Решение неравенств первой степени
Задачи с параметрами встречаются в математике всякий раз, когда мы имеем дело с буквенными обозначениями чисел. Термин «параметр» происходит от греческого - отмеривающий. Так называют величины, значения которых служат для различения между собой элементов некоторого множества, класса или семейства.
Я исследовал различные способы решения неравенств 1 и 2 степени с параметрами : аналитический, графический, комбинированный (аналитико - графический).
Способ решения неравенств с использованием графического метода для решения неравенств 1 и 2 степени с параметрами удобен тем, что можно выработать общий подход решения и дать определенный алгоритм решения для данных неравенств. При этом можно наглядно рассмотреть задачи, включающие несколько возможных случаев.
Решение неравенств 1 степени с параметрами при определенном условии
Определение. Функция вида y = kx + b, где k и b – произвольные числа, называется линейной функцией.
1 вид - линейное неравенство
2 вид –рациональное неравенство, где f1(х) и f2(x) -линейные функции.
Неравенства
Где f1(x) и f2(x) – линейные функции.
Для неравенств каждого вида я составил блок – схему решения данного типа неравенств.
Блок - схему нужно использовать как путь по которому нужно выбрать ход решения неравенства.
Задача 1. При каких значениях k неравенство (k – 4)x + k – 5 < 0 справедливо для всех x, удовлетворяющих условию x ≤ 3?
Решение. Пусть f(x) = (k – 4)x + k – 5. f(x) < 0; k – ?
Если числитель и знаменатель неравенства является линейной функцией, то нужно рассмотреть 2 случая: f1(х)<0 ,f2(х)>0 и f1(х)>0 ,f2(х)<0 с использованием графика. В итоге так же рассмотреть совокупность решений.
Задача 2. Найти все значения a, при которых для всех x, удовлетворяющих условию x < 1, справедливо неравенство.
Решение.
Данный способ решения можно считать универсальным, так как он подходит для всех неравенств такого типа.
Аналогичная работа проделана с неравенствами второй степени, только вместо блок – схемы я составил алгоритм решения, так как количество рассматриваемых случаев может быть разное. Это зависит от условия задачи.
Решение неравенств второй степени с параметром.
Определение. Функция, задаваемая формулой ax2 + bx + c, где a ≠ 0, называется квадратичной функцией.
Рассмотрим расположение графика по отношению к оси абсцисс во всех шести случаях (слайд 10).
Алгоритм решения неравенств
2. степени с параметрами при определенном условии
1) Записать неравенство, привести к стандартному виду.
2) Выделить интервал, на котором будет рассматриваться решение данного неравенства
3) Вычислить дискриминант, значение функции на концах интервала
( т. е. D, f(-2), f(1)
4) Рассмотреть всевозможные случаи расположения графиков для данного неравенства ( случаев может быть разное количество)
5) Составить систему неравенств для каждого случая, для этого рассмотреть а) коэффициент перед х2 ( в данном случае m , см. задачу 3) б) дискриминант в) значения функций на концах интервала
6) Решить системы неравенств
7) В итоге рассмотреть совокупность решения систем каждого случая
Задача 3. При каких значениях m неравенство mx2 – 2(m + 3)x + m < 0 верно при всех x, удовлетворяющих условию – 2 ≤ x≤ 1?
Решение. Пусть f(x) = mx2 – 2(m + 3)x + m. Тогда
Задача 4. При каких значениях a функция f(x) = – x3 + 4x2 – ax – 8 возрастает на (1; 2)?
Решение. Напишем производную от f(x) и воспользуемся критерием возрастания: f '(x) = – 3x2 + 8x – a > 0, т. е. 3x2 – 8x + a < 0.
Пусть f(x) = 3x2 – 8x + a. Тогда имеем
Данный способ решения, строго следуя алгоритму, позволит решить неравенство 2 степени с параметрами при определенном условии.
В итоге составлен алгоритм решения для неравенств каждого вида, создан самоучитель, который наглядно можно просмотреть на слайдах ( см приложение). На основе данного материала любой старшеклассник, неплохо разбирающийся в данной теме, может научиться решать эти неравенства, следуя определенному алгоритму. К пособию прилагаются электронные тесты, которые разработаны в программе Excel, они могут оценить ваш уровень знаний по данной теме.
Комментарии