Решение иррациональных уравнений с помощью введения вспомогательных неизвестных

На современном этапе развития науки и техники роль математики особенно возрастает. Ни одна практически наука не обходится без применения математики. Математика используется в самых разнообразных профессиях – она нужна инженеру, военному, биологу, конструктору, программисту, можно твердо сказать, что она нужна всем. И здесь особенно важно направление, изучающее уравнения, системы уравнений. Поэтому мы для своей исследовательской работы выбрали тему, позволяющую более глубоко изучить это направление, в частности симметрические уравнения и системы уравнений.

Симметрия — слово греческое и обозначает оно регулярную систему, гармонию между частями целого. Признаки симметрии встречаются в геометрических фигурах, в неорганической природе (кристаллы), в растительном мире, (расположение листьев, лепестков цветов), в животном мире (расположение некоторых наружных органов), в строительстве, искусстве (орнамент, узоры), в рукоделье (кружева, вышивки), в технике — одним словом везде, потому что симметрия является структурной необходимостью организмов и устройств. Что такое симметрия в геометрии — мы узнаем при изучении осевой симметрии, центральной симметрии (на плоскости) и пространственной симметрии, а с симметрией в алгебре сталкиваемся, изучая свойства функций. Но чаще всего симметрия в широком смысле этого слова имеет место в задачах на решение уравнений, систем уравнений, в некоторых графических задачах. Так, например, многие из задач алгебры решаются единообразным методом, использующим замену переменных и основанным на теории симметрических многочленов.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНАХ ОТ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Многочлены, в которые х и у входят одинаковым образом, называют симметрическими. Точнее говоря:

Многочлен от х и у называют симметрическим, если он не изменяется при замене х на у, а у на x.

Многочлен х2у + ху2 — симметрический. Напротив, многочлен х3 — Зу2 не является симметрическим, т. к. при замене х на у, а у на х он превращается в многочлен у3 — Зх2, который не совпадает с первоначальным. Из арифметики известно, что сумма двух чисел не меняется при перестановке слагаемых, т. е. х + у = у + х для любых чисел х и у. Это равенство показывает, что многочлен х + у является симметрическим. Точно так же из закона коммутативности умножения ху = ух следует, что произведение ху является симметрическим многочленом.

Симметрические многочлены х + у и ху являются самыми простыми. Их называют элементарными симметрическими многочленами от х и у. Для них используют специальные обозначения:

σ1 = х + у, σ2 = ху

Кроме σ1 и σ2 часто встречаются так называемые степенные суммы, т. е. многочлены х2 + у2, х3 + у3 , х4 + у4,. , хn + уn. Принято обозначать многочлен хn + уn через sn. Таким образом, s1 = х+у, s2 =. х2+у2, s3 = х3+у3, s4 = х4+у4,.

Существует простой прием, позволяющий получать симметрические многочлены. Возьмем любой многочлен от σ1 и σ2 и подставим в него вместо σ1 и σ2 их выражения через х и у. Ясно, что при этом мы получим симметрический многочлен от х и у (ведь ни σ1 = х + у, ни σ2 = ху не меняются при перестановке местами х и у, а потому не меняется и весь получившийся многочлен, выражающийся через х + у и ху). Например, из многочлена

σ13 – σ1 σ2 получаем симметрический многочлен

(х + у)3 - (х + у)ху = х3 + 2х2у + 2ху2 + у3

Итак, если взять любой многочлен от σ1 и σ2 и подставить в него вместо σ1 и σ2 их выражения σ1 = х + у, σ2 = ху, то получится симметрический многочлен от х и у. Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов общим, т. е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен?

Рассмотрение примеров делает это предположение вероятным. Например, степенные суммы s1 , s2 , s3 , s4 без труда выражаются через σ1 и σ2: s1 = х+у = σ1; s2 =. х2+у2 = (х + у)2 – 2ху = σ12 - 2 σ2; s3 = х3+у3 = (х + у)(х2 – ху + у2) = (х + у)((х + у)2 – 3ху) = σ1(σ12 - 3σ2); s4 = х4+у4= (х2 + у2) 2– 2х2у2 =( σ12 - 2σ2)2 - 2σ22.

Таким образом, примеры приводят нас к предположению о справедливости следующей теоремы:

Теорема. Любой симметрический многочлен от х и у можно представить в виде многочлена от σ1 = х + у и σ2 = ху.

Доказательство:

1. Сначала докажем теорему не для любых симметрических многочленов, а лишь для степенных сумм. Установим, что каждую степенную сумму sn = хn+уn можно представить в виде многочлена от σ1 и σ2.

