Решение одного уравнения четвертой степени несколькими способами

Уравнение - это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения ); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными.

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.

Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.

Решить уравнение - это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.

Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.

Так вот, главная задача при решении любого уравнения - свести его к простейшим.

Определение 1.

Уравнение f(x)=ф(x) где функции f и ф заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением. ОДЗ этого уравнения - множество всех действительных чисел.

Известно, что алгебраическая сумма и произведение многочленов есть многочлен, поэтому с помощью тождественных преобразований каждое целое рациональное выражение можно представить в виде многочлена и, следовательно, перейти от уравнения к равносильному уравнению

Р (х)=Q(х), где Р (х) и Q(х) - некоторые многочлены с одной переменной х.

Перенося Q(х) в уравнении в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х)-Q(х)=0, где в левой части многочлен, а в правой части 0. Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения.

Так, если в уравнении раскрыть скобки, перенести все члены в левую часть и привести подобные, то получим равносильное уравнение.

Определение 2.

Целым рациональным уравнением степени n стандартного вида называют уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0, где a0!=0.

Как показано выше, всякое целое рациональное уравнение можно привести к равносильному ему уравнению стандартного вида.

В случае, когда a0=1, уравнение имеет вид: xn+a1xn-1+. + an-1x+ an=0, его называют приведенным целым рациональным уравнением степени n.

Например, x2+ px+q=0 - приведенное квадратное уравнение.

Из определения 2 следует, что решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения.

Существуют формулы вычисления корней и для уравнений третьей и четвертой степеней. Однако эти формулы столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Поэтому в современной математике разработаны различные методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений.

1. 2. Основные методы решения целых рациональных уравнений

Процесс решения уравнений заключается в сведении данного уравнения к линейным или квадратным уравнениям. Для этого применяют два основных метода: 1) разложение на множители и 2) введение новой переменной.

1. 2. 1. Метод разложения на множители

Теорема 1. Уравнение fxxфx=0, определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений f (x)=0 и ф(x)=0.

Теорема 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если уравнение a0xn+a1xn-1+. +an-1x+an=0 с целыми коэффициентами имеет рациональный корень x0=pq, где pq - несократимая дробь, то p - делитель свободного члена an, а q - делитель старшего коэффициента a0.

1. 2. 2. Введение новой переменной

Пожалуй, самым важным методом решения уравнений любого типа является введение нового неизвестного, относительно которого уравнение имеет более простой вид, легко приводящийся к элементарному типу.

Перечислим наиболее часто встречающиеся типы замен.

Замена y = x n ( степенная замена )

В частности, с помощью замены y = x 2 так называемое биквадратное уравнение ax 4 + bx 2 + c = 0, a != 0 приводится к квадратному.

Замена y=Pn(x) или y=√Pn(x) ( замена многочлена )

Чаще всего встречается замена y=ax2+bx+c или y=ax2+bx+c

Замена y=Pn(x)Qm(x) (дробно-рациональная замена). Здесь, как и всегда, Pn(x) и Qm(x) − многочлены степеней n и m соответственно.

В частности, с помощью широко распространённой замены y=x+1x решаются так называемые возвратные уравнения, то есть уравнения вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a != 0.

Покажем, как это делается. Так как a != 0, то число x = 0 не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на x 2 != 0, получим

А так как x2+1x2=(x+1x)2-2, то после замены y=x+1x уравнение сводится к квадратному ay2+by+c-2a=0.

Дадим два практических совета.

Совет 1. Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Совет 2. Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному

Глава 2: Практическая часть

Методы решения одного уравнения

Для решения уравнения несколькими способами выберем уравнение x4+x3-4x2+x+1=0

I метод: неопределенных коэффициентов.

Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x4+x3-4x2+x+1 на двучлен x-1.

x[4] + x[3] - 4· x[2] + x + 1 x - 1 x[4] - x3 x[3] +2· x[2] - 2 x - 1

2x[3] - 4· x[2] + x + 1

2x[3] - 2· x[2]

- 2∙ x[2] + x + 1

- 2∙ x[2] +2 x

- x + 1

- x + 1

Если есть целочисленные корни, то они являются делителями свободного члена: x=+-1. Подбором убеждаемся, что x=1 является решением уравнения. Делим уголком многочлен x3+2x2-2x-1 на двучлен x-1.

x[3] + 2· x[2] - 2 x - 1 x - 1 x[3] - x2 x[2] +3· x + 1

3x[2] - 2· x - 1

3x[2] - 3· x x - 1 x - 1

Осталось решить квадратное уравнение x2+3x+1=0

D=32-4∙1=9-4=5 x=-3+-52

Ответ: x=1; x=-3+-52

II метод: разложение на множители.

Распишем 4x2=2x2+2x2 x4-2x2+1+x3+2x2+x=0

(x2-1)2+x(x2-2x+1)=0 x-12(x+1)2+x(x-1)2=0 x-12(x+12+x)=0 x-12x+12+x=0 ⇒ x-12=0x2+ 3x+1=0

Ответ: x=1; x=-3+-52

III метод: как возвратное уравнение.

