Расположение корней квадратного трехчлена на числовой прямой
Практика экзаменов по математике показывает, что задачи с параметрами представляют наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена любого уровня.
В задачах с параметрами наряду с неизвестными величинами фигурируют величины, численные значения которых хотя и не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа. Такие задачи можно найти в книге «514 задач с параметрами» В литературе по элементарной математике немало учебных пособий, задачников, методических руководств, где приводятся задачи с параметрами. Но большинство из них охватывает узкий круг вопросов, делая основной упор на рецептуру, а не на логику решения задач. К тому же наиболее удачные из книг давно стали библиографической редкостью. В конце работы дан список книг, статьи из которых помогли составить классификацию утверждений по теме работы. Наиболее значимой является пособие Шахмейстера А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами.
Основная цель настоящей работы – восполнение некоторых содержательных пробелов основного курса алгебры и установление фактов использования свойств квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
Задачи работы:
• установить возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;
• выявить алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой;
• научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности; овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования; повысить математическую культуру в рамках школьного курса математики.
• Объект исследования: расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой.
Предмет исследования: квадратные уравнения с параметром.
Способы исследования. Основные способы исследования задач с параметром: аналитический, графический и комбинированный (функционально - графический). Аналитический – это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Графический – это способ, при котором используют графики в координатной плоскости (х; у). Наглядность графического способа помогает найти быстрый путь решения задачи. Из этих двух способов последний является не только изящным, но и наиболее важным, так как в нем просматриваются взаимосвязь между всеми типами математической модели: словесное описание задачи, геометрическая модель – график квадратного трехчлена, аналитическая модель – описание геометрической модели системой неравенств, составленных на основании математических утверждений выявленных по графику квадратичной функции.
Во многих случаях решение квадратных уравнений с параметром приводит к громоздким преобразованиям. Гипотеза: использование свойств квадратичной функции позволит существенно упростить решение, сводя его к решению рациональных неравенств.
Основная часть. Расположение корней квадратного трехчлена на координатной прямой
Рассмотрим некоторые утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+с на числовой прямой cотносительно точек m и п таких, что m < п.
x1 и x2 - корни квадратного трехчлена,
D=b2-4ac- дискриминант квадратного трехчлена, D≥0.
m, n, m1, m2, n1, n2 - заданные числа.
Все рассуждения рассматриваются для a>0, случай для a<0 аналогичен.
Утверждение первое
Для того, чтобы число m было расположено между корнями квадратного трехчлена (x1 Доказательство. m-x1>0, m-x2<0; (m-x1)∙(m-x2)<0; m2-mx1-mx2+x1x2<0; m2-(x1+x2)m+x1x2<0; умножим обе части неравенства на а2. при условии x1 Геометрическая интерпретация Пусть х1 и х2 - корни уравнения. При а > 0 f(x)<0 для всех х(х1;х2), поэтому если х1< а< х2, то f(а)<0. Обратно, если f(a) < 0, то левая ветвь параболы пересечет ось ОХ левее точки х = а, а правая ветвь пересечет ось ОХ правее точки х = а, следовательно, уравнение f(x)=0 будет иметь два корня, причем х1< а < х2. Задача 1. При каких значениях k уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2? Решение. f(x)=x2-(2k+1)x + 3k-4; x1 -k-2<0; k>-2. При k>-2 уравнение x2-(2k+1)x + 3k-4=0 имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 2. Ответ: k>-2. Задача 2. При каких значениях k уравнение kx2+(3k-2)x + k-3=0 имеет корни разных знаков? Эта задача может быть сформулирована так: при каких значениях k число 0 лежит между корнями данного уравнения. Решение (1 способ) f(x)= kx2+(3k-2)x + k-3; x1 Ответ: 0 2 способ решения (использование теоремы Виета). Если квадратное уравнение имеет корни (D>0) и c/a<0, то корни имеют разные знаки. Задача 3. При каких значениях k уравнение (k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2=0 имеет два корня, один из которых меньше k, а другой больше k? Решение. f(x)=(k2-2)x2+(k2+k-1)x – k3+k2; x1 Подставив значения k из найденного множества убедимся в том, что при этих значениях k D>0. Утверждение второе (а) Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа m ( x1 < x2 < m), необходимо и достаточно выполнение условий: D≥0; x0 Доказательство: x1-m>0, x2-m<0; (m-x1)∙(m-x2)>0; m2-mx1-mx2+x1x2>0; m2-(x1+x2)m+x1x2 Задача 4. При каких значениях параметра корни уравнения x2-(3k+1)x+2k2+4k-6=0 меньше -1? Решение. D≥0; (3k+1)2-4(2k2+4k-6) ≥0; (k-5)2≥0; k- любое; x0<-1; ½(3k+1)<-1; 3k/2>-3/2; k<-1; f(-1)>0. 