С этой целью мы умножим обе части равенства sk – 1 = xk– 1 + yk– 1 на σ1 = х + у. Получим:

σ1 sk – 1 = (х + у)( xk– 1 + yk– 1 ) = хk + xyk – 1 + xk – 1y + yk =

= хk + yk + xy(xk – 2 + yk – 2) = sk+ σ2 sk – 2

Таким образом, sk = σ1 sk – 1 – σ2 sk – 2. (1)

Из этой формулы и вытекает справедливость нашего утверждения. В самом деле, раньше мы уже проверили, что степенные суммы s1 и s2 представляются в виде многочленов от σ1 и σ2. Но если нам уже известно, что степенные суммы s1 , s2 ,. , sk - 2 , sk – 1 выражаются в виде многочленов от σ1 и σ2, то, подставляя эти выражения в формулу (1), мы получим выражение степенной суммы sk через σ1 и σ2. Иными словами, мы можем последовательно находить выражения степенных сумм через σ1 и σ2: зная s1 и s2, находим по формуле (1) s3 , затем s4 и т. д. Рано или поздно мы получим выражение любой степенной суммы sn через σ1 и σ2. Таким образом, наше утверждение доказано.

Выражения степенных сумм sn = хn+уn через σ1 = х + у и σ2 = ху s1 = σ1

s2 = σ12 – 2σ2

s3 = σ13 – 3σ1 σ2

s4 = σ14 – 4σ12 σ2+ 2 σ22

s5 = σ15 – 5σ13 σ2+ 5 σ1σ22

s6 = σ16 – 6σ14 σ2+ 9 σ12σ22 – 2 σ23

s7 = σ17 – 7σ15 σ2+ 14σ13σ22 – 7σ1σ23

s8 = σ18 – 8σ16 σ2+ 20σ14σ22 – 16σ12σ23 + 2σ24

s9 = σ19 – 9σ17 σ2+ 27σ15σ22 – 30σ13σ23 + 9σ1σ24

s10 = σ110 – 10σ18 σ2+ 35σ16σ22 – 50σ14σ23 + 25σ12σ24 – 2σ25

Формула (1), составляющая основу изложенного доказательства, позволяет не только утверждать, что sn как-то выражается через σ1 и σ2, но также позволяет последовательно вычислять выражения степенных сумм sn через σ1 и σ2. Так, с помощью формулы (1) мы последовательно находим выражения степенных сумм s1 , s2 ,. , s10 через σ1 и σ2:

2. Теперь завершим доказательство теоремы. Любой симметрический многочлен от х и у содержит (после приведения подобных членов) слагаемые двух видов.

Во-первых, могут встретиться одночлены, в которые х и у входят в одинаковых степенях, т. е. одночлены вида axkyk. Ясно, что axkyk = a (xy)k =

=a σ2k, т. е. одночлены этого вида непосредственно выражаются через σ2.

Во-вторых, могут встретиться одночлены, имеющие разные степени относительно х и у, т. е. одночлены вида bxkyl, где k ≠ l. Вместе с одночленом bxkyl симметрический многочлен содержит также и одночлен bxlyk, получаемый из bxkyl перестановкой букв х и у. Иными словами, в симметрический многочлен входит двучлен вида b(xkyl + xlyk). Предполагая для определенности k

А так как по доказанному степенная сумма sl – k представляется в виде многочлена от σ1 и σ2, то и рассматриваемый двучлен выражается через σ1 и σ2.

Итак, каждый симметрический многочлен представляется в виде суммы одночленов вида axkyk и двучленов вида b(xkyl+ xlyk), каждый из которых выражается через σ1 и σ2. Следовательно, любой симметрический многочлен представляется в виде многочлена от σ1 и σ2.

Теорема полностью доказана.

ПРИМЕНЕНИЕ К ЭЛЕМЕНТАРНОЙ АЛГЕБРЕ.

1. Решение систем уравнений.

Определение. Система с n переменными называется симметрической, если она не меняется при перестановке переменных.

При решении симметрических систем уравнений удобно перейти к новым неизвестным σ1 = х + у и σ2 = ху. В силу теоремы о симметрических многочленах, это всегда возможно. Выгода такой замены переменных заключается в том, что степени уравнений после замены уменьшаются. Иными словами, как правило, решение системы относительно новых неизвестных σ1 и σ2 проще, чем решение первоначальной системы.

После того как найдены значения величин σ1 и σ2, нужно найти значения первоначальных неизвестных х и у.

1) Решить систему уравнений:

Решение:

Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху. Тогда х3 + у3 = σ13 – 3σ1 σ2. Для новых неизвестных получаем новую систему уравнений:

Для первоначальных неизвестных получаем следующую систему уравнений:

Ответ: (2;3), (3;2).

