Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Одним из ключевых понятий при решении систем линейных алгебраических уравнений является понятие ранга матрицы. Введем это понятие. Выделим в матрице A размерности m(n k строк и k столбцов, где k – число, меньшее или равное меньшему из чисел m и n. Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных k строк и k столбцов, называется минором или определителем, порожденным матрицей A. Например, для матрицы при k = 2 определители

, , будут порожденными данной матрицей.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок порожденных ею определителей, отличных от нуля. Если равны нулю все определители порядка k, порожденные данной матрицей, то rang A < k.

Теорема 1. Ранг матрицы не изменится, если

1. Поменять местами любые два параллельных ряда.

2. Умножить каждый элемент ряда на один и тот же множитель ( ( 0.

3. Прибавить к элементам ряда соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на один и тот же множитель.

Преобразования 1–3 называются элементарными. Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Минор Mk+1 порядка k+1, содержащий в себе минор Mk порядка k, называется окаймляющим минором Mk. Если у матрицы A существует минор Mk ( 0, а все окаймляющие его миноры Mk+1 = 0, то rang A = k.

Пример. Найти ранг матрицы

Решение.

Имеем. Для M2 окаймляющими будут только два минора:

, каждый из которых равен нулю. Поэтому rang A = 2, а указанный минор M2 может быть принят за базисный.

Теорема 2 (Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x1, x2, , xn была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы и ранг так называемой расширенной матрицы системы были равны, т. е. rang A = rang B = r.

Далее, если rang A = rang B и r = n, то система имеет единственное решение; если r < n, то система имеет бесконечное множество решений, зависящее от n – r произвольных параметров.

Система называется однородной, если все ее свободные члены bi (i = 1, m) равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется неоднородной. Для однородной системы уравнений rang A = rang B, поэтому она всегда совместна.

Решение СЛАУ методом Гаусса.

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть все хотя бы один из свободных членов системы уравнений отличен от нуля, т. е. система неоднородна. Если основная матрица A системы имеет ранг r = n, то расширенная матрица B этой системы с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов всегда может быть приведена к треугольному виду, где на главной диагонали матрицы располагаются единицы, а все элементы ниже главной диагонали равны нулю:

Эта матрица является расширенной матрицей системы которая эквивалентна исходной системе (т. е. имеет те же самые решения, что и исходная система). Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система и исходная система несовместны. Если же , то системасовместна, а из системы можно последовательно выразить в явном виде базисные переменные через свободные переменные. Если r = n, то решение этой системы единственно. В дальнейшем будем рассматривать последний случай, т. е. когда r = n.

Пример. С помощью метода последовательных исключений Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее.

Решение.

Составим расширенную матрицу B и проведем необходиые элементарные преобразования строк:

Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной

Из нее, двигаясь снизу вверх, последовательно находим: x4 = –1, x3 = 1, x2 = 0, x1 = –2.