Пропорция - математика архитектурной гармонии

Архитектура - удивительная область человеческой деятельности, совокупность зданий и сооружений, пространство, созданное человеком и необходимое для его жизни. «Прочность - польза - красота» - такова знаменитая формула единого архитектурного целого. «Роль математики в формировании «прочности», «пользы» и «красоты» архитектуры очевидна», - считают многие. Они уверены в том, что красота зданий определяется пропорциями и математическими законами гармонии.

Я решила сама убедиться, что это так. Решила узнать, действительно ли пропорции придают некоторым зданиям необыкновенную красоту, которая поражает людей. Мне захотелось выяснить, есть ли такие здания в городе Барабинске.

В процессе работы мне пришлось прочитать много литературы, посетить архитектурный отдел города Барабинска, найти и сфотографировать здания, размеры которых гармонизируются приведением их к пропорциональным соотношениям.

Гордостью древнерусской архитектуры является церковь Покрова на Нерли, построенная в 12 веке.

В чём красота и очарование церкви Покрова на Нерли? Ведь она имеет скромные размеры, её архитектурные формы крайне просты, а белокаменные украшения сдержаны и лаконичны. И тем не менее церковь по праву считается жемчужиной русской архитектуры. Почему?

Ответить на этот вопрос лучше всего словами академика А. В Щусева (1873-1949): «Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию».

Но и за 300 лет до Щусева представитель другой эпохи и другого архитектурного направления, французский зодчий Франсуа Блондель (1618-1686) в своём «Курсе архитектуры» восторженно писал о пропорциях: «Удовлетворение, которое мы испытываем, глядя на прекрасное произведение искусства, проистекает оттого, что в нём соблюдены правила и мера, ибо удовольствие в нас вызывают единственно лишь пропорции. Если же они отсутствуют, то, сколько бы мы ни украшали здание, эти наружные украшения не заменят нам внутреннюю красоту и привлекательность, коль скоро их нет, пожалуй, можно сказать, что уродство становится ещё ненавистнее и невыносимее, чем пышнее наружные украшения, чем дороже или роскошнее материал. Дабы подкрепить наше утверждение я заявляю, что красота, возникшая из меры и пропорции, вовсе не требует дорогих материалов и изящной работы, дабы вызвать восхищение, напротив, она сверкает и делается всё ощутимее, проступая сквозь грязь и хаос материала и его обработки. Нам приятно смотреть на некоторые соотношения тех готических зданий, красота которых, очевидно, возникла из симметрии и пропорций между целым и частями и внутри отдельных частей, и видна, невзирая на уродливые трещины и скрывающие их украшения». Что же означает слово «пропорция?». Слово «пропорция» ввёл в употребление Цицерон в I веке до н. э. , переведя им на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорцией в математике называют равенство между отношениями четырёх величин а, в, с, d: а : в=с : d Огромную роль пропорций прекрасно осознавали древнегреческие и древнеегипетские зодчие. Особенно интересно проявление пропорции в древнерусских постройках, в частности в церквах, которыми издавна славилась Россия. Храмам стремились придать строгость, выразительность, торжественность. Отсюда устремлённое ввысь, полярное, суживающееся кверху завершение, в каждом случае своя, неповторимая, но в целом пропорциональная композиция. В чём же сила архитектурных пропорций? В том, что пропорции - это математика зодчего. Уже Платон глубоко понимал сущность пропорции, позволяющей связывать целое и его части. Речь у Платона идёт как раз о геометрической пропорции общего вида а : х = = х : у -равенстве двух отношений. В данной пропорции числа any называют крайними членами, а числа х и х — средними членами. Пропорции — закономерные соотношения геометрических размеров зданий (длины, ширины, высоты ), его отдельных элементов (проёмов, простенков и пр. ) - имеют существенное значение в построении архитектурной композиции.

Пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии. Греческому слову «гармония» три тысячи лет. Гармония означает соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. Гармония - магическое слово, сулящее всевозможные блага, слово завтрашнего дня. Это основа прекрасного. Умеренность и соразмерность являются красотой и добродетелью. «Десять книг об архитектуре» Витрувия, время написания которых относится к 27- 14 гг. до н. э. , говорят о «точной соразмерности» всех частей с основной мерой. Единицу измерения, принимаемую для согласования размеров частей сооружения между собой и со всем сооружением, назвали модулем в архитектуре. В качестве модуля в зависимости от особенностей конструкции и композиции здания принимались различные величины, например диаметр купола, диаметр колонны. В Неаполе, в Национальном музее, хранится пропорциональный циркуль, найденный при раскопках в Помпеях. Пропорциональный циркуль является необходимым атрибутом архитектора. Он состоит из двух равных по длине ножек, скреплённых винтом наподобие ножниц, и позволяет для любого отрезка получать отрезок, находящийся с ним в заданном отношении. Помпейский циркуль наглухо закреплён в отношении золотого сечения!

