Роль и история использования текстовых задач в курсе математики в советской школе

В ходе подготовки к ЕГЭ по математике заметила, что все задания В9 из КИМов являются текстовыми задачами. Результаты решения задач В9 не влияют на получение аттестата, но для поступления в ВУЗ дают дополнительные баллы.

Текстовые задачи решались нами в основной школе, то есть в 5-9-х классах, поэтому умения решать такие задачи забыты. Возникла потребность в более глубоком изучении данного раздела математики.

Страх перед текстовой задачей мешает восприятию и пониманию текста, установлению связей между величинами и поиску решения задачи.

Трудности, которые испытывают учащиеся при решении текстовых задач коснулись и меня. Перечислю их:

« - первая трудность состоит в составлении математической модели, которая может представлять собой уравнение, неравенство или их схему, диаграмму, график, таблицу, функцию и т. д. Для того чтобы перевести содержание задачи на математический язык, нам необходимо тщательно изучить и правильно истолковать его, формулировать вопрос задачи, выразив искомые величины через известные величины и введенные переменные. На этом пути проблемы, с которыми сталкиваемся, носят различный характер. Иногда они связаны с непониманием физических, химических, экономических терминов, законов, зависимостей. Далеко не все четко осознать связь между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении или между работой, произвольностью труда и временем и т. п. мы определяем трудности в определении скорости сближения объектов при движении навстречу или в одном направлении, слабо ориентируемся в движении по окружности, затрудняясь в выборе размерности.

- вторая трудность- составление уравнений и неравенств, связывающих данные величины и переменные, которые мы вводим.

- третья трудность состоит в том, чтобы составить функцию (отношение), применительно к которой формулируется вопрос задачи. Условно ее можно назвать функцией цели. Дело в том, что, получив какие- то уравнения, пытаемся найти значение переменных, которые в них участвуют, а это не всегда возможно и может не являться необходимым.

- четвертая трудность – это решение полученной системы уравнений или неравенств желательно наиболее рациональным методом. »

2. Роль и использование текстовых задач в курсе математики в советской школе

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины условия учебного материала. Любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной и, пожалуй, наиболее трудной части решении задач.

Текстовая задача – это задача, использующая нематематические слова для передачи математического смысла.

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание к текстовым задачам — почти исключительно российский феномен.

Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило».

В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике. При этом учащие мало заботились о сознательном усвоении учениками того или иного способа действия. Считалось, что понимать-то едва ли нужно было.

Одна из причин заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи; и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому, текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К середине 50-х годов 20-го века текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе была разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось.

Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, методисты- математики посчитали, что на обучение арифметическим способом решение задач тратится слишком много времени, надо было найти резерв времени для обновления содержания математического образования.

Математики того времени ссылались и на то, «что детей сначала обучают арифметике, а в дальнейшем им приходиться затрачивать силы « на переучивание абстрактному мышлению в алгебраических образах»». (Математика № 17, 2005 год. )

В середине 20 в. в СССР возобладал узко практический подход к использованию текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем изучении.

Традиционные для российской школы арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений. Такой подход казался, видимо, более современным и научным.

Насколько противоестественным для процесса обучения и развития детей оказалось раннее использование уравнений, можно судить даже по методической аранжировке самых обычных задач.

«Решите с помощью уравнения задачу:

В корзине было несколько грибов. После того, как в нее положили еще 27 грибов, их стало 75. сколько грибов было в корзине?»

Решение:

Пусть в корзине было Х грибов. По условию после добавления 27 грибов их стало 75. Составляем уравнение:

Х+ 27=75

Х= 75-27

Х= 48 (гр. )- было в корзине.

Ответ: 48 грибов.

Решим ее арифметически:

75-27=48 (гр. ) – было в корзине.

Ответ: 48 грибов.

Совершенно очевидно, что использование уравнений при решении задач такого типа противоестественно и не способствует развитию представлений учащихся о применении четырех арифметических действий и уяснению взаимосвязи между ними.

Тем не менее, «метод уравнений» на долгие годы стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач. Это привело к тому, что учащиеся не получали должного развития речи, умения анализировать текст задачи, ставить вопросы, отвечать на них, то есть они были лишены возможности лучше усвоить естественный язык – язык не только общения, но и обучения. Они не учились различать разнообразные типы взаимосвязей известных и неизвестных величин, вести поиск решения задач, отталкиваясь от условий задачи или от поставленного вопроса. Они получили один единственный способ для решения разнообразных задач, который никак не могут освоить до сих пор.

