Симметрия в графиках функций

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Многие народы с древних времён владели представлением о симметрии в широком смысле - как эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Формы восприятия и выражения во многих областях науки и искусства, в конечном счёте, опираются на симметрию, используемую и проявляющуюся в специфических понятиях и сред-ствах, присущих отдельным областям науки и видам искусства.

Симметрия (от греческого symmetria - "соразмерность") - понятие, означающее сохраня-емость, повторяемость, "инвариантность" каких-либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.

Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противосто-ит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия – это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.

Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Асиммет-ричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов.

Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.

Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявле-ние божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии.

Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок.

Так, Пифагор (5 век до н. э. ), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.

Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт – существует всего пять правильных выпуклых многогранни-ков разной формы. Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыс-лители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было "совершенно симметрич-ным", оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Впервые ис-следованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подроб-но описаны Платоном. Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правиль-ным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее "катучее" тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Имен-но поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.

Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркально- поворотная и симметрия переноса.

Две точки А и А называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА. Точка О считается симметричной самой себе.

Точка М называется симметричной точке М относительно прямой а, если прямая ММперпендикулярна прямой а и МО=ОМ, где О—точка пересечения прямых ММ и а.

Преобразование фигуры F в фигуру F, при котором каждая ее точка переходит в точку, симметричную относительно данной прямой, называется преобразованием симметрии относительно прямой а. Прямая а называется осью симметрии.

Если при переносе плоской фигуры F вдоль заданной прямой АВ на расстояние а (или кратное этой величине) фигура совмещается сама с собой, то говорят о переносной симметрии. Прямая АВ называется осью переноса, расстояние а элементарным переносом или периодом.

Определение 1. Функцию y= f(x) , x X , называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x).

Свойство 1. График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Доказательство. Пусть y= f(x)—четная функция, тогда f(-x)=f(x). Рассмотрим произвольную точку графика M(x; f(х)) и точку М(- x; f (- x)). Так как функция у= f(х)—четная, то f(х)= f(-х) =>вторые координаты точек М и M равны. Точки графика М и M симметричны относи-тельно оси Оу. Так как М—произвольная точка графика, то, значит, график четной функции симметричен относительно оси Оу.

Определение 2. Функцию y=f(x), x X, называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x)= -f(x).

Свойство 2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Доказательство. Пусть y=f(x)—нечетная функция, тогда f(-x)= -f(x). Рассмотрим произволь-ную точку графика M(x; f(х)) и точку М(- x; f (- x)). Так как функция у= f(х)—нечетная, то f(х)=- f(х) =>вторые координаты точек М и M противоположны. Точки графика М и M симметричны относительно начала координат. Так как М—произвольная точка графика, то, значит, график четной функции симметричен относительно начала координат.

Рассмотрим графики: а) у=х

Докажем, что ось Оу является осью симметрии данного графика.

у(-а)=(-а) =а, y(a)=a=> y(a)=y(-a) => y=x - четная функция => ось Оу является осью симметрии данного графика.

Докажем, что никакая другая прямая не будет являться осью симметрии.

Предположим, что некоторая прямая х=х является осью симметрии, тогда у(x+ a)=(x+а)= х + 2ха + а

=> y(x+ a) у(x –a)=> у(x –a) =(x+а)= х - 2ха + а

⇨ прямая х=х не является осью симметрии данного графика.

б) y= ax+ bx+c.

Докажем, что для данного графика ось симметрии будет проходить через вершину параболы (x;y) параллельно оси Оу.

Первую координату вершины параболы можно вычислить по формуле: х= -. Рассмотрим произвольную точку графика M(x+а; у(х+а)) и точку М(x-а; у ( x-а)).

у(x+а)=а(x+а)+ b(x+а)+с=аx+2аx+а+bx+аb+с=

Значит, точки М и М симметричны относительно прямой, проходящей через вершину параболы y= ax+ bx+c. Следовательно, график данной функции симметричен относительно прямой х= -.

в) у= х.

Докажем, что начало координат будет точкой симметрии данного графика.

у(-x)=(-x) = -х=-у(х)=>у= х -нечетная функция (определение2) => центром симметрии данного графика является начало координат.

=> f(-x) =-f(x)=> у= -нечетная функция (определение2)=> центром f(-x)=- симметрии данного графика является начало координат (доказательство 2).

Определение 3. Две точки А и А называются симметричными относительно точки О, если О-середина отрезка А А, т. е. АО=О А.

д) у= kx+b

Графиком данной функции является прямая.

1. Каждая точка, принадлежащая этой прямой, будет являться ее центром симметрии, т. е. у этого графика бесконечно много центров симметрии.

Рассмотрим точку М(x;y). Пусть M( x; y)—точка графика данной функции, отличная от точки М, а точка М такая точка графика, что М M=М М. Тогда первая координата точки М равна 2 x- x. Убедимся, что точка М принадлежит графику данной функции.

у=k(2 x- x)+ b y= 2kx-kх+b y=2k у=2у-2b-у+b+b у=у

Следовательно, точка М принадлежит графику функции.

е) y=kx+ b

Осью симметрии данного графика будет являться прямая параллельная оси Оу и проходящая через некоторую координату (x;0), которая принадлежит графику функции.

ж) y=kx + b у(-х)= k-x+b= kx + b=у(х)=> функция y=kx + b является четной. Значит, она симметрична относительно оси Оу.

з)y=ах+ b│х│+с.

у(-х)=а(-х)+ b│-х│+с= ах+ b│х│+с=у(х). => ось Оу является осью симметрии данного графика.

и) y=│ax+bx+c│

При построении данного графика, сначала строим график у=ах+bх+с, затем часть полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, отражаем симметрично относительно этой оси. (1)

Так же мы знаем, что через вершину параболы (х;у) проходит прямая, параллельная оси ординат, которая является осью симметрии параболы. (2)

Из свойств (1) и (2), следует, что ось симметрии параболы является осью данного графика.

В этой работе были рассмотрены функции (в том числе содержащие знак модуля), графики которых имеют ось симметрии и (или) центр симметрии. Здесь отсутствуют тригонометри-ческие функции, которые по программе изучаются позже.