2) Решить систему уравнений:

Решение:

Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху. Тогда х3+ у3=σ13 – 3σ1 σ2 и х2 + у2 = σ12 – 2σ2. Для новых неизвестных получаем новую систему уравнений:

Находя из второго уравнения значение σ2 и подставляя его в первое уравнение, получаем уравнение относительно неизвестного σ1:

Подставляя в рассматриваемое кубическое уравнение целые значения для σ1 (σ1 = ±1; ±2; ±4; ±8; ±16), находим, что значение σ1 = 2 является его корнем. По теореме Безу следует, что левая часть этого уравнения делится на σ1 – 2. Получим:

Рассматриваемое кубическое уравнение распадается на два уравнения:

σ1 – 2 = 0 и

σ1 = 2 σ1 = 2; σ1 = – 4

σ2 = 0; σ2 = 6

Для первоначальных неизвестных получаем две системы уравнений:

Вторая система не имеет действительных корней.

Ответ: (2;0), (0;2).

3) Решить систему уравнений:

Решение:

Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху. Тогда х3 + у3 = σ13 – 3σ1 σ2 , х2 + у2 = σ12 – 2σ2 и х2 + у2 =σ15 – 5σ13 σ2+ 5 σ1σ22. Для новых неизвестных получаем новую систему уравнений:

Находя из второго уравнения значение σ2 и подставляя его в первое уравнение, получаем уравнение относительно неизвестного σ1:

σ1 = ; σ1 = ; σ1 = 1; σ1 = – 1

σ2 = ; σ2 = ;σ2 = – 2; σ2 = 2

Для первоначальных неизвестных получаем следующие системы уравнений:

Первые две системы не имеют действительных корней. Из третьей и четвертой систем находим:

или или или

Ответ: (-1;2), (2; -1), ( - 2;1), (1; - 2).

4) Решить систему уравнений:

Решение:

Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху. Тогда х3 + у3 = σ13 – 3σ1 σ2 и х2 + у2 = σ12 – 2σ2. Для новых неизвестных получаем новую систему уравнений:

Первая система уравнений совокупности не имеет действительных корней. Решая вторую систему уравнений, получим:

Подставляя в рассматриваемое кубическое уравнение целые значения для σ1

(σ1 = ±1; ±13), находим, что значение σ1 = 1 является его корнем. По теореме Безу следует, что левая часть этого уравнения делится на σ1 – 1. Получим:

Рассматриваемое кубическое уравнение распадается на два уравнения:

σ1 – 1 = 0 и

σ1 = 1 σ1 =; σ1 =

σ2 =; σ2 =

Для первоначальных неизвестных получаем следующие системы уравнений:

Вторая и третья системы не имеют действительных корней.

Ответ: ( - 2;3), (3; - 2)

2. Решение иррациональных уравнений с помощью введение вспомогательных неизвестных.

Иногда введением вспомогательных неизвестных можно свести уравнение с одним неизвестным к симметрической системе двух уравнений с двумя неизвестными.

1) Решить иррациональное уравнение:

Решение:

Положим и. Тогда, рассматриваемое уравнение примет вид у + z = 5. Кроме того, имеем у4 + z4 = х + (97 – х) = 97. Таким образом, получим систему уравнений:

Введем новые неизвестные σ1 = х + у и σ2 = ху.

Тогда х4 + у4 = σ14 – 4σ12 σ2 + 2σ22. Для новых неизвестных получаем новую систему уравнений:

Решая это квадратное уравнение, находим: σ1 = 6 и σ2 = 44.

Первая из этих систем имеет решения

Т. к. , то для первоначального неизвестного х получаем два решения: х1 = 16; х2 = 81.

Вторая система не имеет действительных корней.

Ответ: 16; 81.

3. Возвратные уравнения.

Симметрические многочлены можно применять для решения некоторых уравнений высших степеней. Рассмотрим так называемые возвратные уравнения.

Назовем многочлен f(z) = a0zn + a1zn – 1 +. +an (a0 ≠0)(*) возвратным, если в нем коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, т. е. a0 = an, a1 = an – 1, a2 = an – 2

Уравнение f(x) = 0, левая часть которого представляет собой возвратный многочлен, называется возвратным.

Теорема. Всякий возвратный многочлен f(z) = a0z2k + a1z2k – 1 + +a2k – 1z + a2k четной степени 2k представляется в виде f(z) = zk h(σ), где σ = z + и h(σ) – некоторый многочлен степени h от σ.