Лучше одну задачу решить несколькими различными способами, чем одним и тем же способом несколько задач.

3. Обзор способов решения текстовых задач.

Сравнение различных решений задач очень поучительно. Возможность решить задачу различными способами побуждает нас к творческому мышлению, демонстрирует непреложность выводов науки математики, подчеркивает красоту содержания учебного предмета. Ведь при этом мы начинаем смотреть на математику не как на сухую науку, а видим, что здесь нужно проявить выдумку, фантазию, творчество. Все это способствует активному усвоению материала, повышает интерес к предмету, помогает формировать систему ценностей, с которыми молодой человек вступает во взрослую жизнь.

Развитие речи, умения формулировать вопросы, искать на них ответы, знание специальных приемов решения задач после начальной школы, оставляют желают лучшего. Мы часто не любим решать задачи именно потому, что плохо умеем это делать. Научиться решать задачи – это не столько научиться получать правильные ответы в некоторых типичных ситуациях, сколько научиться искать решения, накоплять опыт мыслительной деятельности, открывать применимость математики для решения разнообразных задач.

Нам нравиться решать то, что легко у нас получается, значит то, что легко поддается алгоритмизации. А текстовые задачи несколько разнообразны, что порой трудно увидеть в предлагаемой задаче уже знакомое.

Раннее применение уравнений для решения задач без достаточной подготовки мышления малоэффективно. И это не удивительно. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом, называемым словами «куча», «часть».

Думается, ребенок должен пройти тот же путь – сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом подойти к применению уравнения. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся, тяготеющего к оперированию наглядными образами, а не абстрактными моделями.

Арифметический способ решения задач имеет преимущество перед алгебраическим уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Неслучайно мы быстрее и лучше усваиваем различные приемы рассуждений, опирающихся на воображаемые действия с известными величинами, чем единичный для задач с различной арифметической ситуацией способов решения, основанный на применении уравнения.

Для решения задачи могут быть использованы несколько способов. При этом один вариант решения обычный, а другой - специфический, основанный на той или иной особенности данного условия. Задача считается решенной различными способами, если решения отличаются связями между данными и искомыми или последовательностью использования этих связей.

Перечислим некоторые способы решения текстовых задач:

- арифметический;

- алгебраический;

- графический;

- геометрический;

- визуальный;

- моделирование;

- нестандартный способ;

-введение удобных единиц измерения и другие.

Дадим краткую характеристику каждого способа.

Арифметический способ – это когда задача решается с помощью действий и подробных объяснений к ним. Широко применяется в начальных и в 5-6-х классах.

Алгебраический способ – это когда задача решается с помощью уравнений или системы уравнений. В истории развития знаний арифметика предшествовала алгебре и нужна была древним людям, прежде всего, для решения хозяйственных и практических задач, которые со временем становились все сложнее. Для их решения нужен был более мощный аппарат, и он появился с развитием алгебры, когда над неизвестной величиной стали выполнять действия, предписанные условием задачи, составлять уравнения и, решая его, находить неизвестную величину. Так появился метод уравнений (системы уравнений) в древнем Вавилоне, в Индии, который окончательно сформировался в руках арабских ученых.

Блок – схема алгоритма алгебраического способа решения

Неизвестное

Выбрать несколько неизвестных уравнение

Составить и решить систему уравнений

Отобрать решения

(по смыслу задачи)

Проверить решение

Геометрический способ – когда задача решается через геометрический чертеж.

Визуальный способ – решение задач с помощью рассуждений, пояснений и чертежей.

Моделирование – это представление условия задачи в знаково – символической форме, дающая возможность одновременно видеть все связи между данными. Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решения. Модель дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания.

Звеном учебной деятельности является исполнительское, т. е. учебные действия для решения задачи:

· 1) преобразование условий задачи с целью выявления в ней основного отношения;

· 2) моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме;

·3) преобразование модели отношения для изучения его свойств;

·4) построение системы частных задач, решаемых, общим способом.