Смотрим, что коэффициенты симметричны, следовательно это возвратное уравнение. Проверкой можно убедиться, что x = 0 не является корнем уравнения, а значит, уравнение можно почленно разделить на x2.

x4+x3-4x2+x+1=0 ⟹ x4x2 + x3x2 - 4x2x2+xx2+1x2 =0 x2 + 1x2 + x + 1x- 4=0

Делаем замену переменной: t=x + 1x t2=x + 1x2=x2 + 1x2 + 2 ⇒ x2 + 1x2=t2-2

Тогда уравнение перепишется в виде: t2-2+t-4=0 ⇒ t2+t-6=0 ⇒ t1=-3; t2=2.

Переходим обратно к переменной x.

x + 1x= -3 ⇒ x2+ 3x+1=0 ⟹ x=-3+-52 x + 1x= 2 ⇒ x2-2x+1=0 ⟹ x=1

Ответ: x=1; x=-3+-52

IV метод: графический.

Перепишем уравнение в виде: x4-4x2=-x3-x-1

Построим на одном чертеже два графика функций: у=x4-4x2; у=-x3-x-1

Построим первую функцию, используя методы математического анализа: у=x4-4x2 у=x4-4x2; у=-x3-x-1 у'=4x3-8x=2x(x2-2) у'=4x3-8x=2xx2-2=x=0,x= +- 2.

- + −+

-√2 0 √2

min max min

Дополнительные точки: x

Построим вторую функцию, используя методы математического анализа: у=-x3-x-1 у'=-3x2-1<0, следовательно функция убывающая

Дополнительные точки: x

Видны 3 точки пересечения, но точное значение можно определить только у одной из них, это недостаток графического решения, а также его недостаток - протяженность во времени.

V метод: общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени (согласно теореме Виета высших степеней)

Уравнение:

(1) имеет четыре корня

Известно, что:

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

Составляем квадратное уравнение:

(8) где ,.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая перепишем уравнение (8) в виде:

Решая уравнение (8) получаем:

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

Учитывая, что перепишем формулу (7) в виде:

Подставляя в формулу (12) в формулу (11) получаем

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

Таким образом, решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (14), где и двух квадратных уравнений:

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

Полное уравнение четвертой степени сводится к уравнению (1) путем замены переменной на переменную.

Итак, решим уравнение x4+x3-4x2+x+1=0.

Сделаем замену:

Тогда уравнение перепишется в виде у4-198у2+258у+125256=0.

Тогда надо решить уравнения:

А также уравнения

Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*) нас приводит к первым трем способам решения, то есть мы делаем работу дважды. Но положительно в этом способе то, что он универсален, то есть подходит к множеству уравнений.

VI метод: по формуле Феррари

Феррари находит способ решения уравнения 4-й степени.

Пусть ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 (1) - общее уравнение 4-й степени.

Если положить x=y-ba, то уравнение (1) можно привести к виду y4+2py2+2qy+r=0 , (2) где p,q,r - некоторые коэффициенты, зависящие от a,b,c,d,e. Легко видеть, что это уравнение можно записать в таком виде:

(y2+p+t)2=2ty2-2qy+t2+2pt+p2-r (3)

В самом деле, достаточно раскрыть скобки, тогда все члены, содержащие t, взаимно уничтожается, и мы возвратимся к уравнению (2). Выберем параметр t так ,чтобы правая часть уравнения (3) была полным квадратом относительно y. Как известно, необходимым и достаточным условием этого является обращение в нуль дискриминанта из коэффициентов трехчлена (относительно y), стоящего справа: q2-2tt2+2pt+p2-r=0 (4)

Получили полное кубическое уравнение, которое мы уже можем решить. Найдем какой либо его корень и внесем его в уравнение (3), теперь примет вид

(y2+p+t)2=2t(y-q2t)2.

Отсюда y2+-2ty+p+t+-q√2t=0.

Это квадратное уравнение. Решая его, можно найти корень уравнения(2), а следовательно, и (1).

Итак, попробуем решить: x4+x3-4x2+x+1=0 ax4+4bx3+6cx2+4dx+c=0 a=1 4b=1 6c= -4 4d=1 c=1 x=y-ba=y-14 y-144+y-143-4y-142+1=0

(y4-14)2+y3-3y2∙14+3y∙116-164-4y2-2y∙14+116=(y2-12y+116)2+y3-34y2+3y16-164-4y2-2y∙14+116

Уже на данном этапе видно, то этот способ очень труден и решение уравнения (*). Его можно использовать, но он очень энергоемкий. Зато также как и формула Виета, формула Феррари универсальна для любых уравнений четвертой степени.

Заключение

Одно уравнение можно решить несколькими методами. В зависимости от примера нахождение методов решения различно. Для каждого уравнения находится свой оптимальный способ решения.

Данный пример, мы решили 6 методами. Из них мне больше нравится метод разложения на множители, так как он короче и менее трудоемкий.

Для решения именно этого уравнения наиболее оптимальный способ решить как возвратное уравнение. Но этот метод применяется не всегда, так как он не универсален и не во всех случаях подходит.

Метод неопределенных коэффициентов также удобен в этом случае, но не все уравнения имеют целые корни, поэтому оптимален в определенных случаях.

Графический способ решения уравнений энергоемкий и не дает точных ответов. Этот способ удобен для решения задач, где необходимо узнать сколько корней имеет уравнение, а не какие.

Теорема Виета для уравнений высших степеней является универсальным методом. Но его редко используют, так как он трудоемкий.

Для уравнений универсален метод Феррари. Но для этого случая он слишком энергоемкий.

Моя работа значима для учащихся старших классов, которым предстоит встретиться с подобными задачами на Едином государственном экзамене или на вступительных экзаменах в ВУЗы.