Всякий возвратный многочленf(z) нечетной степени делится на z + 1, причем частное представляет собой возвратный многочлен четной степени.

Доказательство:

Рассмотрим сначала многочлен f(z) четной степени 2k. Вынося в этом многочлене за скобки zk, получим: f(z) = zk(a0zk + a1zk – 1 + + a2k – 1 + a1k ), или, принимая во внимание равенства a0 = a2k, a1 = a2k – 1 f(z) = zk[a0(zk + ) + a1(zk – 1 + ) + + ak]

Осталось доказать, что двучлены , , можно выразить через σ = z +.

Положим x = z, y = , тогда степенная функция sk = хk+уk превратится в выражение zk + , элементарный симметрический многочлен σ1 = х + у в σ = z + , а элементарный симметрический многочлен σ2 = ху примет значение 1. Поэтому, подставляя в выражение степенной суммы sk через σ1 и σ2 значения σ1 = σ = z + , σ2 = 1, получим искомое выражение двучлена zk + через σ. Получим:

Первое утверждение теоремы (касающееся возвратных многочленов четной степени) доказано.

Рассмотрим теперь случай возвратного многочлена нечетной степени 2k + 1: f(z) = a0z2k +1 + a1z2k + + a2kz + a2k + 1

Так как этот многочлен является возвратным, т. е. выполнены равенства a0 = a2k, a1 = a2k – 1, то его можно записать в следующем виде: f(z) = a0 (z2k + 1+ 1) + a1 (z2k + z) + a2 z2k – 1+ z2) + + ak (zk + 1+ zk) =

= a0 (z2k + 1+ 1) + a1z (z2k – 1+ 1) + a2z2 (z2k – 3 + 1) + + akzk (z + 1).

В каждом двучлене, стоящем в скобках, можно выделить множитель z + 1, воспользовавшись следующим равенством: z2m + 1 + 1 = (z + 1) (z2m – z2m – 1 + z2m – 2 - +z2 – z + 1).

Получим: a0 (z2k + 1 + 1) = a0 (z + 1) (z2k – z2k – 1 + z2k – 2 - + z2 – z + 1).

a1z (z2k - 1 + 1) = a1z (z + 1) (z2k – 2 – z2k – 3 + – z + 1) =

= a1 (z + 1) (z2k – 1 – z2k – 2 + – z2 + z).

a2z2 (z2k - 3+ 1) = a2z2 (z + 1) (z2k – 4–+ 1) = a2 (z + 1) (z2k – 2 – + z2).

akzk (z + 1) = ak (z + 1) zk.

Складывая полученные выражения почленно, и вынося в правой части множитель z +1 за скобки, получим: f(z) = (z +1)g(z), где g(z) – многочлен, являющийся суммой следующих многочленов: a0 (z2k – z2k – 1 + z2k – 2 - + z2 – z + 1) a1 (z2k – 1 – z2k – 2 + – z2 + z) a2 (z2k – 2 – + z2)

Непосредственно видно, что во всех этих многочленах коэффициенты, равноудаленные от концов, совпадают, и потому их сумма g(z) является возвратным многочленом (четной степени 2k). Тем самым доказано второе утверждение теоремы, касающееся возвратных многочленов нечетной степени.

1) Решить уравнение:

12z4 – 16z3 – 11z2 – 16z +12 = 0

Решение:

Рассматриваемое уравнение является возвратным и имеет степень 4. Левая часть этого уравнения преобразуется следующим образом:

12z4 – 16z3 – 11z2 – 16z +12 = z2 (12z2 – 16z – 11 - 16 + 12) =

= z2[12(z2 + ) – 16 (z +) – 11] = z2 [12 (σ2 – 2) - 16 σ – 11] =

= z2 (12 σ2 – 16 σ – 35)

Так как z = 0 не является корнем исходного уравнения, то приходим к квадратному уравнению относительно σ:

12 σ2 – 16 σ – 35 = 0

σ = и σ =

Таким образом, для нахождения корней первоначального уравнения получаем два уравнения: z + = и z + =.

Первое из полученных уравнений не имеет действительных корней. Второе уравнение имеет корни z = 2 и z =

Ответ: ; 2.

2) Решить уравнение:

4z11 + 4z10 – 21z9 – 21z8 + 17z7 + 17z6 +17z5 + 17z4 – 21z3 – 21z2 + 4z + 4 = 0.

Решение:

Рассматриваемое уравнение является возвратным и имеет степень 11. Согласно теореме его левая часть делится на z + 1. Осуществляя деление, получим:

4z11 + 4z10 – 21z9 – 21z8 + 17z7 + 17z6 +17z5 + 17z4 – 21z3 – 21z2 + 4z + 4 =

= (z + 1) (4z10– 21z8 + 17z6 + 17z4– 21z2 + 4).

