

Пусть дано abcd8. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abcd8=83a+82b+8c+d=512a+64b+8c+d.

512a делится на 4, так как 512:4=128;

64b делится на 4, так как 64:4=16;

8с делится на 4, так как 8:4=2.

Если d делится на 4, то число abcd8 будет делиться на 4.

Вывод: если последняя цифра числа делится на 4, то число делится на 4.

374 / 4 =77

5124 / 4 = 1225

Признак делимости на 7.

Пусть дано двухзначное число аd8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аb8=8а+b=7а+(b+a)

7а делится на 7, т. к. 7:7=1

Если сумма цифр (b+а) числа ab8 делится на 7, то число делится на 7.

Пусть дано трёхзначное число аbc8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbc8=82+8b+с=64а+8b+с=b3а+7b+(а+b+с)

63а делится на 7, т. к. 63:7=9

7b делится на 7,т. к. 7:7=1

Если сумма цифр (а+b+c) числа abc8 делится на 7, то число делится на 7.

Пусть дано четырёхзначное число abcd8. Выясним, когда оно будет делиться на 7.

аbcd8=83а+82b+8с+d=512а+64b+8с+d=511а+63b+7с+(а+b+d+c)

511а делится на 7, т. к. 511:7=73

63b делится на 7, т. к. 63:7=9

7с делится на 7, т. к. 7:7=1

Если сумма цифр (а+b+c+d) числа abcd8 делится на 7, то число делится на 7.

Вывод: если сумма цифр числа делится на 7, то число делится на 7.

464 / 7 = 54

7275 / 7 = 1033

Признаки делимости в шестнадцатеричной системе счисления.

Признак делимости на 2.

Пусть дано abc16. Выясним, когда оно будет делиться на 2.

abc16=162a+16b+c =256a+16b+c.

256a делится на 2, так как 256:2=128;

16b делится на 2, так как 16:2=8;

Если последняя цифра c числа abc16 будет делиться на 2, то и число abc16 будет делиться на 2. Аналогично можно провести доказательство для любого многозначного числа.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 2, если последняя цифра является четной (кроме четных десятичных цифр четными здесь также являются цифры А, С и Е).

358 / 2 = 1AC

52 / 2 = 29

74356 / 2 = 3A1AB

Признак делимости на 3.

Пусть дано abc16. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

abc16=162a+16b+c =256a+16b+c= 255a+15b+(a+b+c)

255a делится на 3, так как 255:3=85;

15b делится на 3, так как 15:3=5;

Если сумма цифр a,b и c числа abc16 будут делиться на 3, то и число abc16 будет делиться на 3.

Пусть дано abcd16. Выясним, когда оно будет делиться на 3.

abc16=163a+162b+16c+d =4096a+256b+16c+d= 4095a+255b+15c+(a+b+c+d)

4095a делится на 3, так как 4095:3=1365;

255a делится на 3, так как 255:3=85;

15b делится на 3, так как 15:3=5;

Если сумма цифр a,b,c и d числа abcd16 будут делиться на 3, то и число abcd16 будет делиться на 3.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 3, если сумма цифр делится на 3.

375 / 3 = 127

63 / 3 =21

8346 / 3 = 2BC2

Признак делимости на 4.

Пусть дано abc16. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc16=162a+16b+c =256a+16b+c

256a делится на 4, так как 256:4=64;

15b делится на 4, так как 16:4=4;

Если последняя цифра c числа abc16 будут делиться на 4, то и число abc16 будет делиться на 4.

Пусть дано abcd16. Выясним, когда оно будет делиться на 4.

abc16=163a+162b+16c+d =4096a+256b+16c+d

4096a делится на 4, так как 4096:4=1024;

256a делится на 4, так как 256:4=64;

16b делится на 4, так как 16:4=4;

Если последняя цифра c числа abc16 будут делиться на 4, то и число abc16 будет делиться на 4.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делится на 4, если последняя цифра делится на 4.

354 / 4 = D5

Признак делимости на 5.

Пусть дано abc16. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

abc16=162a+16b+c =256a+16b+c= 255a+15b+(a+b+c)

255a делится на 5, так как 255:5=51;

15b делится на 5, так как 15:5=3;

Если сумма цифр a,b и c числа abc16 будут делиться на 5, то и число abc16 будет делиться на 5.

Пусть дано abcd16. Выясним, когда оно будет делиться на 5.

abc16=163a+162b+16c+d =4096a+256b+16c+d= 4095a+255b+15c+(a+b+c+d)

4095a делится на 5, так как 4095:5=819;

255a делится на 5, так как 255:5=51;

15b делится на 5, так как 15:5=3;

Если сумма цифр a,b,c и d числа abcd16 будут делиться на 5, то и число abcd16 будет делиться на 5.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 5, если сумма цифр делится на 5.

815 / 5 = 19D

Признак делимости на 8

Пусть дано abc16. Выясним, когда оно будет делиться на 8.

abc16=162a+16b+c =256a+16b+c

256a делится на 8, так как 256:8=32;

16b делится на 8, так как 16:8=2;

Если последняя цифра c числа abc16 будут делиться на 8, то и число abc16 будет делиться на 8.

Пусть дано abcd16. Выясним, когда оно будет делиться на 8.

abc16=163a+162b+16c+d =4096a+256b+16c+d

4096a делится на 8, так как 4096:8=512;

256a делится на 8, так как 256:8=32;

16b делится на 8, так как 16:8=2;

Если последняя цифра c числа abc16 будут делиться на 8, то и число abc16 будет делиться на 8.

Вывод: Шестнадцатеричные числа делятся на 8, если последняя цифра делится на 8. Но если последняя цифра числа будет 0, то число тоже будет делиться на 8, потому что 8+8=10.

6570 / 8 =CAE

FC8 / 8 = 1F9

На основании найденного в литературе признака делимости на 2 в восьмеричной системе счисления, мы смогли доказать признаки делимости на 3, 4, 7 в восьмеричной и на 2, 3, 4, 5, 8 в шестнадцатеричной системах счисления.

Применение разных систем счисления

В двоичной системе счисления отсутствует механизм обнаружения ошибок, которые неизбежно возникают в компьютерных системах под влиянием внешних и внутренних факторов. В условия, когда человечество всё больше становится заложником компьютерной революции и всё чаще полагается на компьютер при решении сложнейших задач управления ракетами, самолётами и атомными реакторами, вопрос об эффективных механизмах обнаружения ошибок выдвигается на передний план.

Признаки делимости применяются для контроля правильности работы арифметических устройств, и этот контроль осуществляется специальным блоком в этом устройстве.

Различные системы счисления используются так же в кибернетике, машинной арифметике, теории игр, теории кодирования, теории искусственного интеллекта. 6

Заключение.

В ходе проделанной работы на примерах решениях практических задач мы подтвердили и доказали признаки делимости на 7, 8, 11 в десятеричной; на 2, 3, 4, 7 в восьмеричной и на 2, 3, 4, 7, 8 в шестнадцатеричной системах счисления.

Мы самостоятельно доказали признаки делимости:

1. В восьмеричной системе счисления на 2, 3, 4 , 7

2. В шестнадцатеричной системе счисления на 2, 3, 4, 5, 8

В перспективе мы намерены продолжить нашу работу, и рассмотреть следующие вопросы: доказать признаки делимости на A, B, С, D, E, F в шестнадцатеричной системе счисления и рассмотреть другие системы счисления и их признаки.