Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-03-23

Признаки равенства треугольников

Один мудрец сказал: <<Высшее проявление духа - это разум. Высшее проявление разума - это геометрия. Клетка геометрии - треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная>>. Треугольник - уникальная единица познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками.

Историческая справка о признаках равенства треугольников

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно. Предполагают, что его способ состоял в следующем: пусть A - точка берега, B - корабль на море. Для определения расстояния AB восстанавливают на берегу перпендикуляр произвольной длины AC AB; в противоположном направлении восстанавливают CE AC так, чтобы точки D (середина AC), B и E находились на одной прямой. Тогда CE будет равна искомому расстоянию AB. Доказательство основывается на втором признаке равенства треугольников (DC = DA; С = A; EDС = BDA как вертикальные).

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии, содержащие <<рецепты>> решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования. Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, - одна из таких задач, решаемая двумя способами.

Предполагают, что оба способа ее решения принадлежат древнегреческому ученому, путешественнику и купцу Фалесу Милетскому (VI в. до н. э. )

Первый способ основан на одном из признаков равенства треугольников.

Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Практические задачи

Задача 1: Если между точками А и В имеется препятствие, то расстояние АВ можно найти следующим образом. Выбрать точку С, из которой видны точки А и В, и провести прямые АС и ВС. Отложить СА1=СА, СВ1=СВ. Расстояние А1В1 будет равно искомому расстоянию. Докажите это

Решение: Если СА1=СА, а СВ1=СВ , Углы ВСА и А1СВ1 равны, потому что они вертикальные, отсюда треугольники АВС и А1В1С равны по 2 сторонам и углу между ними, значит АВ=А1В1

Задача 2: Для определения расстояния от точки В до недоступной точки А провешивают произвольную прямую ВС, измеряют углы АВС и ВСА и, построив их по другую сторону от прямой ВС, провешивают прямые BD и CD. Докажите что расстояние BD равно искомому расстоянию АВ.

Решение: ВС- Общая сторона, т. к по другую сторону прямой ВС отложили углы АВС и АСВ, то образовались новые углы, DBC и DCB. Углы ABC и DBC равны, углы ACB и DCB равны, отсюда треугольники ABC и DBC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, значит АВ=DB

Задача 3: Три поселка В, С и D расположены так, что С находится в 7 км к юго-западу от поселка В, а поселок D - в 4 км к востоку от В. Три других поселка А,К и М расположены так, что поселок М находится в 4 км к югу от К, а поселок А - в 7 км к юго-востоку от М. Докажите что, расстояние между пунктами С и D такое же, как между пунктами К и А

Решение: Договоримся, что на карте север(N) направлен вверх, юг(S) - вниз , восток(O) - направо , запад (W) - налево. По этому условию поселки В,С и D расположены так как показано на рисунке. При том ВD = КМ = 4км, ВС = МА = 7км и ∠СВD=∠КМА=1350. Тогда ∆DВС = ∆КМА, следовательно , DС = АК.

Задача 4: При постройке кровель, мостов, подъемных кранов скрепляют опорные брусья или балки так, чтобы они образовывали систему треугольников. Почему такое расположение балок лучше обеспечивает жесткость формы сооружения, нежели иное?

Решение: Потому что такое скрепление более надежно. Оно выдерживает больше нагрузок, чем другое. Треугольник - жесткая фигура.

Задача 5 От оконного стекла треугольной формы откололся один и его уголков. Можно ли по созранившейся части заказать стекольщику вырезать такое же оконное стекло? Какие следует снять размеры.

Решение: Замерить длину скола и углы. Задача сводится к построению треугольника по стороне и двум углам.

Признаки равенства треугольников помогают в решении задач на построение, например: построение угла равного данному; построение биссектрисы угла

Заключение

Выполнив данный проект, я научилась находить решения практических задач, используя равенства треугольников.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)