Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Различные способы решения уравнений 3-ей степени

Математика – это язык, на котором говорят не только наука и техника, математика – это язык человеческой цивилизации. Она практически проникла во все сферы человеческой жизни. Современное производство, компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности. Это предполагает и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемые математикой.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Примеры решения уравнений 3-ей степени не были известны ни древнегреческой, ни арабской науке. В алгебраических трактатах арабских математиков IX – XV вв. , кроме решения уравнений и систем уравнений 1-й и 2-й степеней, рассматриваются решения кубических уравнений частных видов. Однако способы решения этих уравнений приводили к нахождению приближенных значений корней.

Общее уравнение 3-ей степени имеет вид ах+ bx+ cx + d = 0, где а0. Давно было известно, что с помощью введения новой переменной это уравнение можно свести к уравнению вида х+ px + q = 0. (1)

Впервые формулу для отыскания положительного корня уравнения x3+px=q, где p > 0 и q > 0, вывел итальянский математик

Сципион Даль Ферро (1465—1526)

Это открытие, по обычаям того времени, профессор держал в строгом секрете. О нем знали лишь два его ученика, в том числе некий Фиори. Утаивание математических открытий тогда было обычным явлением, так как в Италии практиковались математические диспуты-поединки.

На многолюдных собраниях противники предлагали друг другу задачи для решения на месте или в определенный срок. Чаще всего это были задачи по алгебре, которую называли тогда великим искусством. Побеждал тот, кто решал больше задач. Победитель не только награждался славой и назначенным денежным призом, но и мог занять университетскую кафедру, а потерпевший поражение часто терял занимаемое место.

Вот почему участнику диспута было важно обладать неизвестным другим алгоритмом решения некоторых задач.

После смерти профессора Даль Ферро его ученик Фиори, который сам не был глубоким математиком, вызвал на публичный диспут одного из виднейших математиков того времени Никколо Тарталья (1499—1557). Готовясь к диспуту, Тарталья открыл формулу для нахождения корней кубических уравнений в радикалах, так как предполагал, что Фиори уже обладал этой формулой. Позднее Тарталья писал: «Я приложил все свое рвение, усердие и уменье, чтобы найти правило для решения кубических уравнений, и, благодаря благословенной судьбе, мне удалось это сделать за 8 дней до срока».

Диспут состоялся 20 февраля 1535 г. Тарталья в течение двух часов решил 30 задач, предложенных ему противником, а Фиори не смог решить ни одной из 30 задач, предложенных Тартальей. После диспута Тарталья стал знаменитым во всей Италии, но продолжал держать открытую формулу в секрете.

Другой итальянский математик Джироламо Кардано (1501 — 1576) узнал от Тартальи правило решения кубического уравнения и дал «священную клятву», что никому не раскроет этой тайны. Правда, Тарталья лишь частично раскрыл свою тайну, но Кардано, познакомившись с рукописями покойного профессора Даль Ферро, получил полную ясность в этом вопросе. В 1545 г. Кардано опубликовал знаменитый свой труд «О великом искусстве, или об алгебраических вещах, в одной книге», где впервые опубликовал формулу для решения уравнения, а кубическое уравнение общего вида предлагал свести к уравнению .

После выхода в свет этой книги Кардано был обвинен Тартальей в нарушении клятвы, но формула, открытая Даль Ферро и Тартальей, и по сей день называется формулой Кардано.

Рассмотрим ее вывод:

Решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

Воспользуемся формулой куба суммы, но запишем ее иначе:

Обозначим а + b = х и произведем замену в этой формуле

Пусть а + b = - q, 3аb = - p. Тогда уравнение примет вид:

Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:

Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение – свободному члену с таким же знаком. Отсюда следует, что и - корни уравнения

Выпишем эти корни:

Тогда u = , v =

Переменные и равны кубическим корням из u и v , а искомое решение кубического уравнения х+ px + q = 0 – сумма этих корней:

Эта формула известна - как формула Кардано.

Рассмотрим различные способы решения уравнения третьей степени.

Первый способ. Формула Кардано.

Решить уравнение:

Используя формулу Кардано

Выпишем коэффициенты: р=15, q=124 имеем:

Ответ:-4.

Второй способ: Разложение путем использования разности.

