Решение физических задач методами математического анализа

Школьная математика – это содержательное, увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую пищу для ума, связывающее его с общечеловеческой культурой.

За время своего существования математика накопила богатейший инструмент для исследования окружающего мира. Математические формулы и теоремы вместе их доказательством не дают представления о множестве задач, которые можно с их помощью решить. Ведь большинство задач, решаемых при изучении математики, носят прикладной характер.

Перспективные межпредметные связи курсы алгебры и начал анализа имеют весьма актуальное и широкое значение, так как многие темы и вопросы являются опорными для изучения физики, химии, астрономии.

Все отрасли современной науки тесно связаны между собой, поэтому и школьные предметы не могут быть изолированы друг от друга.

Межпредметные связи являются условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе. Установление межпредметных связей в школьном курсе алгебры и начал анализа способствуют более глубокому усвоению знаний, формированию научных понятий и законов, оптимальной организации учебного процесса, формированию научного мировоззрения, единства материального мира, взаимосвязи явлений в природе. Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний, развитию логического мышления и творческих способностей.

Установление межпредметных связей в курсе алгебры и начал анализа повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.

В современной школе изучение математики и других естественнонаучных дисциплин происходит параллельно. Однако наиболее тесно переплетается из них два предмета: физика и математика. В основном математика используется физиками в качестве вычислительного аппарата. Поэтому я вижу необходимость более широко показать её применение на богатом физическом материале.

1. Применение производной в физических процессах.

1) Скорость и ускорение. Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения. Поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости.

Понятие на языке физики Обозначения и формулы Понятие на языке математики

Время t Независимая переменная, аргумент

Положение материальной точки, её координата x Зависимая переменная

Закон движения x = f (t) Функция

Приращение времени, интервал времени ∆t = t2 – t1 Приращение аргумента

Перемещение ∆x = x (t2) – x (t1) Приращение функции

Средняя скорость Vcр = ∆x /∆t Отношение приращения функции к приращению аргумента

Скорость (мгновенная) v (t) = lim vср Производная

Закон, описывающий равномерное движение (∆x / ∆t)=v=const Линейная функция x-x0=v(t-t0)

Скорость равномерного движения v=x’=k Коэффициент при t, угловой коэффициент прямой

Закон, описывающий равноускоренное движение (∆v / ∆t)=a=const Квадратичная функция x=(at2)/2+v0t+x0

Скорость равноускоренного движения v=x’=at+v0 Линейная функция

Ускорение равноускоренного движения a=v’ Удвоенный коэффициент при t2

2) Работа. Рассмотрим работу, которую совершает заданная сила F при перемещении по отрезку оси х. Если сила F постоянна, то A=F*x. Если сила меняется, то её можно рассматривать как функцию от х, т. е. F=F(x). Приращение работы ∆А на отрезке [x; x+ ∆x] нельзя точно вычислить как произведение F (x) ∆x, так как сила меняется на этом отрезке. Однако при маленьких ∆x можно считать, что сила меняется незначительно и произведение представляет собой главную часть ∆А, т. е. является дифференциалом работы: ∆А= F (x) ∆x. Таким образом, силу можно считать производной работы по перемещению.

3) Заряд. Пусть q – заряд, переносимый электрическим током через поперечное сечение проводника за время t. Если сила тока I постоянна, то за время t ток перенесёт заряд, равный q=It. При силе тока, изменяющейся со временем по некоторому закону I=I (t), произведение I (t)*∆t даёт приращения заряда на маленьком отрезке времени [t; t+ ∆t], т. е. ∆q= I (t) ∆t. Тем самым, сила тока является производной заряда по времени: I=q’ (t).

3) Масса тонкого стержня. Пусть есть тонкий стержень. Неоднородность стержня означает, что его линейная плотность не является постоянной, а зависит от положения точки х по некоторому закону ρ=ρ (х). Если на маленьком отрезке стержня [x; x+ ∆x] мы будем считать плотность постоянной и равной ρ (х), то произведение ρ (х)*∆x даёт нам приращение массы - ∆m. Это значит, что линейная плотность – это производная массы по длине. ρ=m’(х).

4) Теплота. Рассмотрим процесс нагревания какого-нибудь вещества и будем вычислять количество теплоты Q (T), которое необходимо, чтобы нагреть 1 кг этого вещества от 0º до Тº (по Цельсию). Зависимость Q=Q (T) очень сложна и определяется из опыта. Если бы удельная теплоёмкость с данного вещества не зависела от температуры, то произведение с∆Т дало бы нам нам изменение количества теплоты. Считая на малом отрезке [T; T+ ∆T] удельную теплоёмкость постоянной, мы получим приращение теплоты ∆Q как с (Т)*∆Т. Поэтому теплоёмкость – это производная теплоты по температуре. с=Q’(T).    

