Расположение корней квадратного уравнения

При подготовке к экзамену по математике, в задачах повышенной сложности, часто встречаются формулировки: при каких значениях параметра корни (или корень) квадратного уравнения больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа; расположены между двумя заданными числами; не принадлежат заданному промежутку и т. д. При решении таких задач большую помощь оказала статья Ш. Цыганова из г. Уфы << Десять правил расположения корней квадратного трехчлена>> (г. Математика №18 - 2002), изучив которую я решила сделать небольшое исследование.

Цель: Формировать умение формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения.

Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.

2)Составить сводную таблицу расположения корней квадратного уравнения.

3) Сформулировав правило, дать геометрическую интерпретацию.

Сведения о квадратных трехчленах

Правило 1.

Если коэффициент при x[2] многочлена второй степени, содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Теорема 1.

Для приведенного квадратного трехчлена y=x[2] + px+q ( при условии p[2]>=4q) сумма корней x1+x2 =-p, произведение корнейx1x2 = q, разность корней равна x2-x1=p2 - 4q, а сумма квадратов корней равна x12+x22= = p[2] - 2q

Теорема 2.

Для квадратного трехчлена y = ax[2] + bx + c с двумя корнями x1 и x2 имеет место разложение ax[2] + bx + c = a(x - x1 ) (x - x2), для трехчлена с одним корнем x0 кратности два - разложение ax[2] + bx + c = a(x - x0)[2].

Какую информацию о графике функции f(x) = ax[2] + bx + c можно получить, зная коэффициент квадратного трехчлена?

* Если старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, то ветви параболы направлены вверх.

* Если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз.

* Если старший коэффициент квадратного трехчлена равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное.

* Если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.

* Если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс.

* Если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс.

* Абсцисса вершины параболы равна - b2a.

Расположение корней квадратного уравнения.

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения - абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Правило 2.

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) не имеет решений тогда и только тогда, когда D<0

Правило з. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D>0

Правило 3. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня тогда и только тогда, когда D>=0

Правило 4. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два корня x1 и x2, таких что x1 <М < x2, тогда и только тогда, когда af(M)<0

* Поскольку корней два, то а!=0

Условия а>0,f(M)<0 и а<0,fМ>0 эквивалентны неравенству af(M)<0.

Правило 4. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два корня x1=М< x2

(x1 <М= x2) тогда и только тогда, когда fM=0х0>М,, ( fM=0,х0<М. ), где х0=-b/2a.

Условия а>0,fM=0, х0>М, и а<0,fM=0,х0>М,эквивалентны системе fM=0х0>М. , где х0=-b/2a.

Правило 5. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 >М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>0. х0>М,

Чтобы уравнение (1) имело разные корни потребуем D>0. Так как оба корня по построению должны быть больше М, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, больше М, х0>М.

Ордината вершины: при а>0 f(x0)<0,при а<0 f(x0)>0=> аf(x0) <0 в силу того, что мы потребовали существование корней. Поэтому если, кроме того, потребовать выполнения условия: при а>0 fМ>0, при а<0 f(M)<0 => af(M)>0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х1∈(М;х0) такая, что f(x1)=0. Очевидно, что это меньший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получим систему из правил D>0, х0>М,af(M)>0.

Правило 5. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 >М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>0. х0>М,

Правило 5. 3

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 >=М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>=0. х0>М,

Правило 5. 4

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 >=М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>=0. х0>=М,

Правило 6. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 <М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>0. х0<М, где х0=-b/2a.

Чтобы уравнение (1) имело разные корни потребуем D>0. Так как оба корня по построению должны быть меньше М, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, меньше М, х0<М.

Ордината вершины: при а>0 f(x0)<0,при а<0 f(x0)>0=> аf(x0) <0 в силу того, что мы потребовали существование корней. Поэтому если, кроме того, потребовать выполнения условия: при а>0 fМ>0, при а<0 f(M)<0 => af(M)>0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х2∈х0,Мтакая, что f(x2)=0. Очевидно, что это больший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получим систему из правил D>0, х0<М,af(M)>0. где х0=-b/2a.

Правило 6. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 <М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>0. х0<М,

Правило 6. 3

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два разных корня x1 , x2 <=М тогда и только тогда, когда D>0,af(M)>=0. х0<М,

Правило 6. 4

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет два может быть кратных корня x1 , x2 <=М тогда и только тогда, когда D>=0,af(M)>=0. х0<=М,

Правило 7. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1

9 а>0f(m)<0f(M)<0 и а<0f(m)>0f(M)>0 , тогда af(m)<0,af(M)<0.

Правило 7. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1=m

Правило 7. 3

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х1

Правило 8. 1

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни х10.

* а>0,fm<0,fM>0 и а<0fm>0fM<0, получим afm<0,afM>0.

Правило 8. 2

Квадратное уравнение (1) ax[2] + bx + c =0 (а !=0) имеет корни m0,afM<0.

а>0 , fm>0fM<0, и а<0,fm<0fM>0, получим afm>0,afM<0.

Правило 9. 1. 1

Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m0,afm>0,afM>0,m<х0<М.

Правило 9. 1. 2

Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m=0,afm>0,afM>0,m<х0<М.

Правило 9. 2. 1

Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m<=x10,afm>=0,afM>0,m<х0<М.

Правило 9. 2. 2

Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m<=x1<=x2=0,afm>=0,afM>0,m<=х0<М.

Правило 9. 3. 1

Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m0,afm>0,afM>=0,m<х0<М.

Правило 9. 3. 2

Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m=0,afm>0,afM>=0,m<х0<=М

Правило 9. 4. 1

Квадратное уравнение (1) имеет разные корни m<=x10,afm>=0,afM>=0,m<х0<М.

Правило 9. 4. 2

Квадратное уравнение (1) имеет может быть кратные корни m<=x1<=x2<=M тогда и только тогда, когда Д>=0,afm>=0,afM>=0,m<=х0<=М

Правило 10

Квадратное уравнение (1) имеет один корень внутри интервала (m;M), а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда fmfM<0.

а>0 , fm>0fM<0, и а<0,fm<0fM>0, получим fmfM<0

Правило 11. 1

Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение x1=x2>M тогда и только тогда, когда Д=0,х0>М.

Правило 11. 2

Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение x1=x2

Методика исследования

Методы:

1)Эмпирический (изучение литературы, сбор сведений)

2) Теоретический

Этапы исследования

1) Изучение и исследование материала по теме

2) Изучение проблемы

3) Обработка материала

Заключение

В процессе исследования была создана таблица, в которой перечислены основные случаи расположения корней квадратного трехчлена. Приведены правила, к которым даны иллюстрации, помогающие понять, как выводятся эти правила. Учащимся данный материал облегчит понимание решений заданий, содержащих параметры, о расположении корней квадратного уравнения.