1+(3k+1)+(2k2+4k-6)>0. 2(k+4)(k-1/2)>0. k<-4; k>1/2 Ответ: k<-4. . Утверждение второе (б) Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m (m < x1 < x2), необходимо и достаточно выполнение условий: D ≥0; x0>m; af(m)>0. Если выполнено условие m<х1≤х2, то очевидно, что D ≥ О, х0 = (х1+х2)/2 > m. Так как m не принадлежит промежутку (x1; x2), то f(m) > О при а > 0 и f(m) < 0 при а < 0. Обратно, пусть выполнена система неравенств. Из условия D > 0 следует существование корней х1 и х2 (х1<х2). Из неравенства m < х0 получили, что х2 > m. Остается показать, что х1 > m. Если D = 0, то х1 = х2 > m. Если же D > 0, то f(х0) = -D/4a и af(x0) < 0. По условию аf(m) > О, следовательно, в точках х0 и m функция принимает значения противоположных знаков и х1 принадлежит промежутку (m;х0). Задача 5. При каких значениях параметра m корни уравнения x2-(3m+1)x+2m2+4m-6=0 a) больше 1? б) меньше -1? Решение а) D≥0; D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6) ≥0; x0>m; x0>1; ½(3m+1)>1; f(m)>0. f(1)>0. 1-(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. (m-5)2≥0; m - любое m>1/3; m>1/3; (2km-3)(m+2)>0. m<-2; m>3/2. Ответ:m>3/2. б) D≥0; (3m+1)2-4(2m2+4m-6)≥0; (m-5)2 ≥0; m - любое x0<-1; ½(3m+1)<-1; 3m/2>-3/2; m<-1; f(-1)>0. 1+(3m+1)+(2m2+4m-6)>0. 2(m+4)(m-1/2)>0. m<-4; m>1/2. Ответ:m<-4. Задача 6. При каких значениях параметра корни уравнения kx2-(2k +1)x+3 k -1=0 больше 1? Решение. Очевидно, что задача равносильна следующей: при каких значениях параметра m корни квадратного трехчлена больше 1? D≥0; D≥0 (2k+1)2-4k (3k-1) ≥0; 8k2-8k-1≤0; x0>m; x0>1 (2k+1)/ (2k) >1; 2k+1 > 2k; af(m)>0. af(1)>0. k(k-(2k+1)+(3k-1)) >0. 2k2-2k>0. Решив эту систему, находим, что Утверждение третье Для того, чтобы корни квадратного трехчлена были больше числа m и меньше n (m D ≥0; m Отметим характерные черты графика. 1)Уравнение имеет корни, а значит D > 0. 2) Ось симметрии расположена между прямыми х = m и х = n, а значит m< х0 < n. 3) В точках х = m и х = n график расположен выше оси ОХ, следовательно f(m) > 0 и f(n) > 0 (при m < 0 f(m) < 0 и f(n) < 0). Перечисленные выше условия (1; 2; 3) являются необходимыми и достаточными для искомых значений параметра. Задача 7. При каких m x2-2mx+m2-2m+5=0 по модулю не превосходят числа 4? Решение. Условие задачи можно сформулировать следующим образом: при каких m выполняется соотношение -4 < х1 < х2 < 4 ? Значения т находим из системы D > 0; m2 - (m2 – 2m + 5) ≥ 0; -4 ≤ х0 ≤ 4; -4 ≤ m≤ 4; f(-4)≥ 0; 16 + 8m+ m2 – 2m + 5 ≥ 0; f(4)≥0; 16-8m + m2-2m + 5 ≥0; решением которой является отрезок [2,5; 3]. Ответ: m [2,5; 3]. Задача 8. При каких значениях m корни квадратного трехчлена (2m - 2)x2 + (m+1)х + 1 больше -1, но меньше 0 ? Решение. Значения m можно найти из системы D≥0; (m+1)2-4(2m-2) ≥ 0; (2m - 2)/(-1) > 0 (2m -2)(2m -2 -m -1 +1) > 0; (2m-2)f(0)>0; (2m-2)>0; -1 Ответ: m > 2. Утверждение четвертое( а) Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m;n), а больший не принадлежал (m D ≥0; af(m)>0 af(n)<0. График квадратичного трехчлена в точности один раз пересекает ось ОХ на интервале (m; n). Это значит, что в точках х=m и х=n квадратный трехчлен принимает разные по знаку значения. Задача 10. При каких значениях параметра а только меньший корень квадратного уравнения х2+2ах+а=0 принадлежит интервалу Х(0;3). Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен у(х)= х2-2ах+а. Графиком является парабола. Ветви параболы направлены вверх. Пусть х1 меньший корень квадратного трехчлена. По условию задачи х1 принадлежит промежутку (0;3). Изобразим геометрическую модель задачи, отвечающую условиям задачи. Перейдем к системе неравенств. 