5) Работа как функция времени. Нам известна характеристика работы, определяющая её скорость по времени, - это мощность. При работе с постоянной мощностью N работа за время ∆t равна N ∆t. Это выражение представляет собой приращение работы, т. е. ∆А= N (t) ∆t и мощность выступает как производная работы по времени. N=A’ (t).

Полученные выводы можно оформить в виде таблицы:

Физические величины Физические формулы Математическая модель

S-перемещение V=(S/(T V=S`(T)

V-скорость A=(V/(T A=V`(T)

A-ускорение

(-угол поворота (=((/(T (=(`(T)

(-угловая скорость (=((/(T (=(`(T)

(-угловое ускорение

A-работа F=(A/(X F=A`(X)

F-сила N=(A/(T N=A`(T)

N-мощность

4) M-масса тонкого стержня (=(M/(X (=M`(X)

(-линейная плотность

X-длина стержня

Q-количество теплоты C=(Q/(T C=Q`(T)

C-теплоёмкость

T-температура

I - сила тока I=(q /(t I=q’(t)

q- заряд

T - время

2. Применение интеграла в физических процессах.

Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади любых фигур и поверхностей и объемы произвольных тел. Идея интегрального исчисления была древними учеными предвосхищена гораздо в большей мере, чем идея дифференциального исчисления.

Термин «интеграл» был предложен в 1696 году Иоганном Бернулли и одобрен Лейбницем. Последнее обозначение для определенного интеграла b

∫ f (x) dx ввел Ж. Фурье. Числа a и b называют соответственно ниж- a ним и верхним пределами интеграла, функцию f (x) – подынтегральной.

Математика изучает различные связи между величинами. Важнейшие примеры таких связей даёт механическое движение. Обратимся к случаю неравномерного движения. Скорость можно считать постоянной только на маленьком отрезке времени. Если скорость v меняется по закону v = v (t), то путь, пройденный за отрезок времени [t; t+ ∆t], приближённо выразится произведением v (t) ∆t, а на графике – площадью прямоугольника со сторонами ∆t и v(t).

Точное значение пути за отрезок времени [t; t+ ∆t] равно площади криволинейной трапеции. Весь путь получится сложением площадей таких криволинейных трапеций, т. е. выразится как площадь под графиком скорости.

1) Работа. Пусть тело движется по оси х, в каждой точке которой приложена некоторая сила F=F (x). Вычислим работу, которую надо проделать при перемещении тела из точки а в точку b. На маленьком отрезке пути от точки х до точки x+ ∆x можно считать силу постоянной и равной F (x). Тогда дифференциал работы запишем так: dA = F (x) dx. Отсюда получаем, что всю работу на отрезке [a; b] можно записать в виде интеграла: b

A=∫ F (x) dx a

Эта формула позволяет вычислить работу при прямолинейном движении.

2) Перемещение. Предположим, что точка движется по прямой (по оси х) и нам известна скорость этой точки. Положение точки на оси будем считать функцией времени x=x (t). Как найти перемещение точки за промежуток времени [t1; t2]?

Если скорость точки постоянна и равна v, то это перемещение, которое мы обозначим через s, вычисляется так: s=v (t2-t1). Пусть теперь эта скорость меняется и нам задан закон этого изменения v=v (t). Рассмотрим отрезок времени [t; t+ ∆t]. Главную часть перемещения ∆s мы получим, если будем считать, что на этом отрезке скорость постоянна и равна v (t). Получим ds=v (t) dt, откуда t2 s=∫ v (t) dt t1

Эта формула позволяет вычислить перемещение при прямолинейном движении.

3) Масса тонкого стержня. Напишем формулу для вычисления массы тонкого стержня, т. е. такого тела, в котором плотность меняется вдоль одного направления и которое можно представить как отрезок тонкой проволоки с изменяющейся плотностью.

Если стержень однороден, то его масса m пропорциональна длине l, т. е. m=ρ∆l, где ρ – коэффициент пропорциональности, называемый линейной плотностью. Поставим задачу вычисления массы неоднородного стержня, если нам известно, что стержень расположен вдоль оси так, что он занял положение отрезка [0; l]. Тогда линейную плотность ρ можно считать функцией от х, т. е.

ρ= ρ (x), заданной на данном отрезке. Возьмём отрезок [x; x+ ∆x]. Считая на нём плотность постоянной, получим dm=ρ (x) dx, откуда l m=∫ ρ (x) ∆x.

Таким образом, масса стержня является интегралом от его линейной плотности.

3) Электрический заряд. Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Как вычислить заряд q, переносимый за интервал времени [a; b] через сечение проводника? Если бы сила тока I не менялась со временем, то изменение заряда q равнялось бы произведению I(b-a), Пусть закон изменения силы тока I = I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале [t; t+ ∆t] можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq= I(t) dt, и, следовательно, b q=∫ I(t) dt.

