Что такое золотое сечение? Секреты золотого сечения

С золотым сечением или «божественной пропорцией» мы встретились впервые в 6 классе при изучении темы «Отношения и пропорции». Были удивлены тем, что золотое сечение можно увидеть буквально во всем, в человеческой фигуре, в живописи, в архитектуре, даже в музыке, но только в 7 классе , когда начали изучать геометрию, мы смогли с помощью циркуля и линейки построить золотое сечение. Интерес к золотому сечению не угас, мы решили как можно больше узнать о золотом сечении.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес, к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и настоящее время помнят и используют это сечение. Что и будет исследовано, и доказано в нашей работе.

Объект исследования:

Золотое сечение

Предмет исследования:

Отображение «Золотого сечения» в аспектах деятельности человека: геометрия, живопись, архитектура, скульптура, живая природа (организмы), музыка, дизайн, медицина.

Выяснить, что такое золотое сечение, где оно встречается, где его можно применять.

Гипотеза:

Человек в своей деятельности постоянно сталкивается с предметами, имеющими в своей основе золотое сечение.

Задачи:

➢ Подобрать литературу по теме «Золотое сечение».

➢ Найти информацию по теме в Интернете.

➢ Найти рисунки, связанные с этой темой.

➢ Создать буклеты по теме в Publisher

➢ Подготовить презентацию по теме в Power Point

➢ Подготовить сообщения.

➢ Создать кроссворды.

Методика исследования:

Мы перед собой поставили задачу исследовать более «глубоко» в основе чего может лежать золотое сечение, поэтому методика исследования у нас проходила в несколько этапов: первый этап -

➢ подбор литературы и изучение её по теме работы,

➢ исследование деления отрезка в золотом сечении, для использования результатов деления в построении пентаграммы,

➢ построение пропорции, для нахождения золотой пропорции в пропорциях человеческого тела, в архитектуре, в искусстве, в музыке, в компьютере.

второй этап –

➢ провели анкетирование среди учащихся с целью выяснить, знают ли ученики что – либо о золотом сечении,

➢ создали кроссворды для того, чтобы пробудить интерес к «божественной пропорции»; третий этап –

➢ анализ результатов и выводы по ним.

Исходя из всего выше сказанного, мы выбрали следующие методы исследования: сравнительный анализ геометрических измерений и вычисление равенства отношений с золотой пропорцией.

Использовали методы Иоганна Кеплера: анализ, синтез, сопоставление.

Характер исследования:

По доминирующей деятельности: поисковый, творческий, прикладной.

По предметно-содержательной области: межпредметный (математика, информатика, живопись, архитектура, музыка), внеурочный.

По характеру координации: учитель ненавязчиво направляет работу, организуя, в случае необходимости, этапы проекта, деятельность отдельных его участников.

По количеству участников: групповой.

По продолжительности: длительный (1 год )

Этапы исследовательской работы.

Подготовка и планирование:

Вместе с учащимися мы выбрали тему "Золотое сечение или «божественная пропорция»" , обосновав свой выбор новизной материала, характер итогового выхода своего продукта ( презентация, буклет и т. д. ). Договорились о сроках проведения итогового мероприятия по защите своих исследований, днях промежуточных консультаций, разбились на группы. Учитель готовит вопросы для групп, на которые надо получить ответы.

• Основатели учения о золотом сечении

• Понятие золотого сечения

• Золотое сечение в архитектуре

• Золотое сечение в живописи

• Золотое сечение в живых организмах

• Правильный пятиугольник

• Самый «правильный» многогранник

• Золотое сечение вокруг нас

• Золотое сечение в музыке

• Золотое сечение в дизайне

Исследовательская работа.

Группы осуществляют поисковую деятельность, отвечают на поставленные вопросы, оформляют результаты. При этом каждая группа самостоятельно планирует свою деятельность, в отведенное для консультаций время докладывает о результатах своего труда, набирает тексты на компьютере. Учитель консультирует, координирует и корректирует, просматривает материалы, обсуждает вместе с учащимися варианты размещения в презентациях, буклетах, в музыкальном произведении

Все ученики отметили, что работа в рамках исследования получилась интересной, увлекательной, познавательной. Она позволила раздвинуть горизонт каждого ученика, создать для него более широкие возможности для самовыражения, предоставить большую свободу по сравнению с традиционной формой обучения, где он стеснен присутствием учителя и класса. В ходе обмена мнениями решили создать буклеты по проекту "Золотое сечение или «божественная пропорция»" , с помощью программы Power Point создать презентацию, так как с этой программой они познакомились на уроках информатики. Разобрать некоторые музыкальные произведения, создать кроссворды по теме.

