Решение тригонометрических уравнений

В результате разложения на множители решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений. Это, в свою очередь, означает, что после решения всех уравнений совокупности найденные семейства (множества) решений следует объединить. Объединяя семейства решений, иногда добиваются более компактной записи ответа.

В тех случаях, когда среди найденных значений х имеются повторяющиеся, объединяя семейства решений, ищут такую запись ответа, в которой повторяющихся значений х нет.

При решении уравнений методом введения новых переменных следует помнить, что важную роль играет выбор функции, через которую выражаются остальные функции. Может оказаться, что при одном выборе такой функции получается иррациональное уравнение, а при другом рациональное.

Рассмотрим методы решения тригонометрических уравнений.

Решение уравнений разложением на множители

2 cos x cos 2x = cos x

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению cos x (2 cos 2 x - 1) = 0. Это уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ: + (n, ± + (k (n, kZ)

Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 cosx – 10 cos x + 3 = 0.

Решение. Пусть cos x = y.

Данное уравнение примет следующий вид: 3y2 – 10y +3 = 0.

Решив его, найдем y1 = 1/3, y2 = 3. Значение y2 = 3 не удовлетворяет условию, так как ‌‌‌‌cos x ≤ 1.

Следовательно, cos x = 1/3; x = ± arccos (1/3) + 2(n, nZ.

Ответ: ± arccos (1/3) + 2(n (nZ).

Решение однородных и сводящихся к ним уравнений

Уравнения вида a0 sinn x + a1 sinn – 1 x cos x + a2 sinn – 2 x cos2 x +

+ an – 1 sin x cosn – 1x + an cosn x = 0, a0, a1,. , an - действительные числа, называются однородными относительно sin x и cos x.

Пример 1.

cos 3x + sin 3x = 0.

Решение. sin 3x = - cos 3x.

Так как значения x, при которых cos 3x=0, не являются корнями данного уравнения, то разделив обе части исходного уравнения на cos 3x, получим уравнение, равносильное исходному:

= - , или tg 3x = - 1.

Отсюда 3x = - + (n; x = - + n, nZ.

Ответ: - + n (nZ).

Пример 2.

6 sin2 x – sin x cos x – cos2 x = 3.

Решение. 6 sin2 x – sin x cos x – cos2 x – 3 (sin2 x + cos2 x) = 0.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем

3sin2x - sin x cos x – 4 cos2 x = 0.

Так как значения x = + (n не являются корнями уравнения и cos x ≠ 0, то разделим обе части уравнения на cos2 x:

3 tg2 x – tg x – 4 = 0, откуда tg x = - 1, x = - + (n, n Z, tg x = 4/3, x = arctg (4/3) + (k, k Z.

Ответ: - + (n, arctg (4/3) + (k, (n, k Z).

Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента

Пример 1.

sin x + cos x =.

Решение. (sin x + cos x) = , sin x cos ((/4) + cos x sin ((/4) = 1, sin = 1, x + = + 2(n (n Z), x = - + 2(n (n Z).

Ответ: + 2(n (n Z).

Пример 2.

cos x + sin x = 1.

Решение. cos ((/6) cos x + sin((/6)sin x = 1, cos (x - ) = 1, x - = 2(n (n Z), x = + 2(n (n Z).

Ответ: + 2(n (n Z)

Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Решение. cos 3x + (sin 2x – sin 4x) = 0.

Преобразовав выражение в скобках по формуле sin ( - sin ( = 2 sin cos, будем иметь cos 3x + (- 2 sin x cos 3 x) = 0, cos 3x (1 – 2 sin x) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений cos 3x = 0, sin x = 1/2; следовательно, x = + n, x = ( -1)k + (k (n, k Z).

Множество решений x = (-1)k + (k (k Z) целиком содержится в множестве решений x = + (n Z). Поэтому только это множество и остается как множество решений.

Ответ: + n (n Z).

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму sin 5x cos 3x = sin 6x cos 2x.

Решение. Применим формулу sin ( cos ( = (sin (( - () + sin (sin (( + ()) к обеим частям уравнения:

(sin 8x + sin 2x) = (sin 8x + sin 4x), sin 2x – sin 4x = 0.

Применив формулу sin ( - sin ( = 2 sin cos, получим

- 2 sin x cos 3x = 0 (

Ответ: (n, k (n, k ).

Решение уравнений с применением формул понижения степени cos2 ( = sin2 ( = sin2 x + sin2 2x = 1.

Решение. + = 1 ( cos 2x + cos 4x = 0 ( 2 cos 3x cos x = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений a) cos 3x = 0, 3x = + (n x = +n, n Z б) cos x = 0, x = + (k, k Z.

Множество решений уравнения б) является подмножеством множества решений уравнения а), поэтому в ответе запишем лишь корни уравнения а).

Ответ: + (n Z).

Решение уравнений с применением формул

1 + cos 2 ( = 2 cos2(

1 – cos 2 ( = 2 sin2( cos x – 2 sin2 (x/2) = 0.

Решение. cos x – (1 – cos x) = 0 ( 2 cos x – 1 = 0 ( cos x = 1(2 ( x = ( + 2(n (n Z).

Ответ: ( + 2(n (n Z).