Мы представили такие величины как работа, масса, электрический заряд, перемещение в виде функций отрезка с заданной плотностью.

Составим из наших примеров таблицу.

Величины Физические формулы Математическая модель

А - работа dA = F (x) dx x2

F - сила dA = N (t) dt

N - мощность A=∫ F (x) dx

A=∫ N (t) dt

М – масса тонкого стержня dm=ρ (x) dx l

Ρ – линейная плотность m=∫ ρ (x) ∆x.

q - электрический заряд dq= I(t) dt b

I – сила тока q=∫ I(t) dt.

S - перемещение ds=v (t) dt t2

V - скорость s=∫ v (t) dt

Q - количество теплоты dQ=c (t) dt t2

С – теплоёмкость Q=∫ c (t) dt

3. Связь производной и интеграла:

Мы привели много примеров пар величин, которые связаны между собой так же, как положение точки и её скорость: работа, перемещение, сила; масса, длина, линейная плотность и т. д.

С помощью операции дифференцирования можно вычислить плотность по заданной массе, мощность по заданной работе, силу тока по заданному заряду и т. д. С помощью обратной операции – интегрирования можно вычислять массу по заданной плотности, работу по известной мощности, заряд по заданной силе тока и т. д.

Можно сравнить примеры, приведённые при рассмотрении применении интеграла, с физическими примерами, обсуждавшимися при применении производной. Фактически мы имеем дело с одними и теми же соотношениями вида dF = f (x) dx, но смотрим на них по-разному. В первом случае нам дана величина F, а мы ищем f, то есть f выступает как производная F. Во втором случае нам дана величина f, а мы ищем F, то есть F является интегралом от f. Следовательно, дифференцирование и интегрирование – обратные операции.

3. Практическая часть.

1. Ток I в проводнике меняется со временам t по закону I=4+2t, I – в амперах и t – в секундах. Какое количество электричества q про- ходит через поперечное сечение проводника за время от t1=2с до t2=6с?

Физическое решение:

Построим график зависимости I(t). Количество электричества, про- ходящее через поперечное сечение проводника, представляет со- бой площадь трапеции.

q=Sтр=((8+16)/2)*4=48

Математическое решение:

6 6 6 q=∫ I(t) dt=∫ (4+2t) dt=(4t+t2) 2=(24+36)-(8+4)=48Кл

Вывод: если зависимость I(t) будет степени выше 1, то решить за- дачу чисто с точки зрения физики не удастся.

2. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота колеса от времени задаётся уравнением φ=3+2t+t2. Найти угловую скорость точек, лежащих на ободе колеса через время t=2с после начала движения.

Физическое решение:

φ=φ0 +ω0 +(έt2)/2

→ ω0=2; έ=2

φ= 3+2t+t2

ω= ω0 + έt=2+2*2=6

Математическое решение:

ω (t) = φ’ (t)=2+2*t

ω (t0) = φ’ (t0)=2+2*2=6

Вывод: при математическом методе достаточно найти значение производной функции φ(t) в точке t0. Если уравнение будет иметь степень >2, то физических формул для решения задачи будет недостаточно. Для нахождения ω необходимо помнить формулы зависимости ω (t) и φ (t).

3. Тело массой 5 кг движется так, что зависимость пройденного пути от времени задаётся уравнением s=5sinπt. Найти силу, действующую на тело через t=1/6с после начала движения.

Физическое решение:

Из курса физики известно, что F=m*a, а также известны уравнения пути, скорости и ускорения для гармонических колебаний:

S=Asinωt v=Aωcosωt a=-Aω2sinωt=

Исходя из вышеперечисленных формул, получим конечную формулу для нахождения действующей силы:

F=m*Aω2sinωt=-5*5*π2 sin (π/6)=-25*(10/2)=-125

Математическое решение:

S=5sinπt

Зная, что ускорение это вторая производная от пути и первая производная от скорости, получим:

S=Asinωt v=Aωcosωt a=-Aω2sinωt

Исходя из вышеперечисленных формул, получим конечную формулу для нахождения действующей силы:

F=m*Aω2sinωt=-5*5*π2 sin (π/6)=-25*(10/2)=-125

Вывод: решение задачи физическим способом требует знания формул, в отличие от математического способа.

4. Тело движется прямолинейно. Его скорость меняется по закону v=-3+4t. Найти путь, пройденный телом за 3с после начала движения.

Физический способ:

Если мы построим график функции v=-3+4t, то можно найти расстояние, которое прошло тело за 3с после начала движения: расстояние равно разности площадей фигур, расположенных выше оси OX и ниже оси OX.

Из графика следует, что S=S1-S2=(9*0,5*2,25)-(3*0,5*0,75)=10,125-1,125=9

Математический способ:

S=∫ (-3+4t) dt=(-3t+(4t2/2) 0=-9+18=9