"Золотое сечение или «божественная пропорция»"

1. Что такое Золотое сечение?

Секрет Золотого сечения

На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "Золотого сечения".

«Золотое сечение» - деление отрезка АС на две части таким образом, что большая его часть АВ относится к меньшей ВС так, как весь отрезок АС относится к АВ (т. е. АВ/АС=АС/АВ). Это отношение равно примерно 5:8. "Золотое сечение" - способ pазделить отpезок AB на две неpавные части точкой X так, чтобы выполнялось yсловие AX/XB = XB/AB.

Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5 : 8 (стороны образуют "золотое сечение") имеют наиболее приятную форму. Они приписывали "золотому сечению" магические свойства и использовали при расчетах. Правильное соотношение размеров возводимых древними греками дворцов и храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая и сегодня восхищает нас. "Пропорция" с древнегреческого означает соизмеримый, имеющий правильное соотношение частей.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а.

Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618. , если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением: x2 – x – 1= 0.

Решение этого уравнения:

На основе данного правила существуют различные способы построения гармоничных композиции.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С. Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

1. 1. Золотое сечение и гармония

Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона якобы свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Швейцарский архитектор Ле Корбюзье «нашёл», что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображённый на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. и т. п.

Ко всем этим утверждениям следует относиться с осторожностью, поскольку во многих случаях это может оказаться результатом подгонки или совпадения.

2. История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э. ). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Динамические прямоугольники.

 Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Античный циркуль

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э. ), Папп (III в. н. э. ) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакоми -лись по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в. ) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что в итальянских художниках большой эмпирический опыт, но недостаток знаний. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства: бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное. В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет: "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица - ртом и т. д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академи - ческий канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX в. В 1855г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях "математической эстетикой".

2. 1. Построение пропорции.

Здесь приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиуголь- ника, т. к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции. Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

3. "Золотые" фигуры.

3. 1Золотой треугольник:

Проводим прямую АВ. От точки А

  откладываем на ней три раза отрезок О  произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии  АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

  3. 2. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый . Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.  Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC.

Построение правильного пятиугольника и пентаграммы.

. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все  диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

 Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов – пентаграмма – стала известна раньше, чем «золотая» пропорция.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

 Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1. 618, 1 и 0. 618.

3. 3. Спираль Архимеда.

Последовательно отсекая от золотых прямоугольников квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, мы получим довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали.

Спираль Архимеда

В настоящее время спираль Архимеда широко используется в технике.

4. Золотая пропорция и золотая спираль в природе

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции.

Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее .

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим. расположение семечек в корзине подсолнуха Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21. Отношение 13/21 равно j. У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом.

По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

Из всего сказанного можно сделать выводы: во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе Человек – венец творения природы Установлено, что золотые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.

5. Золотая пропорция в пропорциях человеческого тела

Тело человека и золотое сечение

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э. Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.

M/m=1,618

Первый пример золотого сечения в строении тела человека:

Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1. 618.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

• расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1. 618

• расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1. 618

• расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1. 618

• расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

• расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1. 618

Золотое сечение в анатомии человеческого тела

То, что части красиво сложенного человеческого тела находятся в определённой пропорции, знает каждый: недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре.

Сечение выражает среднестатистический закон : деление тела точкой пупа-один из основных показателей золотого сечения. Немецкий профессор Цейзинг в середине 18 столетия проделал огромную работу : он измерил более 2000 тел и высказал предположение , что золотые пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13:8=1,625. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча , предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д

Это интересно

Особенно хорошо удовлетворяет этой пропорции мужская фигура, и художники давно знают, что вопреки общему мнению, мужчины сложены красивее, чем женщины. У женщин наблюдается отклонение от норм золотого сечения, а обувь на высоком каблуке «восстанавливает» пропорцию и принцип золотого сечения торжествует. Именно поэтому высокий каблук почти всегда входит в состав женского костюма.

У маленьких детей (около года) пропорции составляет 1:1.

Золотое сечение в чертах лица человека как критерий совершенной красоты.