Моделирование в широком смысле слова – это замена действий с реальными предметами действиями с их уменьшенными образами, моделями, муляжами, макетами, а так же чертежами, схемами и т. п.

Чертеж представляет собой также условное изображение предметов, взаимосвязей между ними и взаимоотношения величин с помощью отрезков и с соблюдением определенного масштаба.

Рисунок, на котором взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, называется схематическим чертежом или схемой.

Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

Введение удобных единиц измерения – это способ замены общепринятых единиц измерения единицами, соответствующими ситуации, описанной в задаче.

Напомним, что задача считается решенной различными способами, если решения отличаются связями между данными и искомыми или последовательностью использования этих связей.

Решая задачу различными способами, можно выполнить проверку решения. Получив один и тот же результат, можно сделать вывод, что задача решена верно.

4. Решение текстовых задач различными способами.

Рассмотрим старинную китайскую задачу и решим ее различными способами.

Задача № 1.

В клетке находиться неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ног. Узнать число фазанов и число кроликов.

Решим эту задачу алгебраическим способом: а) с помощью уравнения:

Пусть кроликов было Х штук, тогда фазанов было (35-Х) штук.

4Х- количество ног у кроликов, 2(35-Х)- количество ног у фазанов. По условию ног было всего 94. Получаем уравнение:

1). 2(35-Х) + 4Х= 94

70 – 2Х + 4Х = 94

2Х= 94 – 70

2Х = 24

Х = 12 (шт. ) – кроликов

2). 35 – 12 = 23 (шт. ) – фазана

Ответ: 12- кроликов, 23- фазана.

б) с помощью системы:

Пусть кроликов было Х штук, а фазанов – У штук, тогда 4Х – количество ног у кроликов, 2У- количество ног у фазанов. Составим систему уравнений:

1) всего голов было 35, получаем уравнение: Х + У = 35.

2) Всего ног было 94, получаем уравнение: 4Х + 2У = 94.

Х + У = 35 У = 35 – Х Х = 12

4Х + 2У = 94 4Х + 2 (35 – Х) = 94 У = 23 – фазана.

4Х + 70 – 2Х = 94

2Х = 94 – 70

2Х = 24

Х = 12 - кроликов

Ответ: 12- кроликов, 23- фазана.

Решим эту задачу арифметическим способом с рассуждениями.

а) Предположим, у всех животных было по две ноги, значит 35 · 2 = 70 ног. Но в условии задачи ног было 94, значит 94 – 70 = 24 ноги принадлежащие кроликам. 4 – 2 = 2 непосчитанные ноги одного кролика. 24 : 2 = 12 кроликов. 35 – 12 = 23 фазана.

Ответ: 12- кроликов, 23- фазана.

б) Предположим, у всех животных было по 4 ноги, значит 35 · 4 = 140 ног. Но по условию задачи ног было 94, значит 140 – 94 = 46 лишние ноги фазанов. 4 – 2 = 2 лишних ног у одного фазана. 46 : 2 = 23 фазана.

35 – 23 = 12 кроликов.

Ответ: 12- кроликов, 23- фазана.

Задача № 2.

За 4 блокнота и 5 альбомов заплатили 61 рубль. Сколько стоил блокнот и сколько стоил альбом, если блокнот на 4 рубля дороже альбома?

1 способ – с помощью уравнения:

1) Пусть альбом стоит Х рублей, тогда блокнот стоит (Х+4) рубля. За 5 альбомов заплатили 5Х рублей, а за 4 блокнота – 4(Х+4) рублей. По условию за всю покупку заплатили 61 рубль. Составляем уравнение:

4(Х+4) + 5Х = 61 Решая это уравнение найдем цену одного альбома.

4Х + 16 + 5Х = 61

9Х = 45

Х = 5 (руб. ) – стоил один альбом.

2) Х + 4 = 5 + 4 = 9 ( руб. ) –стоил один блокнот.

Ответ: 9 рублей и 5 рублей.