Решить уравнение:

Решение:

Путем подбора корней среди делителей числа 124 нашли число, которое может быть решением данного уравнения. Это число -4.

Т. е. , верно.

Имеем уравнение и равенство.

Рассмотрим разность.

D1= 4-31 = -27,

D1 < 0, действительных корней нет.

Т. е. уравнение имеет один единственный корень

Ответ: -4.

Третий способ: Разложение на множители путем группировки

Решить уравнение:

Решение:

Добавим в уравнение слагаемые и , имеем уравнение

Сгруппируем слагаемые ,

D1= 4 – 31 = -27, D1 < 0, уравнение действительных корней не имеет.

Решением этого уравнения является число - 4.

Ответ: -4.

Четвёртый способ: Использование формул сокращенного умножения

Решить уравнение:

Решение:

D1= 4-31= -27, D1 < 0, уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: - 4.

Пятый способ: Метод неопределенных коэффициентов

Решить уравнение:

Решение:

Какими могут быть множители в искомом представлении правой части?

Возможны два случая:

1) три множителя первой степени

2) один множитель первой степени и один множитель второй степени.

Но два множителя всегда можно перемножить, и поэтому в первом случае также получается два множителя. Таким образом, представление в правой части можно искать в виде произведения многочленов первой и второй степени. Так как нам не известны коэффициенты множителей, то первый из них запишем в виде , а второй множитель в виде.

(, но коэффициент при равен 1, т. е. а=1).

Т. е. уравнение представим так:.

Раскроем скобки в правой части и, приведя подобные слагаемые, получим уравнение:

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , перейдем к системе уравнений:

Обратимся к третьему уравнению и попытаемся подобрать а и с таким образом, чтобы они являлись целыми и были одного знака.

Пусть мы взяли. (т. к. ас= 124). Тогда , но должно быть целым, значит не удовлетворяет условию.

Пусть, тогда , но должно быть целым, значит снова не удовлетворяет.

Пусть , тогда , это же значение получится, если подставить в первое уравнение.

Т. е. мы нашли, что коэффициенты разложения: а= 4, b = -4, с = 31.

D1= 4-31= -27,

D1 < 0, уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: -4.

Шестой способ: Решение уравнения путем выделения квадратов выражения.

Решить уравнение:

Решение:

или (, или (, действительных корней нет, т. к. (> 0, - 27 < 0.

Ответ: -4.

Седьмой способ. Теорема Безу.

Решить уравнение:

Решение:

Р(х) делится на (х – а) тогда и только тогда, если а – корень многочлена Р(х).

Методом подбора находим, что х = - 4 удовлетворяет уравнению.

Разделим многочлен на (х + 4)

(х + 4) х

Действительно х = -4 корень уравнения.

D1= 4 - 31= -27,

D1 < 0, уравнение действительных корней не имеет.

Ответ: -4.

Восьмой способ. Схема Горнера.

Решить уравнение:

Решение: Применим схему Горнера. Для этого выпишем делители свободного коэффициента этого уравнения:

Заполним таблицу по следующему алгоритму:

1. Строка коэффициентов записывается первой.

2. Старший коэффициент дублируется во втором столбце (в нашем случае число 1).

Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.

Заполнять будем так:

, и т. д

1 0 15 124

-1 – не является корнем

-1 1 -1 16 108

1- не является корнем

1 1 1 16 140

-2 – не является корнем

-2 1 -2 19 86

2 – не является корнем

2 1 2 19 162

-4 1 -4 31 0 -4 – является корнем

Значит,,

D1= 4 - 31 = -27,

D1 < 0, действительных корней нет.

Т. е. уравнение имеет один единственный корень

Ответ: -4.

Девятый способ. Графический.

Решить уравнение:

Решение:

Представим это уравнение в виде:

Рассмотрим функции и ,

– кубическая функция, график – кубическая парабола.

D(y) = R, E(y) = R

х -5 -4

у -64 26

Общая точка пересечения графиков функций и имеет абсциссу. Значит, решением этого уравнения является. Так как точка пересечения одна, значит решение тоже единственное.

Ответ: -4.

Заключение

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная работа, тест, зачет), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – не редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

Я выполнила поставленную перед собой цель, познакомилась с нестандартными способами решения уравнений и применила эти способы на практике.

Я надеюсь, что моя работа может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)