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких соотношений:

• Высота лица / ширина лица,

• Центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

• Высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

• Ширина рта / ширина носа,

• Ширина носа / расстояние между ноздрями,

• Расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).

Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотая пропорция в строении легких человека

Американский физик Б. Д. Уэст и доктор А. Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Золотое сечение в ухе человека

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73º 43’.

Золотое сечение в стоматологии

Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения".

   Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность "золотого сечения" (В презентации на картинке показаны и вычислены все основные пропорции наших зубов)

   Вот некоторые примеры соотношений размеров и расстояний между зубами:

1. Ширина верхнего центрального резца относится к ширине нижнего центрального резца, как 62 : 38, т. е. 1, 618:, в соотношении "золотого сечения"

2. В этой же пропорции находится ширина двух верхних резцов к ширине двух нижних.

3. Расстояние между премолярами верхней челюсти относится к ширине четырёх верхних резцов, как 62 : 38:

4. Расстояние между дистальными поверхностями нижних клыков и щечными фиссурами моляров - пропорция 38 : 62.

   И этот список можно продолжить:

   Как же на практике можно использовать знание о "золотом сечении" и его влиянии на параметры в стоматологии?

   Разумеется, искать применение золотых пропорций в эстетической стоматологии.

   Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это подчинено общему закону - "золотому сечению".

6. Золотое сечение в скульптуре

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей, их подвиги и деяния. Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении «золотого сечения». Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям. Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского (которая считалась одним из чудес света) и Афины Парфенос. Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно 13/8 = 1,625, а для взрослых женщин оно составляет 8/5 = 1,6. Так что пропорции мужчин ближе к «золотому сечению», чем пропорции женщин. Было проведено большое число измерений на помещенных в журналах крупных портретах мужчин и женщин, на многих из них указанные отношения представляют «золотое сечение»

7. Золотая пропорция в архитектуре и искусстве

Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

ПАРФЕНОН

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисторозовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно j. Отношения целого ряда частей Парфенона дают число j. Говорят « у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции ».

Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов.

На рисунках виден целый ряд закономерностей, связанных с золотым сечением. Пропорции здания можно выразить через различные степени числа Ф=0,618.

На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники":

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари):

Покровский Собор на Красной площади.

Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников, скульпторов и архитекторов.

Монах Лука Пачоли написал целую книгу «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи, знающий о воздействии золотой пропорции на человека, выполнил к этой книге иллюстрации.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золотое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения создают впечатление гармонии и красоты.

8. Золотое сечение в живописи.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем на свете».

Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника.

Также пропорция золотого сечения проявляется в картине Шишкина. На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.

Наличие в картине (Сосновая роща. ) ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой

В картине Рафаэля "Избиение младенцев" просматривается другой элемент золотой пропорции - золотая спираль. На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Неизвестно, строил ли Рафаэль золотую спираль или чувствовал её.

9. Золотое сечение вокруг нас.

Нельзя обойти молчанием и то, что книги, почтовые открытки , бумажники , шоколадные плитки и множество других предметов имеют форму золотого прямоугольника (отношение длин сторон которых даёт золотое сечение).

10. Золотое сечение и компьютер.

11. Золотое сечение в музыке.

"Музыка - посредник между духовной и чувственной жизнью"

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Э. К. Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И. С. Баха, ученый пришел к выводу, что «она, оказывается, сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона – закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелким художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мертвых форм отвлеченного или фабричного происхождения».

Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого. В мире, живом и неживом, все связано и все взаимо- обусловлено, все подчинено одним законам. Человек в своей разносторонней деятельности - в науке, технике, художественном творчестве - не может не подчиняться тем же законам.

Музыка - искусство звука, „. звук - сама материя музыки. звук должен быть закутан в тишину, звук должен покоиться в тишине, как драгоценный камень в бархатной шкатулке.

Генрих Нейгауз

Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения.

Небосвод Вселенной разделен тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями - от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. И в ней отражаются извечные нерушимые законы мироздания. Пифагор писал о гармонии, музыке трех сфер - звезд (включая планеты), Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами: квартой (3:4), квинтой (2:3) и октавой (1:2). Они-то и легли в основу настройки четырех струн орфеевой лиры до-фа-соль-до. Особенно пифагорейцы чтили число 10 - сумму первых натуральных чисел 1, 2, 3 и 4, которые графически представлялись с помощью точек магического (равнобедренного) треугольника - символа, на котором приносилась их клятва.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л. Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т. е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л. Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск - три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.

Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Л. Мазеля, это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов.

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%),

Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено

154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симмет- ричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Анализ Хроматической фантазии и фуги И. С. Баха

Хроматическая фантазия и фуга И. С. Баха объединены общей тональностью ре минор и контрастны по жанру и образу. Хроматическая фантазия с фугой ре минор - одно из величайших творений Баха, образец совершенства формы и содержания, "могущественнейшее клавесинное произведение"

Фантазия

Хроматическая фантазия написана в размере 4/4, имеет 79 тактов, т. е. 79• 4 = 316 четвертных долей.

Итак, "целое" а=316. Фантазия состоит из двух ясно различимых по характеру частей, отделенных друг от друга паузой. Первая часть, прелюдия, заканчивается на арпеджированном доминантовом трезвучии с разрешением на 2-й четверти 49-го такта, на которой стоит знак ферматы (удлинение звука), и затем идет пауза. Таким образом, первая часть фактически заканчивается на 3-й четверти 49-го такта, т. е. на 195-й (48 • 4 + 3) четверти a1 = 195. На вторую часть приходится 121 четверть

(a2 = a − a1 = 316 − 195 = 121).

Вычисляя "теоретическую" длину первой части с помощью коэффициента золотого сечения, мы с поражающей точностью находим

Итак, Хроматическая фантазия разделена на первую и вторую части в золотой пропорции:

Но на этом чудеса гениального творения Баха только начинаются. Построив ряд золотого сечения при а=316, имеем

Каково же должно быть наше удивление, когда мы обнаружим, что на 124-й четверти находится кульминация первой части и стоит знак ферматы •, а на 77-й четверти от начала второй части имеет место кульминация второй части. Таким образом, кульминация обоих частей с небольшой погрешностью, легко объяснимой растяжимостью темпов, делит эти части по закону золотого сечения. Далее, каждый из полученных четырех разделов Хроматической фантазии имеет характерные особенности, которые также с потрясающей точностью приходятся на точки золотого сечения этих разделов. Также Розенов нашел и более мелкие деления Хроматической фантазии в золотой пропорции.

Главные золотые сечения Хроматической фантазии И. С. Баха

Цифры обозначают число четвертей теоретического ряда золотого сечения (а=316). Справа дано описание соответствующих характерных мест нотного текста фантазии.

Вывод Хроматическая фантазия, произведение свободного по форме жанра, буквально соткано из золотых пропорций. Пожалуй, эстетическое впечатление от математического анализа Хроматической фантазии имеет не меньшую силу, чем прослушивание бессмертного творения Баха. А взятые вместе - чувственное впечатление и рациональный анализ, безусловно, позволяют еще на один шаг приблизиться к сокровенным тайникам гения.

Выводы:

Необходимо сказать, что золотое сечение имеет большое применение в нашей жизни.

➢ Было доказано, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса.

➢ Раковина наутилуса закручена подобно золотой спирали.

➢ Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

➢ Возбуждение струны в точке , делящей её в отношении золотого деления, не вызовет колебаний струны, то есть это точка компенсации.

➢ На летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии создаются прямоугольные ячейки с пропорцией золотого сечения.

➢ Джоконда построена на золотых треугольниках, золотая спираль присутствует на картине Рафаэля «Избиение младенцев».

➢ Пропорция обнаружена в картине Сандро Боттичелли «Рождение Венеры»

➢ Известно много памятников архитектуры, построенных с использованием золотой пропорции, в том числе Пантеон и Парфенон в Афинах, здания архитекторов Баженова и Малевича.

➢ Определяя зону золотого сечения в музыкальных произведениях, мы убедились, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения), то есть в третьей четверти целого.

➢ Многие современные изделия с прямоугольными гранями имеют форму граней, близкую к «золотому сечению».

➢ Расположение, размер и взаимное соотношение зубов в полости рта - всё это подчинено общему закону - "золотому сечению".

➢ Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618

➢ золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы.

Иоанну Кеплеру, жившему пять веков назад, принадлежит высказывание:

"Геометрия обладает двумя великими сокровищами.

Первое - это теорема Пифагора, второе - деления отрезка в крайнем и среднем отношении"