Уравнение распалось на два: z + 1 = 0 и 4z10– 21z8 + 17z6 + 17z4– 21z2 + 4 = 0.

Первое из этих уравнений дает корень z = -1. Второе представляет собой возвратное уравнение четной степени. Преобразуем его левую часть

4z10– 21z8 + 17z6 + 17z4– 21z2 + 4 =

= z5 (4z5– 21z3 + 17z + 17. – 21. + 4. ) =

= z5 [4 (z5 +) – 21(z3 + ) + 17(z + )] =

= z5[4(σ5 - 5σ3 + 5σ) – 21(σ3 - 3σ) + 17σ] =

= z5 ( 4σ5 - 41σ3 + 100σ).

Так как z = 0 не является корнем исходного уравнения, то приходим к следующему уравнению относительно σ:

σ (4σ4 - 41σ2 + 100σ) = 0.

В результате находим пять значений для σ:

σ = 0; σ = ; σ = ; σ = 2; σ = – 2.

Это означает, что для нахождения корней первоначального уравнения надо решить пять уравнений: z + = 0; z + = ; z + = ; z + = 2; z + = – 2.

Решая их и учитывая найденный ранее корень z = – 1 получаем корни исходного уравнения: z = – 1; z = – 2; z = ; z = 2; z = 1.

Ответ: – 2; – 1; ; 1; 2.

4. Разложение симметрических многочленов на множители.

Рассматриваемый симметрический многочлен выражают через σ1 и σ2 и затем полученное выражение разлагают на множители.

1) Разложить на множители многочлен: f(x;y) = 10x4 – 2 7x3y – 110x2y2 – 27xy3 + 10y4.

Решение: f(x;y) = 10x4 – 2 7x3y – 110x2y2 – 27xy3 + 10y4 =

= 10(x4 + y4) – 27(x2 + y2) – 110x2y2 = 10s4 – 27 σ2s2 – 110 σ22 =

= 10 σ14 – 67 σ12 σ2 – 36 σ22 = –36 (σ2 + 2 σ12) (σ2 - σ12) =

= (2 σ12 + σ2) (5 σ12 – 36 σ2).

Подставляя вместо σ1 и σ2 их значения σ1 = х + у и σ2 = ху, получаем: f(x;y) = [2(x + y)2 + xy] [5(x + y)2 – 36xy] =

= (2x2 + 5xy + 2y2) (5x2 – 26xy + 5y2).

Каждый из двух квадратных трехчленов, стоящих в правой части, снова можно разложить на множители.

2x2 + 5xy + 2y2 = 2(x + y) (x + 2y) = (2x + y) (x + 2y)

5x2 – 26xy + 5y2 = 5(x – 5y) (x – y) = (x – 5y) (5x – y).

Таким образом, окончательно получаем: f(x;y) = 10x4 – 2 7x3y – 110x2y2 – 27xy3 + 10y4 =

= (2x + y) (x + 2y) (x – 5y) (5x – y).

2) Разложить на множители многочлен: f(x;y) = 6x4 – 11x3y – 18x2y2 – 11xy3 + 6y4.

Решение: f(x;y) = 6x4 – 11x3y – 18x2y2 – 11xy3 + 6y4 = 6 σ14 – 35 σ12 σ2 + 16 σ22 =

= 16(σ2 – 2σ12) (σ2 - σ12) = (2 σ12 – σ2) (3 σ12 – 16 σ2) =

= [2(x + y)2 – xy] [3(x + y)2 – 16xy] = (2x2 + 3xy + 2y2) (3x2 – 10xy + 3y2).

Первый из двух полученных множителей не имеет действительных корней, поэтому оставим его без изменения. Второй множитель разлагается:

3x2 – 10xy + 3y2 = ( x – 3y) (3x – y).

Таким образом, окончательно находим: f(x;y) = 6x4 – 11x3y – 18x2y2 – 11xy3 + 6y4=

= (2x2 + 3xy + 2y2) ( x – 3y) (3x – y).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обычно уравнение или систему уравнений стараются решить с помощью какого-нибудь искусственного приема. Но общих правил отыскания таких приемов нет. Каждое уравнение и каждая система уравнений решается своим методом, и опыт, полученный при решении одной задачи, мало помогает при решении другой.

При выполнении этой работы мы рассмотрели один довольно общий метод решения уравнений и систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применен не ко всякому уравнению и системе. Существенно, что, в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений.

Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама теория очень проста и позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, разложение на множители и т. д. ). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приемом.