Решение уравнений с применением формул двойного и тройного аргументов: sin 2( = 2 sin(cos( cos 2( = cos2( - sin2( = 2cos2( – 1 = 1 – 2sin2( tg 2( = , 2(, ( ≠ + (n (n Z) sin 3 ( = 3 sin ( - 4 sin2 ( cos 3( = 4 cos3( - 3 cos (

Пример 1.

sin 2x = cos x.

Решение. Применив формулу sin 2( = 2 sin(cos( к левой части уравнения, будем иметь 2 sin x cos x = cos x. Разделить обе части уравнения на cos x нельзя. Это приведет к потере решений, являющихся корнями уравнения cos x = 0. Перенесем cos x в левую часть. Тогда

2 sin x cos x - cos x = 0 ( cos x (sin x – 1) = 0 ( ((

Ответ: (- 1)k + (k (n, k ).

Пример 2.

2 sin (x/2) cos2 x – 2sin (x/2) sin2 x = cos2 x – sin2 x.

Решение. В левой части уравнения вынесем за скобку общий множитель 2sin (x/2):

2sin (x/2) (cos2 x – sin2 x) = cos2 x – sin2 x

Заменив выражение cos2 x – sin2 x согласно формуле (cos 2( = cos2( - sin2( = 2cos2( – 1= 1 – 2sin2() на cos 2x, получим

2 sin (x/2) cos 2x = cos2x, или

2 sin (x/2) cos 2x – cos 2x = 0 ( cos 2x (2sin (x/2) – 1) = 0( ( Ответ: n, (-1)k + 2(k(n, k).

Решение уравнений с помощью замены переменных а) Уравнения вида Р (sin x ( cos x, sin x cos x) = 0, где P (y, z) – многочлен , решаются заменой cos x (sin x = t ( 1 ( 2sin x cos x = t2.

Рассмотрим пример.

sin x + cos x = 1 + sin x cos x.

Решение. Обозначим sin x + cos x = t. Тогда (sin x + cos x)2 = t2, 1 + 2sin x cos x = t2. sin x cos x = (t2 – 1)/2. Наше исходное уравнение в новых обозначениях будет выглядеть так: t = 1 + (t2 – 1)/2 или t2 – 2t + 1 = 0, (t – 1)2 = 0, t = 1, т. е.

sin x + cos x = 1, (sin x + cos x) = 1, cos ((/4)cos x + sin ((/4) sin x = 1/, cos = , x - = ( + 2(n, n Z, x = ( + 2(n, n Z.

Ответ: + 2(n, (n Z).

б) Уравнения вида a sin x + b cos x + d, где a, b, d – действительные числа и a, b ≠ 0 решаются заменой cos x = sin x = x ≠ ( + 2(n (n Z).

3 cos x + 4 sin x = 5.

Решение.

3 + 4 = 5,

3 – 3 tg2 (x/2) + 8 tg (x/2) = 5 + 5 tg2 (x/2),

4 tg2 (x/2) – 4 tg (x/2) + 1 = 0, (2 tg (x/2) – 1)2 = 0, tg (x/2) = 1/2, x = arctg (1/2) + 2(n, n.

Ответ: 2 arctg (1/2) + 2(n, (n).

в) Введением новой переменной решаются многие уравнения.

sin4 2 x + cos4 2 x = sin 2 x cos 2 x.

Решение. (sin2 2 x + cos2 2x)2 – 2 sin2 2x cos2 2x = sin 2x cos 2x,

2 sin2 2x cos2 2x + sin 2x cos 2x - 1 = 0.

Обозначим sin 2x cos 2x = y. Тогда последнее уравнение примет вид 2y2 + y – 1 = 0, или

2 (y + 1) = 0.

Перейдем к переменной x и будем иметь

1) sin 2x cos 2x = - 1, 2 sin 2x cos 2x = - 2, sin 4x = - 2, x(.

2) sin 2x cos 2x = 1/2, sin 4x = 1, 4x = + 2(n, n Z, x = + n, n Z.

Ответ: x = + n (n Z).

Решение тригонометрических уравнений вида f (x) =

= sin x, x.

Решение.

При условии, что обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

1 – cos x = sin2 x, 1 – cos x = 1 – cos2 x, cos2 x – cos x = 0, cos x (cos x – 1) = 0.

1) cos x = 0, x = + (n, n Z,

2) cos x = 1, x = 2k, k Z.

Но так как sin x ( 0 и x , то оставляем x = 2(, 5(/2.

Ответ: 2(; 5(/2.

Решение уравнений с использованием ограниченности функций sin x и cos x

(cos (x/4) – 2 sin x) sin x + (1 + sin (x/4) – 2 cos x) cos x = 0.

Решение. cos (x/4) – 2 sin2 x + cos x + sin (x/4) cos x – 2 cos2 x = 0, sin + cos x – 2(sin2 x + cos2 x) = 0, sin (5x/4) + cos x = 2.

Так как функции sin (5x/4) и cos x имеют наибольшее значение, равное 1, то сумма их равна 2, если sin (5x/4) = 1 и cos x = 1одновременно, т. е.

2(k = + n, k =

Так как k, то n = 1 + 5m (m), и тогда x = 2( + 8(m, m.

Ответ: 2( + 8(m, m.