Линейные неравенства с двумя переменными

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + ву +с < 0 или ах + ву +с > 0, где х и у – переменные; а, в и с – некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел а или в не равно нулю.

Решением линейного неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных (х; у), обращающая его в верное числовое неравенство.

Известно, что пара действительных чисел (х; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изображать множество решений неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Выясним, какое множество точек на координатной плоскости задаёт линейное неравенство с двумя переменными. Для этого будем использовать график линейного уравнения ах +ву +с =0. Рассмотрим следующие варианты:

1)в = о; значит ах +с = 0, и следовательно ах = - с и х = -.

Графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси ординат (ось у) и пересекающая ось абсцисс в точке с координатой ( - ; 0) (рис. 1) а) х = -

2) а = 0; значит ву +с = 0, и следовательно ву = - с и у = -.

Графиком данного уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (ось х) и пересекающая ось ординат в точке с координатой ( 0; - ) (рис. 2) б) y= - - у х

3) а и в отличны от нуля; значит ву = - ах – с и следовательно у = - х -

Графиком данного уравнения является прямая, непараллельная оси оу и разбивающая плоскость на две открытые полуплоскости, т. е. полуплоскости, не содержащие граничную прямую (на рисунках эту граничную прямую можно изображать пунктиром). (рис 3)

Полуплоскости расположены соответственно выше или ниже граничной прямой.

у у = - х - х

Одна из этих полуплоскостей, показанная на рисунке штриховкой, обладает тем свойством, что любая её точка лежит выше,чем точка заданной прямой, значит любая точка заштрихованной полуплоскости удовлетворяет неравенству у > - х - и следовательно вторая полуплоскость удовлетворяет соответственно неравенству у < - х -

Выясним, какие множества точек задают на координатной плоскости следующие неравенства.

1) х > 3 х=3

Данное неравенство задаёт открытую полуплоскость, расположенную правее прямой х = 3, не включая саму прямую.

б) y < -2 у = -2

Данное неравенство задаёт открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой у= -2, не включая саму прямую.

в) -2 < x ≤ 4х = 4 х= -2 г) 1 ≤ y ≤ 5 у = 5 у = 1 д) │x│< 2 х = 2 х = -2 е)│y│> 5 ж) 2x + y ≥ 5 y ≥ -2x + 5 х

Далее рассмотрим что из себя будет представлять решение системы линейных неравенств с двумя неизвестными.

Решением системы линейных неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных (х; у), которая каждое из неравенств системы обращает в верное числовое неравенство.

Следовательно, множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений входящих в неё неравенств. Тогда на координатной плоскости множество решений системы изображается множеством точек, представляющим собой пересечение множеств точек, задаваемых неравенствами системы.

Выясним, какие множества точек задают на координатной плоскости системы неравенств.

а) y – 2x + 3 ≥ 0

2y – 4x – 1 ≤ 0 y ≥ 2x – 3 y ≤ 2x + ½

Так как угловые коэффициенты прямых одинаковы, то прямые параллельны.

б) 2x + 5y +7 > 0

-4y > -3x-1 y > х - у = х - y < х у = х + в)│x│> 2

│y│> 3 г)│x│< 4

- 5 д)│x│> 1у

│y│< 3 е)│x│< 4

│y│> 6 ж) 3у -2х ≥ -8

4 у+5 х ≤20

5у+ 4х≥ -6

4у – 3х≤ 20 y = y = y = y =

Графический метод широко используется для решения линейных неравенств с двумя переменными и для решения систем неравенств. Но для этой темы выделено по программе недостаточное количество часов. А при изучении неравенств, содержащих знак модуля, в классе из-за нехватки времени, как правило, рассматривается очень мало заданий.

Данная работа позволит среднему ученику общеобразовательной школы самостоятельно научиться решать линейные неравенства и системы неравенств с двумя переменными и с модулями.

Решение таких заданий развивает логическое мышление, укрепляет знания, полученные на кружках, внеклассных занятиях и факультативах, повышают эрудицию учащихся.