Совершеннейшим из архитектурных сооружений, архитектурной скульптурой, мраморным сводом законов античного зодчества был и остаётся Парфенон. Цейзинг и Жолтовский уточняют: в пропорциях Парфенона имеется золотое сечение. Американский искусствовед Хэмбидж разбивает фасад Парфенона на ряд динамических прямоугольников (l :) и квадратов (1 : 1). Выражая вертикальные элементы х, у, z через ширину основания а : х = а : 2 , у = а : 4 , z = а : 4, легко увидеть, что главные вертикали Парфенона находятся в золотой пропорции

Метод пропорционирования немецкого теоретика Месселя основан на десятикратном делении окружности, что также подтверждает то, что главные вертикали находятся в золотой пропорции. Система пропорционирования Шевелёва доказывает это же.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.

И. Кеплер.

Пятиконечной звезде - около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Из Древней Вавилонии в Средиземноморье звездчатый пятиугольник перевёз Пифагор и сделал его символом жизни и здоровья, а также тайным опознавательным знаком. Чем же объясняется такая популярность звёздчатого пятиугольника? Тем, что совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звёздчатый пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции.

Итак, разделим окружность на пять равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Внутри этой звезды образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т. д. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72 градуса и 144 градуса соответственно ). Но (ВСД = 36°, поэтому СД является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него подобный треугольник ВСД. Из подобия треугольников имеем АВ:ВС=ВС:ДВ. Учитывая, что ВС=СД=АД, приходим к пропорции АВ:АД=АД:ДВ, т. е. «целое»(АВ) так относится к большей части (АД), как большая часть к меньшей (ДВ). Иначе говоря, что точка Д делит отрезок АВ в золотом сечении. Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу АF=АД=1, полагая ДВ=х и, следовательно, АВ=1+х, приходим к уравнению при а = 1: , которое имеет единственный положительный корень = ф;

Поскольку 1 - ф = ф2, находим: х = ДВ = АЕ =EF =. = ф,

АД=ДС=СВ=AF==1,

ЕД=ЕС1==1-ф=ф2

Повторяя наши рассуждения для треугольника ДС1Н, в котором ДС1= ф, легко видеть, что стороны внутренней звезды будут равны ф3, а стороны её внутреннего пятиугольника - ф4. И т. д. Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звёзд образует ряд золотого сечения при а = 1 ряд 1, ф, ф2 ,ф3 , ф4, ф5,. , причём стороны правильных пятиугольников образуют ряд чётных степеней, а стороны звёзд - ряд нечётных степеней. Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой х находится со стороной исходного пятиугольника AF = 1 в золотом отношении, т. е.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две, - звёздчатый десятиугольник. Внутри звёздчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звёздчатый десятиугольник, и т. д. Проведя радиусы в вершины десятиугольников, легко увидеть целое созвездие пятиконечных звёзд, увидеть обилие золотых пропорций. Треугольник АОВ является возвышенным, поэтому АО:ОВ=φ, т. е. сторона правильного десятиугольника относится к радиусу описанной окружности в золотой пропорции. Считая радиус исходной окружности равным 1 и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения в последовательности вписанных друг в друга звёздчатых десятиугольников. Именно десятикратное деление окружности и было выбрано Месселем в качестве метода архитектурного пропорционирования. Удивительным является то, что точка, питающая новую жизнь, - пуп человека - делит человека в золотом сечении. В 1855 году немецкий учёный Цейзинг в своём труде «Эстетические исследования» хорошо описывает отношение высоты человека к расстоянию между его пупком и подошвами ног. Когда человек родился, это отношение равно двум. С возрастом оно уменьшается и примерно к 21 году равно 1,625. Для женщин (1,6. Эти величины очень близки к отношению золотого сечения. Знаменитый теоретик архитектуры Витрувий, живший в I веке до н. э. , считал, что в основе золотого сечения лежит закон пропорций человеческого тела. «Никакой храм без соразмерности и пропорции, - писал он, - не может иметь правильной композиции, если в нём не будет такого же точного членения, как у хорошо сложенного человека».