1) Замечаем, что у(0)>0 и у(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Следовательно, это условие записывать в систему неравенств не нужно. Итак, получаем следующую систему неравенств: Ответ: а>1,8. Утверждение четвертое(б) Для того, чтобы больший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m; n), а меньший не принадлежал (x1 D ≥0; af(m)<0 af(n)>0. Утверждение четвертое (объединенное) Замечание. Пусть задача сформулирована следующим образом при каких значениях параметра один корень уравнения принадлежит интервалу (ь;т), а другой - не принадлежит? Для решения этой задачи не нужно различать два подслучая, ответ находим из неравенства f(m)·f(n)<0. Таким образом справедливо: для того, чтобы только один корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m; n),а второй – не принадлежал необходимо и достаточно выполнение условий: D ≥0; f(m)·f(n)<0. Задача 11. При каких m только один корень уравнения х2-mх+6=0 удовлетворяет условию 2< х< 5 ? Решение. На основании утверждения 4(б) значения m найдем из условия f(2)f(5) < 0 => (10 – 2m)(31 – 5m) < 0, откуда m (5; 31/5). При m (5; 31/5) уравнение имеет два корня, один из которых принадлежит интервалу (2; 5), а другой - не принадлежит. Кроме того, уравнение имеет один корень, если D = 0 => m2 - 24 = 0, т. е. при m = ±2√6, При m= -2√6 х = - √6 , который не принадлежит интервалу (2; 5), при m = 2√6 х =√6, принадлежащий интервалу (2; 5). Ответ: m {2√6} U (5; 31/5). Утверждение пятое Для того, чтобы корни квадратного трехчлена удовлетворяли соотношению (x1 D ≥0; af(m)<0 af(n)<0. Задача 12. Найти все значения m, при которых неравенство х2+2(m-3)х + m2-6m<0 будет выполнено для любого x, принадлежащего интервалу (0;2). Решение. По условию интервал (0; 2) должен содержаться во множестве решений неравенства х2 + 2(m - 3)x + m2 – 6m < 0. Так как множество решений неравенства интервал (x1;x2), где x1 и x2 - корни квадратного трехчлена, то задачу можно сформулировать следующим образом: при каких m выполняется соотношение x1 ≤ 0 < 2 На основании утверждения 5 значения m находим из системы неравенств f(0) ≤ 0;m2-6m ≤ 0; m [0;6] f(2) ≤ 0. 4 + 4(m-3) + m2-6m ≤ 0. m [-2;4], откуда m[0;4]. Ответ: m [0;4]. Утверждение шестое Для того, чтобы меньший корень квадратного трехчлена принадлежал интервалу (m1; m2), а больший принадлежал интервалу (n1;n2) (m2 D ≥0; af(m1)>0; af(m2)<0; af(n1) <0; af(n2)<0. Это утверждение является комбинацией утверждений 4а и 4б. Первые два неравенства гарантируют, что х1(m1, n1), а два последних неравенства – то, что х2(m2, n2), Задача 13. При какихm один из корней уравнения х2 - (2m + l)x + m2 + m- 2 = 0 находится между числами 1 и 3, а второй - между числами 4 и 6? Решение. 1 способ. Учитывая, что а = 1, значения m можно найти из системы f(1) > 0; 1 -2m- 1+m2 + т-2 >0; m2-m-2>0 m (-∞;-1) U (2;+∞) f(3) <0; l9-6m-3 + m2+m-2<0; m2-5m + 4<0 m (1;4) 4(4) <0; 16-8m-4 + m2+m-2<0; m2 -7m+ 10 <0 m (2;5) f(6)>0; 36-12m-6 + m2 + m-2<0. m2-11m+ 28 > 0 m (-∞;4)U (7;+∞), откуда m(2; 4). Ответ: m(2; 4). Таким образом мы установили утверждения, связанные с расположением корней квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+ на числовой прямой cотносительно некоторых точек. Заключение В ходе работы я овладела рядом технических и математических умений на уровне свободного их использования и повысила математическую культуру в рамках школьного курса математики. В результате выполнения работы была выполнена поставленная цель: установлены свойства квадратичной функции, позволяющие существенно упростить решение задач, связанных с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек. Установлены возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой. Выявлены алгоритмы, позволяющие решать квадратные уравнения с параметром на основе использования расположения корней квадратного трехчлена на числовой прямой; решены задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности. В работе представлено решение только 12 задач в виду ограниченности количества страниц работы. Конечно, рассмотренные в работе задачи можно решить и другими способами: используя формулы корней квадратного уравнения, применяя свойство корней (теорему Виета). Фактически было решено значительное количество задач. Поэтому было решено создать сборник задач по теме проектно-исследовательской работы «Решебник задач на применение свойств квадратного трехчлена, связанных с расположением его корней на координатной прямой». Кроме того, результатом работы (продуктом проектно-исследовательской работы) является компьютерная презентация, которую можно использовать на занятиях элективного предмета «Решение задач с параметрами».
Комментарии