Признаки делимости чисел

Математика - самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление».

В древности полученные знания, открытия часто старались сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора было запрещено делиться своими знаниями с непифагорейцами.

За нарушение этого правила один из учеников, требовавший свободного обмена знаниями, - Гиппас был изгнан из школы. Сторонников Гиппаса стали называть математиками, то есть приверженцами науки. Основы математики все без исключения начинают изучать с первых классов школы и с каждым годом знания расширяются. Математика прошла во все отрасли знаний – физику, химию, науки о языке, медицину, астрономию и т. д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать плотины, электростанции и т. д. Много интересного можно узнать из математики. Мне нравится тема «Признаки делимости», которую мы изучали в 6 классе и я решил узнать об этой теме побольше.

Цель данной работы осветить признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 25, 125.

Зная из 6 класса признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 легко вывести признаки делимости на 4, 6, 8, 12, 15, 25, 125.

Эти признаки я объединил в таблицу.

на 2 На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8)

на 3 На 3 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3

На 4 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4

на 5 На 5 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5.

на 6 На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3

на 8 На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8

на 9 На 9 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9

на 10 На10 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0

на 12 На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3

на 15 На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3

на 25. Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними на 125 Для того чтобы натуральное число содержащее не менее четырёх цифр делилось на 125 необходимо и достаточно чтобы делилось на 125 число образованное тремя последними цифрами.

Признаки делимости

Изучая разную литературу, я нашёл признак делимости на 11.

Число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах и суммой цифр, стоящих на чётных местах делится на 11. (нумерация цифр ведётся слева направо или справа налево). Например число 120340568.

Найдём сумму его цифр стоящих на нечётных местах 1+0+4+5+8=18 и на чётных местах 2+3+0+6=11.

Разность между найденными суммами 18-11=7.

7 не делится на 11, значит и данное число не делится на 11.

Признак делимости на 11 можно сформулировать и по-другому.

Если алгебраическая сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на 11, то и само число делится на 11.

Например: не выполняя деления, доказать, что число 86849796 делится на 11.

Решение: Составим алгебраическую сумму цифр данного числа, начиная с цифры единиц и чередующимися знаками «+» и «-».

6 – 9 + 7-9 + 4 – 8 + 6 – 8 = -11

-11 делится на 11, значит, число 86849796 делится на 11.

И вот ещё один признак делимости на 11.

Чтобы узнать делится ли число на 11 - надо от числа десятков отнять число единиц и посмотреть, делится ли эта разность на 11.

Возьмем, например число 583, и применим этот признак:

58-3=55; 55 делится на 11, значит, и 583 делится на 11.

Проверим теперь на четырёхзначном числе.

Например: 3597

359-7=352 не понятно делится или нет.

35-2=33; 33 делится на 11, значит, число 3597 делится на 11.

Интересны признаки делимости на 7 и 13.

Для того чтобы натуральное число делилось на 7 или 13 необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по 3 цифры (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «+» для нечётных граней и со знаком «-» для чётных граней, делилась на 7.

Пример 1:

Не выполняя деление доказать, что число 254390815 делится на 7.

Решение:

Разобьём число на грани 254,390,815. Составим алгебраическую сумму граней, начиная с последней грани и чередуя знаки «+» и «-».

815-390+254=679

Число 679 делится на 7, то и число 254390815 делится на 7.

Пример 2:

Не выполняя деление доказать, что число 304954 делится на 13.

Разобьём на грани 304 и 954 составим алгебраическую сумму граней 954-304=650.

Число 650 делится на 13, значит, 304954 делится на 13.

И существует ещё один признак делимости, объединяющий числа 7, 11, 13.

Числа 7, 11, 13 связаны между собой загадочным числом 7 *11*13=1001

1001 - это 77 чертовых дюжен;

1001 - это 143 семерки;

1001 - это 91 раз по 11.

А еще число1001 – это число Шехерезады.

Вникнув в запись 7*11*13=1001, можно добавить следующее: возьмем некоторое число 235 и умножим его на 1001, получим 235235.

Так как 1001 делится на 7, 11, 13 то и число 235235 делится на 7, 11, 13. Отсюда следует вывод: числа вида abcabc делятся на 7, 11, 13. Есть, конечно, и другие признаки делимости, которые я ещё не знаю. И что можно с помощью вычислительной техники узнать делится ли число на другое число, но уже то, что существуют такие признаки делимости и чтобы познакомиться с ними, надо изучить дополнительную литературу, и расширив свои знания, получить при этом большое удовольствие.