Почему закон золотого сечения часто проявляется в архитектуре? Этому есть вполне рациональное, математическое обоснование. Для достижения гармонии в произведении искусства (в том числе и в архитектурном произведении) должен выполняться принцип Гераклита: «из всего - единое, из единого - всё». В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Для того чтобы выполнялся основной принцип гармонии «всё во всём», взаимосвязь частей и целого в архитектурном произведении должна иметь единое математическое выражение, т. е. архитектурное «целое» а и его части a1a2 a3 a4,. должны находиться в одинаковых отношениях Отсюда а = a1 p, a1 = а2р, а2 =а3р,. , или а1= ga, а2 = g2 а, а3= g3 а,. , (g = ), т. е. «целое» а и его части a1,a2,a3, должны образовывать геометрическую прогрессию : a, a1, а2, а3,. аn,. (ап= gn a ). Но части архитектурного целого должны сходиться в целое, т. е. разделив «целое» а на части a1 и а2 , необходимо, чтобы a1+a2 = а. Получаем a g + a g2 = а =>g2+ g- 1 = 0 =>g == ф, т. е. единственное положительное значение для g равно коэффициенту золотого сечения ф. Ряд золотого сечения обладает аддитивным свойством, поэтому только при делении «целого» а на части a1 и а2 в золотой пропорции выполняется принцип «всё во всём» и одновременно части «сходятся» в целое. При этом соотношения : а, а1, а2, а3,. ,аn (an= g" а) и a1 + а2 = а принимают вид: а, аф, аф2, аф3,. ,афn,. афп = афп+1+аф п+2 (п= 0, 1,2,. ).

Это и есть ряд золотого сечения. Одной из жемчужин древнегреческой архитектуры является храм Василия Блаженного в Москве. За «целое» а = 1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения : 1, ф, ф2, ф3,ф4, ф5, фб,ф7. Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда части сойдутся в целое, т. е. ф +ф2=1, ф2+ф3=ф, ф3+ф4=ф2,ф4+ф5=ф3 и т. д. Таким образом, аддитивное свойство золотого сечения делает эту пропорцию единственной и неповторимой. Пропорции дорической колонны и человеческого тела связаны математической зависимостью. Витрувий, говорил, чтобы колонны были пригодны к поддержанию тяжести и обладали правильным красивым обличьем, измерили след мужской ступни по отношению к человеческому росту, и, найдя, что ступня составляет шестую его долю, применили это соотношение к колоннаде, и сообразно с толщиной основания eё ствола, вывели её высоту в 6 раз больше, включая сюда и капитель. Таким образом, колонна стала воспроизводить в зданиях пропорции, крепость и красоту тела. Итак, по Витрувию, справедливы отношения: (стопа человека) : (высота его тела) = (диаметр колонны) : (общая высота колонны) =1:6. Между тем обмеры дорических колонн упрямо противоречили Витрувию. «Нельзя утверждать, что дорическая колонна повторяет пропорции тела человека, потому что людей таких пропорций, как колонны Парфенона, не существует». Разгадка была где - то рядом, но её нашёл только в 60-е годы архитектор Шевелёв. Со времён Поликлета установлено, что если стопу человека принять за единицу измерения - фут (30,89 см. ), то рост человека составит 6 футов, а голова вместе с шеей - 1 фут. Следовательно, на оставшуюся часть тела приходится 5 футов. Именно эта часть и олицетворяет «крепость и красоту мужского тела». В самом деле, в «человеческой колонне» шея — самое слабое место. Груз взваливают на плечи. Это привело к тому, что ствол колонны, несущий тяжесть, должен ассоциироваться не с полным ростом человека, а с его наиболее крепкой частью от стоп до основания шеи. Возникла цепочка пропорций: (нижний диаметр колонны): (высота ствола колонны) = (капители по абаке) : (высота колонны с капителью) = (стопа человека) : (высота человека от стоп до основания шеи) =1:5. Отношение 1 : 5 было распространено на всю соразмерность колоннады в целом : (высота колоннады = колонна + антаблемент) : (длина храма по стилобату) =1 : 5. В этом же отношении находятся и крайние размеры всего Парфенона - высота колоннады и длина храма.

«Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, - писал известный теоретик архитектуры К. Н. Афанасьев, - оформляется цепью взаимосвязанных отношений «золотого сечения». Золотым сечением связаны толщина столбов, ширина южного и северного нефа, ширина храма и его длина. Диаметр главы и её высота соотносятся в отношении золотой пропорции. Плечи храма соотносятся с диаметром барабана тоже в отношении золотого сечения. Отношение высоты храма к его ширине равно золотому сечению. Эти перечисления можно продолжать ещё долго. Звучит целая мелодия золотых пропорций в пропорциях храма. Не удивительно, что церковь покрова на Нерли производит такое сильное эстетическое впечатление.

Время поисков пропорций и сегодня не кануло, оно только настало. В современной архитектуре пропорций применяются в проектах архитектурных зданий, дворцов, а также храмов.

Функционально обусловленные размеры зданий гармонизируются приведением их к пропорциональным соотношениям. Применяют целочисленные пропорции нюансные ( 4:5, 7:8, 9:10 и т. д) и контрастные (1:5, 2:7 и т. д), либо иррациональные, получаемый из геометрических построений. Современная архитектура парит в воздухе. Человечество всегда мечтало о лёгкой и воздушной архитектуре, и вот эти мечты сбылись.

Но большее удовлетворение я испытываю, глядя на ДК железнодорожников. Почему? Я сделала снимки этих зданий, провела необходимые построения, расчёты и выяснила, что проект нашего родного ДК близок к проекту Парфенона. Главные вертикальные размеры портика находятся приблизительно в золотой пропорции: высота ВС поддерживающих частей (основание и колонны) и высота АС поддерживаемых частей (антаблемент и фронтон). Длина главного фасада здания - 18 м (12 см) М (1 : 150). Высота - 12,6 м (8,2 см). Разбив фасад на ряд прямоугольников и квадратов, получим х = 3,2 см, у = 1,6 см, z = 3,4 (х = АС, у + z = ВС).

Горизонтальные плоскости, будто летящие в пространстве ("Дом над водопадом " в Бер-Ранс, США ), гигантские нависающие объёмы (Клуб имени И. В. Русакова в Москве), стены, превращенные в витражи, в которые любуются золотые купола Кремлёвских соборов (Кремлёвский Дворец съездов) - всё это приметы современной архитектоники и ставшие классической примеры современной архитектуры.

Ле Корбюзье писал: «Дух геометрического и математического порядка станет властителем архитектурных судеб». Архитектура будет мертва, если её не оживит пропорция. Если изобразить фасад одного и того же здания с разным отношением высоты к ширине и спросить, какой фасад производит наилучшее впечатление гармонического своего построения, то любой даже далёкий от искусства человек без колебаний выберет такой, в котором это отношение есть отношение золотого сечения. Это 1 : 1, 618. И это, действительно, так.

Я живу в Барабинске и очень часто прохожу мимо Дома Культуры железнодорожников, здания администрации, здания пенсионного фонда.

. Получаем

Разделив окружность на десять частей можно также получить ( золотое сечение. Получаем

Это говорит о том, что главные вертикали здания ДК железнодорожников приблизительно находятся в золотой пропорции. Именно «золотое сечение» наиболее приятно для глаза и используется при строительстве дворцов.

А как прекрасна, несравненна часовня г. Барабинска, которую никак нельзя поставить вровень со зданием церкви.

Разгадка тайны её очарования также в золотом сечении. Закону золотого сечения подчинены главные вертикали часовни, определяющие её силуэт: высота основания и высота барабана. Диаметр барабана относится к его высоте также в золотой пропорции. Плечи часовни относятся к диаметру барабана в золотой пропорции. Итак, принимая высоту часовни (от цоколя до купола) за единицу, мы получаем ряд золотого сечения: 1,ф,ф2,ф3,ф4, который определяет силуэт, красоту данного архитектурного сооружения.

(Диаметр барабана - 2,2 см. Высота барабана - 1,4 см =>.

Таким образом, можно уверенно сказать, что и у нас в городе есть шедевры, жемчужины архитектуры.

Заключение

Думаю, что целей я добилась, так как после проведённых исследований прекрасно осознала, что пропорциям в архитектуре принадлежит выдающаяся роль. Узнала, что пропорции являются важным и надёжным средством зодчего для достижения хрупкого и тонко сбалансированного равновесия между целым и его частями, имя которому гармония. Узнала , что поразительная красота и гармония архитектуры объясняется золотым сечением. Удивительно было то, что и у нас, в Барабинске, есть жемчужины архитектуры. Убедилась лично, что пропорция - математика архитектурной гармонии. Небольшой успех в работе вызвал огромное удовлетворение, послужил мне сильнейшим стимулом для дальнейших исследований.