2 способ – с помощью системы уравнений:

1) Пусть альбом стоил Х рублей, а блокнот – У рублей. Тогда за 5 альбомов заплатили 5Х рублей, а за 4 блокнота – 4У рублей. По условию блокнот дороже альбома на 4 рубля, то есть У – Х = 4; по условию за все заплатили 61 рубль, то есть 5Х + 4У = 61. Составляем систему из двух уравнений:

У – Х = 4 У = 4 + Х Х = 5

4У + 5Х = 61 4(Х+4) + 5Х = 61 У = 9 (р. )- стоил блокнот

4Х + 16 + 5Х = 61

9Х = 45

Х = 5 (руб. ) – стоил один альбом

Ответ: 9 (р. )- стоил блокнот, 5 (р. )- стоит альбом.

3 способ – с помощью введения удобных единиц измерений:

Примем за единицу стоимости стоимость альбома и обозначим ее как 1а. Будем осуществлять "бартер" — всё покупать в обмен на альбомы. Определим теперь стоимость всех предметов в выбранных единицах.

Итак, один альбом стоит 1а, 5 альбомов стоят 5а. Так как блокнот на 4 рубля дороже альбома, то один блокнот в "альбомах" стоит 1а + 4 р. Блокнотов куплено 4, тогда их стоимость будет равна (1а + 4р. ) · 4 = 4а + 16р. Теперь легко определить стоимость всей покупки в "альбомах": 5а+ 4а + 16р = 9а + 16р. Мы знаем теперь стоимость всей покупки в рублях и в "альбомах", то есть можем выразить новые единицы в старых: 9а + 16р = 61р. Отсюда 1а = 5р. Значит, альбом стоит 5 р. , блокнот - 9 р.

Ответ: 5р. – альбом, 9р. – блокнот.

4 способ – арифметический с рассуждениями: так как блокноты стоили на 4 рубля дороже, и их было 4 штуки, то

1) 4 · 4 = 16 (р. ) – заплатили бы лишнего за блокноты по цене альбомов

2) 61 – 16 = 45 (р. ) – стоили бы альбомы с блокнотами вместе, по цене альбома.

3) 4 + 5 = 9 (шт. ) – альбомов и блокнотов вместе.

4) 45 : 9 = 5 (р. ) – стоят альбомы.

5) 5 + 4 = 9 (р. ) – стоят блокноты.

Ответ: 5 (р. ) – стоят альбомы, 9 (р. ) – стоят блокноты

5 способ – арифметический с рассуждениями: так как альбомы стоили на 4 рубля дешевле, и их было 5 штук, то

1) 4 · 5 = 20 (р. ) – не доплатили бы за блокноты по цене блокнотов.

2) 61 + 20 = 81 (р. ) – денег понадобилось было бы.

3) 4 + 5 = 9 (шт. ) – альбомов и блокнотов вместе.

4) 81 : 9 = 9 (р. ) – стоят блокноты

5) 9 – 4 = 5 (р. ) – стоят альбомы.

Ответ: 5 (р. ) – стоят альбомы, 9 (р. ) – стоят блокноты.

Задача № 3

Десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке – 5. Сколько было собак и сколько кошек?

1 способ.

1) Пусть собак было Х, тогда (10-Х)- было кошек. 6Х – галет досталось собакам, 5(10 – Х) галет досталось кошкам. По условию всего галет было 56. Составляем уравнение: 6Х + 5(10-Х) = 56

6Х-5Х +50 = 56

Х = 6 - собак

2) 10 - Х = 10 – 6 = 4 – кошек.

Ответ: 6 собак и 4 кошки.

2 способ.

1) Пусть собак было Х, а кошек – У. Х + У = 10.

6Х галет досталось собакам, 5Угалет досталось кошкам. Всего галет 56, значит 6Х + 5У = 56. Решим систему уравнений: Х + У = 10

6Х + 5У = 56.

У = 10 – Х Х = 6

6Х + 5(10 – Х ) = 56 У = 4

6Х -5Х + 50 = 56

Х = 6 собак.

Ответ: 6 собак, 4 кошки.

3 способ.

Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак — 6, а кошек — 4.

Конечно, это решение легко проверить. В самом деле, если 6 собак слопают по шесть галет, на это пойдет 36 галет. Четыре кошки, каждая из которых довольствуется 5 галетами, съедят 20 галет. В сумме это составит 56 галет, как и должно быть.

Ответ: 6 – собак, 4 – кошки.

Задача №4.

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65-й кислоты?

Арифметический (старинный) способ:

Нарисуем схему для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5 : 15 = 1 : 3.

Обосновании и старинного способа решения задач на смеси.

Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить с%-й раствор.

Пусть Х г – масса а%-го раствора,

У г – масса b%-го раствора,

Ха/100 г – масса чистой кислоты в 1 растворе

Уb/100 г – масса чистой кислоты во 2 растворе, с(Х + У)/ 100 г – масса чистой кислоты в смеси.

аХ/100 + bУ/ 100 = с(Х + У)/ 100, аХ + bУ = сХ + сУ,

(b – с)У = (с – а) Х,

Х : У = (b – с) : (с – а).

Такой же вывод дает схема

Х : У = (b – с) : (с – а).

Алгебраический способ:

Пусть Х г – масса 50%-й кислоты,

У г – масса 70%-й кислоты,

0,5Х г – масса чистой кислоты в первом растворе,

0,7У г – масса чистой кислоты во втором растворе,

( Х + У) г – масса смеси,

0,6 (Х + У) г – масса чистой кислоты в смеси.

Имеем уравнение:

0,5Х + 0,7У = 0,65 (Х + У), : У ≠ 0

0,5 · Х/У + 0,7 = 0,65 · Х/У + 0,65

0,15 · Х/У = 0,05, Х/У = 5/15, Х/У = 1/3,

Х : У = 1 : 3.

Ответ: 1 : 3.

Задача №5:

Из одного города в другой вышли два поезда. Первый поезд шел со скоростью 60 км/ч, а второй — 90 км/ч. Второй поезд вышел на 2 ч позже. Через сколько часов и на каком расстоянии второй поезд догонит первый ?

Решим задачу арифметическим методом.

1) 60 км/ч • 2 ч = 120 км - пройдет первый поезд за 2 ч;

2) 90 км/ч - 60 км/ч = 30 км/ч - на столько км/ч скорость второго поезда больше скорости первого;

3) 120 км : 30 км/ч = 4 ч - через столько часов после своего выхода второй поезд догонит первый;

4) 90 км/ч • 4 = 360 км — на таком расстоянии от города второй поезд догонит первый.

Ответ: Через 4 ч после своего выхода на расстоянии 360 км от города второй поезд догонит первый.

Решим задачу геометрически, используя конструктивный прием. Построим графическую модель. Примем условно длину одного отрезка по вертикали за 30 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч (рис. 1). Сначала откладываем отрезки пути, пройденного первым поездом до выхода второго, а затем отрезки, характеризующие расстояния, пройденные первым поездом за 3 ч и вторым за 1 ч, далее первым за 4 ч и вторым за 2 ч, первым за 5 ч и вторым за 3 ч и наконец первым за 6 ч и вторым за 4 ч. Отрезки найденных путей оказались равными, значит, второй поезд догонит первый через 4 ч после своего выхода, поезда пройдут 360 км.

Ответ: Через 4 ч после своего выхода на расстоянии 360 км от города второй поезд догонит первый.

Решим задачу алгебраически:

Пусть 1 поезд был в пути Х ч. проехав при этом 60 · Х км. Тогда 2 поезд был в пути (Х – 2) км. По условию поезда проходят одинаковый путь.

Получаем уравнение:

1) 90(Х – 2) = 60Х

90Х – 180 – 60Х = 0

30Х = 180

Х = 6 (ч. ) – был в пути 1 поезд.

2) Х – 2 = 6 – 2 = 4 (ч. ) – был в пути 2 поезд

3) 90 · 4 = 360 (км) – путь второго поезда.

Ответ: Через 4 ч после своего выхода на расстоянии 360 км от города второй поезд догонит первый.

5. Заключение

Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между нами, получают опыт применения математики к решению практических задач.

Основными способами решения текстовых задач все же являются алгебраический и арифметический. У каждого способа есть свои преимущества. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает математическую речь. Так же развивает умение анализировать задачные ситуации, строить план решения, истолковывать результат каждого действия. Воспитывает логическую культуру развивает эстетические чувства применительно к решению задачи.

Алгебраический способ должен применяться чаще всего при решении текстовых задач для которых арифметический способ становиться затруднительным или приводит к громоздким рассуждениям. Использование уравнений и систем облегчает процесс решения.

Не один из способов решении текстовых задач не обладает абсолютным преимуществом перед другим способом.

Каждый способ хорош в подходящей ситуации.